2.2.2 人教A版数学选修2-2 第2章 推理与证明

填一填 1.反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法常见矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.

判一判 1.反证法属于间接证明问题的方法．(√) 2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(×) 3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(√) 4．反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．(×) 5．用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(×) 6．使用反证法证明时，可以不进行反设．(×) 7．反证法是指将结论和条件同时否定．(×) 8．“全为0”的对立面是“全不为0”．(×)

想一想 1.如何理解反证法的概念？ (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．

(2)反证法属“间接解题方法”．

2．“反证法”和“证明逆否命题”的区别与联系是什么？

(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．

(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立，而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．

3．反证法中常用到的反设有哪些？

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．

4．反证法的适用对象有哪些？

作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的；

(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题；

(4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；

(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．

感悟体会

练一练 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )

①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③

解析：反证法是指假设命题的反面成立，再从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾，得出假设命题不成立是错误的，从而所求的命题成立，故应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的通常有①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等，故选C.

答案：C

2．“实数a，b，c不全大于0”等价于( ) A．a，b，c均不大于0 B．a，b，c中至少有一个大于0 C．a，b，c中至多有一个大于0 D．a，b，c中至少有一个不大于0

解析：“不全大于0”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”，故选D.

答案：D

3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个

解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n∈N*，使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*， ∴an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n∈N*使得an＝bn，故选A. 答案：A

4．下列命题适合用反证法证明的是________．

ax＋x－2①已知函数f(x)＝(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根．

x＋11＋x1＋y

②若x，y∈R，x>0，y>0，且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于2.

yx③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的．

④同一平面内，分别与两相交直线垂直的两条直线必相交．

解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此，四个命题都适合用反证法证明．

答案：①②③④

知识点一 用反证法证明否(肯)定性命题 1.命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时，应假设________________．

解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以应假设a≠1或b≠1. 答案：a≠1或b≠1

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝3，b＝33. (1)求B和△ABC的面积；

(2)当B是钝角时，证明：tan(B－118°)不可能是有理数． 解析：(1)由正弦定理得

ab33sin30°3

＝，即sin B＝＝. sin Asin B32

因为B是三角形内角且B>A，所以B＝60°或B＝120°， 记△ABC的面积为S，

1193

当B＝60°时，C＝90°，S＝ab＝×3×33＝；

222

11193

当B＝120°时，C＝30°，S＝absin 30°＝×3×33×＝. 2224(2)证明：因为B是钝角，结合(1)的结论得tan(B－118°)＝tan 2°， 2tan 2°

假设tan 2°是有理数，则tan4°＝为有理数；

1－tan22°同理可证tan 8°，tan16°，tan 32°为有理数，

tan 32°－tan 2°3所以tan 30°＝，等式左边＝为无理数，等式右边为有理数，从而矛31＋tan 32°tan 2°盾，

则tan 2°不可能是有理数，即tan(B－118°)不可能是有理数.

知识点二 用反证法证明“至少”“至多”问题 1＋x1＋y3.用反证法证明“若x，y都是正实数，且x＋y>2，则<2或<2中至少有一个成

yx

立”时，应假设( )

1＋x1＋yA.≥2且≥2

yx1＋x1＋yB.≥2或≥2

yx1＋x1＋yC.≥2且<2 yx1＋x1＋yD.≥2或<2

yx

1＋x1＋y1＋x1＋y解析：假设<2和<2都不成立，即≥2且≥2，故选A.

yxyx答案：A

4．用反证法证明：当m为任何实数时，关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0至少有一个方程有实数根．

证明：假设关于x的方程x2－5x＋m＝0与2x2＋x＋6－m＝0都没有实数根， 则有Δ＝25－4m<0，且Δ′＝1－8(6－m)＝8m－47<0， 2547

解得m>，且m<，矛盾，

48故假设不正确，从而原命题得证.

知识点三 用反证法证明存在性、唯一性命题 5.用反证法证明“若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈N，且a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，假设应为( )

A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都不是偶数 C．a，b，c中至多有一个是偶数 D．a，b，c中至多有两个偶数

解析：结合题意，得a，b，c中存在偶数，即至少有一个偶数，其否定为：a，b，c都

不是偶数，故选B.

答案：B

6．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．

证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0， 所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0. 假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n， 即f(n)＝0，则n≠m.

若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾； 若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.

知识点三 反证法的综合应用 7.(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2. (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程

有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( ) A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确 解析：(1)的假设应为p＋q>2. (2)的假设正确，选D.

a

8．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c且f(1)＝－，3a>2c>2b.

2(1)试用反证法证明：a>0； b3

(2)证明：－3<<－.

a4证明：(1)假设a≤0，

∵3a>2c>2b，∴3a≤0,2c<0,2b<0， 将上述不等式相加，得3a＋2c＋2b<0. a

∵f(1)＝－，∴3a＋2c＋2b＝0，

2这与3a＋2c＋2b<0矛盾， ∴假设不成立，∴a>0.

a3

(2)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴c＝－a－b，

22∴3a>2c＝－3a－2b，∴3a>－b. ∵2c>2b，∴－3a>4b. b3

∵a>0，∴－3<<－.

a4

基础达标 一、选择题

1．下列关于反证法的说法，正确的是( ) ①反证法的应用需要逆向思维；

②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定； ③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；

④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可． A．①② B．①③ C．②③ D．③④

解析：反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③不正确，从而排除选项BCD，故选A.

答案：A

2．“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； (2)所以∠B<90°； (3)假设∠B≥90°；

(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是( ) A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1) C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)

解析：根据反证法的步骤，可知正确的顺序应是(3)(4)(1)(2)，故选C. 答案：C 3．有下列叙述：

①“a>b”的反面是“ay或x在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析：①中，“a>b”的反面是“a＝b或a答案：B

4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解析：

分△ABC的直线只能过一个顶点与其对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为锐角，则∠ADC为钝角，而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABDπ

与△ACD不可能相似，与已知矛盾，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意，2故选B.

答案：B

5．下列四个命题中错误的是( )

A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角

B.17，13，11不可能成等差数列 C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60° D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数

解析：显然A、B、D命题均为真，C选项中，若a>b>c，则A>B>C，若∠C>60°，则∠A>60°，∠B>60°，∴A＋B＋C>180°，这与A＋B＋C＝180°矛盾，故选C.

答案：C

6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )

A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若“P，Q，R同时大于零”则“PQR>0”成立， ∵a，b，c∈R＋，且PQR>0.

∴若P>0，则Q<0，R<0或Q>0，R>0，

若Q<0，R<0，则b＋c－a<0，c＋a－b<0，∴a>b＋c，a∵c>0，∴b＋c>b－c，∴不等式a>b＋c，a0，R>0，即P，Q，R同时大于零成立，

∴“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的充要条件，故选C. 答案：C

111

7．设p，q，r∈(－∞，0)，x＝p＋，y＝q＋，z＝r＋，则x，y，z三个数( )

qrpA．都大于－2

B．至少有一个不大于－2 C．都小于－2

D．至少有一个不小于－2

解析：(反证法)假设x，y，z三个数均大于－2，即x>－2，y>－2，z>－2， 则x＋y＋z>－6 ①.

111－p＋1－q＋1－r＋1又∵x＋y＋z＝p＋＋q＋＋r＋＝－－－≤－－p－q－rqrp1p·－2p

1q·－2q

1r·＝－6，即x＋y＋z≤－6 ②， r

2

①②矛盾，∴假设不成立，

∴x，y，z三个数至少有一个不大于－2.故选B. 答案：B 二、填空题

8．用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，应假设____________．

解析：用反证法证明命题“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，应假设“a，b中至少有一个不为0”．

答案：a，b中至少有一个不为0

9．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．

证明：假设p为奇数，则________________为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.

但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．

解析：证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，

因为奇数个奇数之和为奇数，

故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0， 但奇数≠偶数，0为偶数，这一矛盾说明假设错误，从而P为偶数．

答案：a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)

10．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP，用反证法证明时的假设为____________．

解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.

答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP

11．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________． 解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，即AC⊂α，BD⊂α，∴A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面矛盾，∴AC、BD异面．

答案：异面

12．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；④ab>1.

其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

12

解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b

23＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，用反证法证明如下：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

答案：③ 三、解答题

13．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： a，b，c不成等差数列．

解析：假设a，b，c成等差数列 则a＋c＝2b， ∴a＋c＋2ac＝4b ①， ∵a，b，c成等比数列， ∴b2＝ac，即b＝ac ② 由①②得a＝c， ∴b＝a＝c，

这与a、b、c不成等差数列矛盾 ∴a，b，c不成等差数列．

14．已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．

证明：

∵a∥b，∴过a、b有一个平面α. 又m∩a＝A，m∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，

∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α. 即过a、b、m有一个平面α

假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.

则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾． 因此，过a、b、m有且只有一个平面.

能力提升 15.已知方程x2－4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数，求实数a的取值范围．

解析：假设三个方程均没有实根，则

16a－43－4a<0，

a－1－4a<0，4a＋8a<0，

2

2

2

2

3

解得－2

3. a≤－或a≥－1∴三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是a2

16．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．

证明：假设f(x)＝0有整数根n，

则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)而f(0)，f(1)均为奇数，

即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数，或a，b同时为偶数，c为奇数，

当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．

所以f(x)＝0无整数根．