2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建文)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）

本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页。满分150分。 注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：

样本数据x1,x2.„，xn的标准差 s1222（x-x）（x-x）...（x-x）12n其中x为样本平均数 n 柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高

1Sh其中S为底面面积，h为高 34 球的表面积、体积公式S=4πR2，V=πR3其中R为球的半径

3 锥体公式V=

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。 1. 若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于 A.｛0，1｝ B.｛-1，0，1｝ C.｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝

2. i是虚数单位1+i3等于

A.i B.-i C.1+i D.1-i

3. 若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

A. 6 B. 8 C. 10 D.12

5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

A.3 B.11 C.38 D.123

6.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根， 则实数m的取值范围是 A. (-1,1) B. (-2,2)

C. (-∞，-2) ∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

7.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 A．

1112 B. C. D.

34232x，x0,8.已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于

x1, x0A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

9.若a∈（0，

1），且sin2a+cos2a=，则tana的值等于 242 D.

A.

23 B. C. 233

10. 若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

11. 设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足PF1：F1F2：PF2= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于

132或 B. 或2 223123C. 或2 D. 或

232A.

12.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n

∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1] ②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. A.1 B.2 C.3 D.4

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数 学（文史类）

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：

用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置。

13. 若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________.

14. 若△ABC的面积为3，BC=2，C=60，则边AB的长度等于_____________.

15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____________.

16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数.

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.

18.（本小题满分12分）

如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 （1） 求实数b的值；

（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

19.（本小题满分12分）

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1） 若x 1 2 3 4 5 所f a 0.2 0.45 b c 抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；

（11） 在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1, x2, x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1, x2, x3, y1, y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1） 求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

21.（本小题满分12分）

设函数f（）=3sincos，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0. （1）若点P的坐标为(,13)，求f()的值； 22x+y1（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：x1，上的一个动点，试确定角的取值范围，并

y1求函数f()的最小值和最大值.

22.（本小题满分14分）

已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)axbaxlnx,f(e)2（e=2.71828…是自然对数的底数）.

（I） 求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（me说明理由. 12011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（文史类）参

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1.A 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.D 11.A 12.C

二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。 13．1 14．2 15．2 16．51 2三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分

12分。 解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则ana1(n1)d. 由a11,a23可得12d3. 解得d=-2。

从而，an1(n1)(2)32n. （II）由（I）可知an32n， 所以Snn[1(32n)]2nn2.

2进而由S135可得2kk235,

2即k2k350，解得k7或k5.

又kN*,故k7为所求。

18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

想、数形结合思想，满分12分。

yxb,解：（I）由2（*） 得x24x4b0，

x4y因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0, 解得b=-1。

（II）由（I）可知b1,故方程(*)即为x24x40， 解得x=2，代入x24y,得y1.

故点A（2，1），

因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离， 即r|1(1)|2,

所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，

考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。 解：（I）由频率分布表得a0.20.45bc1,即a+b+c=0.35，

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 所以b30.15, 2020.1， 20等级系数为5的恰有2件，所以c从而a0.35bc0.1 所以a0.1,b0.15,c0.1.

（II）从日用品x1,x2,y1,y2中任取两件， 所有可能的结果为：

{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}，

设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个，

又基本事件的总数为10，

故所求的概率P(A)40.4. 1020．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查

空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分

（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，

所以PACE.

因为ABAD,CE//AB,所以CEAD. 又PAADA,

所以CE平面PAD。

（II）由（I）可知CEAD，

在RtECD中，DE=CDcos451,CECDsin451, 又因为ABCE1,AB//CE， 所以四边形ABCE为矩形，

所以S四边形ABCDS矩形ADCESECDABAE又PA平面ABCD，PA=1， 所以V四边形PABCD115CEDE1211. 2221155S四边形ABCDPA1. 332621．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考

查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

3sin,2 解：（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得cos1.2于是f()3sincos3312. 22（II）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）。

于是02.

又f()3sincos2sin(且

6)，

662, 3,即故当623，

f()取得最大值，且最大值等于2；

当66,即0时，

f()取得最小值，且最小值等于1。

22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解

能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I）由f(e)2得b2,

（II）由（I）可得f(x)ax2axlnx. 从而f'(x)alnx.

因为a0，故：

（1）当a0时由,f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0当a0时，函数f(x)的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)。

（III）当a=1时，f(x)x2xlnx,f'(x)lnx.

由（II）可得，当x在区间(,e)内变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

1ex f'(x) f(x) 又21 e 1(,1) e- 1 0 极小值1 (1,e) + 单调递增 e 2 22 e单调递减 212,所以函数f'(x)(x[,e])的值域为[1，2]。 eem1,1据经可得，若，则对每一个t[m,M]，直线y=t与曲线yf(x)(x[,e])都

eM2有公

共点。

并且对每一个t(,m)(M,)，直线yt与曲线yf(x)(x[,e])都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个t[m,M]，直线y=t

与曲线yf(x)(x[,e])都有公共点。

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