笥 口 Ｉ综合检测 －．＿ 口Ｌ＿Ｉ 同 中数学必修１～５总复习 （时间：１２ｏ分钟；满分：１６ｏ分） 一、填空题（共１４小题，每小题５分，满分７０分） １．设集合Ａ一｛１，４，ａ。），Ｂ一｛１，ａ｝，若Ｂ Ａ，则实数ａ的值为 ２．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一、高二年级分别有８Ｏ名、５０ 条 名．现用分层抽样的方法在这１３０名学生中抽取一个样本，已知在高一年级 学生中抽取了２４名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ３．某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是 ４．如果ｌｏｇ２ｚ＋１ｏｇ２ 一１，则 ＋２ｙ的最小值是 ５．已知ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝，／３，ＢＣ＝１，Ａ一３０。，则ＡＣ＝ ． ． １ ． ． （第３题） ６．如图，在正三棱柱ＡＢＣ—Ａ Ｂ Ｃ 中，Ｄ为棱ＡＡ 的中点．若 ＡＡ１—４，ＡＢ＝２，则四棱锥Ｂ—ＡＣＣ Ｄ的体积为 ． ７．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有 “２”，“３”，“４”，“６”，“９”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的 Ｃｌ Ｄ 三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 ｆＩｚ一 ＋５≥Ｏ， ． 曰 Ｃ ８．已知实数ｚ，Ｙ满足 ｚ≤３， 则目标函数Ｚ￣－Ｚ＇＋２ｙ的最 ｌｚ＋ ≥０， 小值为 ． （第６题） ９．函数 一 ｓｉｎ（ ｚ一号）的部分图象如右图所示，则（ ．一一一一一一．＋（）Ｂ）・ＡＢ一． ／ ｛ ．１ １０．已知函数Ｌ厂（ｚ）一ｉｎ 一 ，若函数Ｌ厂（ｚ）的零点所在的区 间为（是， ＋１）（是∈ｚ），则是一 ． Ａ 甚 ０ １１．已知函数／（ｚ）一Ｉ 是奇函数且厂（ 一２ａ）＞ （第９题） －厂（３），则ａ的取值范围是 ． ｌ 虱 １２．如图，直线与圆．２７。＋ｙ。一１分别在第一和第二象限内 交于Ｐ ，Ｐ 两点，若点Ｐ 的横坐标为｝， Ｐ ０Ｐ。一詈，则点 嫠 ｎ 口 Ｐ。的横坐标为 ． １３．数列｛ａ ｝的各项都是整数，满足ａ。一一１，ａ 一４，前６ 恒 项依次成等差数列，从第５项起依次成等比数列，则数列｛ａ ｝前 １Ｏ项的和是 ・ 忘 （第１２题） ２ ・ １４．在平面直角坐标系 ０ 中，直线ｌ：ｚ— ＋３一Ｏ与圆Ｏ： ＋ 。一ｒ （ｒ＞０）相交于 Ａ，Ｂ两点．若 ＋２ 一 ，且点ｃ也在圆Ｏ上，则圆Ｏ的方程为 ． 二、解答题（本大题共６小题，满分９０分） １５．（本小题满分ｌ４分）如图，在四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是直角梯形， ＡＢ∥ＤＣ，￣ＡＢＣ＝４５。，ＤＣ＝１，ＡＢ＝２，ＰＡ上平面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝１． （１）求证：ＡＢ∥平面ＰＣＤ； （２）求证：ＢＣ上平面ＰＡＣ； （３）若Ｍ是ＰＣ的中点，求三棱锥Ｍ—ＡＣＤ的体积． Ｄ （第１５题） １６．（本小题满分１４分）在ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，Ｃ．已知ｍ一 （２ｃｏｓ Ａ， ｓｉｎ Ａ），咒一（ｃｏｓ Ａ，－－２ｃｏｓ Ａ），ｍ・ｎ一一１． （１）若ａ＝２ ，ｃ＝２，求／ｋＡＢＣ的面积； （２）求 的值． ・ ３１ ・ １７．（４ｖ小题满分１４分）如图，港口Ａ在港口Ｏ的正东１２０ ｎ ｍｉｌｅ处，小岛Ｂ在港口Ｏ 的北偏东６Ｏ。的方向，且在港口Ａ北偏西３Ｏ。的方向上．一艘科学考察船从港口０出发，沿北 偏东３０。的ＯＤ方向以２０ ｎ ｍｉｌｅ／ｈ的速度驶离港口０．一艘给养快艇从港口Ａ以 ６０ ｎ ｍｉｌｅ／ｈ的速度驶向小岛Ｂ，在Ｂ岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两 船同时出发，补给装船时间为１ ｈ． （１）求给养快艇从港口Ａ到小岛Ｂ的航行时间； （２）给养快艇驶离港口Ａ后，最少经过多少时间能和科考船 相遇？ 北 东 （第１７题） １８．（４ｖ小题满分ｌ６分）已知过点Ａ（一１，Ｏ）的动直线 与圆Ｃ： －＋－（ 一３） 一４相交 于Ｐ，Ｑ两点，Ｍ是ＰＱ中点，ｚ与直线ｍ：ｚ＋３ ＋６—０相交于Ｎ． （１）求证：当１与／７＂／垂直时，ｌ必过圆心Ｃ； （２）当ＰＱ＝２ 时，求直线￡的方程； ———— ————ｌ ｝ （３）探，ＡＭ・ＡＮ是否与直线ｌ的倾斜角有关，若无关， 请求出其值；若有关，请说明理由． ∈ ～ ／ Ｐ Ｏ ～ ＼ｍ （第１８题） ・ ３２ ・ １９．（本小题满分１６分）已知圆Ｃ的方程为ｚ。＋ 一１，直线Ｚ 过点Ａ（３，Ｏ），且与圆Ｃ 相切． 回Ｄ｝ （１）求直线Ｚ 的方程； （２）设圆Ｃ与ｚ轴相交于Ｐ，Ｑ两点，Ｍ是圆Ｃ上异于Ｐ，Ｑ的任意一点，过点Ａ且与 吕》 ｚ轴垂直的直线为ｚ ，直线ＰＭ交直线ｚ。于点Ｐ ，直线ＱＭ交直线ｌ ｚ于点Ｑ ，求证：以 Ｐ Ｑ 为直径的圆Ｃ 总经过定点，并求出定点坐标． 圆 ２０．（本小题满分１６分）过点Ｐ（３，３）的圆Ｃ与直线ｚ— ＋２一Ｏ切于点（１，３）． （１）求圆Ｃ的方程； （２）过点Ｐ作两条直线与圆Ｃ分别交于Ｅ，Ｆ两点，若直线ＰＥ与直线ＰＦ的倾斜角互 补，试问：直线ＥＦ的斜率是否为定值？若是，求出直线ＥＦ的斜率；若不是，说明理由． （命题人：张居强） ・ ３ ・ 矾 Ｉ Ｉ 卜 ０ Ｏ＂１ ７ 卜、） 回０｝ 鼎 ± （ｚ ． （２）设Ｍ（。，６），直线ＰＭ的方程为 一 （ ＋１），所以 ３ ４ｂｉ），直线ＭＱ的方程为 一 （ 一１），所以Ｑ，（３， ），所以Ｐ Ｑ 的中点（３， ）， 一Ｉ ｝，所以圆方程：（ｚ～３）ｚ＋ （ — ） 一 丢 ，所以（ 一３） ＋ｙ２＿２・１－６３ａ・ 一８，当 －－ｏ￣￣，方程与“，６的取值无关，所以 （ｘ－－３） 一８，所以ｘ＝３￣２ ，所以圆必过定点（３±２ ，Ｏ）． ２０．（１）圆Ｃ的方程为（ ２）。＋（ｙ－－２） 一２． （２）设直线ＰＥ的方程为 ＝ｋ（ｘ－－３）＋３与圆Ｃ的方程联立得： （１＋ｋ。）ｚ 一（６ｋ 一２ｋ＋４） ＋９ｋ。一６ｋ４－３—０． 解得ｚ一３或 一—３ｋ了２－－ ２ｋ＠１＿１． —Ｔｌ 所以点Ｅ的坐标为（ ，ｋ—２ －丁２ｋｑ－３ ），同理点Ｆ的坐标为（—３ｋ ￣ｑ－ ２ ｋ＋ｌ， ±Ｕ呈＋垒Ｉ 、／，则 ｋｓｓ＝１＃２定值． 高中数学必修ｌ～５总复习 １．０或４．２．１５．３．６．４．４．５．１或２．６．２ ．７．善．８Ｊ ．一３．９．６． １０． ｌ１．（一ｃｏ，一１）Ｕ（３，＋ｏｏ）． １２．！ ４，／ｇ．１３．５７．１４．ｚ ＋ 。一１８ １５．（１）证明：因为ＡＢ∥ＤＣ，且ＡＢ 平面ＰＣＤ，ｃＤ（＝＝平面ＰＣＤ． 所以ＡＢ 平面ＰＣＤ． （２）证明：在直角梯形ＡＢＣＤ中，过Ｃ作ＣＥ上ＡＢ于点Ｅ，则四边形ＡＤＣＥ Ｄ 为矩形，所以ＡＥ＝ＤＣ＝１，又ＡＢ＝２，所以ＢＥ一１，在Ｒｔ￣ＢＥＣ中， ＡＢＣ＝４５。， （第１５题） 所以ｃ’Ｅ—ＢＥ＝１，ＣＢ＝４２，所以ＡＤ ＣＥ ｌ，则ＡＣ＝￣／ＡＤ。＋Ｄ ＝Ｊ２，所以Ａ 十Ｂ —ＡＢ ，所以 ＢＣ ＬＡＣ，Ｙ－ＮＮ ＰＡ上平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡｌ上ＢＣ，ＰＡＮＡＣ：Ａ，所以ＢＣ上平面ＰＡＣ． （３）解：因为Ｍ是ＰＣ中点，所以Ｍ到面ＡＤＣ的距离是Ｐ到面ＡＤＣ距离的一半，所以 ∞一 号ｓ△枷・专ＰＡ一号×（告×１×１）× １＿ １． １６・（１）由２ ｃ。ｓ。Ａ一２ ｓｉｎ Ａｃ。ｓ Ａ一一１可知，ｓｉｎ ２Ａ一詈）一１，因为０％Ａ－￣ ，所以２Ａ一詈∈ （一詈，百ｌｌｎ），所以２Ａ一号一号，即Ａ一号． 由正弦定理可知： 一 ｃ ，所以ｓｉｎ ｃ一 １，因为Ｃｆｆ ０，孥），所以Ｃ－Ｔ ，所以Ｂ一号． 所以ＳＺＳＡＢＣ＝ ．２．２ 一２ ． （２）赋一 一 ｓｉｎＢ－－２ｓｉｎＣ一 。 ｃ ｓｉｎＣ ， ／３ ｃｏｓ（６０。＋Ｃ） ，—／３ｃｏｓ（６０￣＋Ｃ）—。 ｃｏｓ（６ｏ。＋ｃ） １７．（１）由题意知，在△ｏＡＢ中，ＯＡ＝１２０， ＡＯＢ＝３０。，￣ＯＡＢ＝６０。． 于是ＡＢ￣６０，而快艇的速度为６０ ｎｍｉｌｅ／ｈ，所以快艇从港口Ａ到小岛Ｂ的航行时间为１ ｈ． ・ １Ｏ ・ （２）由（１）知，给养快艇从港口Ａ驶离２ ｈ后，从小岛Ｂ出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快 艇从小岛Ｂ驶离后必须按直线方向航行，设ｔ ｈ后恰与科考船在ｃ处相遇． 在△ＯＡＢ中，可计算得ＯＢ＝６０、／３，而在△ＯＣＢ中，ＢＣ＝６０ｔ，ＯＣ＝２ｏ（２＋ ）， ＢＯＣ＝３０。， 由余弦定理，得ＢＣ＝ＯＢ ＋（ 一２０Ｂ・ＯＣ・ＣＯＳ ＢＯＣ，即（６０ｔ）。一（６０，／ｇ）。＋Ｅ２ｏ（２＋ｆ）］。一２× ６０，／３Ｘ ２０（２＋ｔ）ｘ等，亦即８ｔ ＋５ｔ一１３＝０，解得 １或ｆ＿－一 （舍去）． 故ｆ＋２—３．即给养快艇驶离港口Ａ后，最少经过３ ｈ能和科考船相遇。 １８．（１）因为ｌ与ｍ垂直，且 一一÷，所以 一３，故直线ｚ方程为 一３（ ＋１），即３ｘ－－ｙ＋３＝０，因 为圆心坐标（Ｏ，３）满足直线Ｚ方程，所以当ｚ与 垂直时，ｚ必过圆心Ｃ． （２）①当直线ｚ与，２７轴垂直时，易知 一一１符合题意． ②当直线ｚ与ｚ轴不垂直时，设直线ｌ的方程为ｙ一是（ ＋１），即是 一 ＋ 一Ｏ，因为ＰＱ＝２、／３，所以 ＣＭ一 一１，则由ＣＭ＝ 一ｌ，得五一 ４，所以直线ｚ：４ｘ－－３ｙ＋４一。． 故直线ｚ的方程为２／７一一１或 一３ ＋４一Ｏ． （３）因为０Ⅵ上ＭＮ，所以ＡＭ・ＡＮ一（ＡＣ＋ＣＭ）・ＡＮ—ＡＣ・ＡＮ十ＣＭ・ＡＮ＝ＡＣ・ＡＮ， ①当ｚ与ｚ轴垂直时，易得Ｎ（一１，一号），则ＡＮ一（０，一号），又ＡＣ：（１，３），所以ＡＭ・ＡＮ＝ ／ 、— ／ 、——＋—— — ＡＣ・ＡＮ一一５． ②当ｚ的斜率存在时，设直线ｚ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－￣－１）， 得Ｎ（ ， ）， 则Ａ』『『Ｉ『 ｌ＼，一ｒ一（ｒＦ ， －０ ＃ ），１ 所以ＡＭ・Ａ』． ＼，一一．一 ・ＡＮ一 Ｆ ＋ｒ 一一・ＡＣ 一二 ＋二 一一５５ 综上所述，ＡＭ・ＡＮ与直线ｚ的斜率无关，且ＡＭ・ＡＮ＝一５． １９．（１）ＮＮ｛ ）是等差数列，且Ｓ７—７，而ｓ 一 ≠ 一７ｎ ，于是ｎ 一１． 设｛ａｎ｝的公差为 ，则由 —一导得 二 —一手，化简得８ｄ￣－２７ｄ＋９－０，Ｅ［１（ｄ一３） （８ｄ一３）一０，解得 一３或 一音，但若 一专，由ａ．４＝１知不满足“数列｛ａｎ｝的各项均为整数”，故 一３・ 于是“ 一ｎ４＋（ｎ－－４）ｄ＝３ 一１１． （２）因为 二上里咝一 ± 一口 ＋９＋ ，“ 一３ｎ－－１１—３（ｎ－－４）＋１，所以要使 二÷ 二呈为 ¨ｍ “聊 ¨ｍ ｍ 数列｛口 ｝中的项， 必须是３的倍数，于是ｎ ￣￣４－１，±２，±３，±６中取值，但由于ａ 一ｌ是３的倍数，所 以ａ 一１或ａ 一－－２． 由ｎ 一１得ｍ一４；由Ⅱ 一一２得ｍ一３． 当ｍ＝４吼 一 ～ ｍ＝３时， 一 ． 所以所求ｍ的值为３和４． ２０．因为＿厂（ｚ）一 。一２ ＋２一（ｚ～ ）。＋２一 ，所以＿厂（ｚ）在区问（一。。，￡］上单调减，在区间［￡，＋ｃ×３） 上单调增，且对任意的 ∈Ｒ，都有ｆ（ｔ＋－ｚ）一＿厂（￡一ｚ）， （１）若≠一１，则厂（ｚ）一（ 一１） ＋１． ①当ｚ∈［０，１］时．厂（ｚ）单调减，从而最大值厂（ｏ）一２。最小值厂（１）一１． 所以厂（ ）的取值范围为［１，２］； ②当 ∈［１，４］时．＿厂（ｚ）单调增，从而最大值厂（４）一ＩＯ，最小值ｆ（１）一１． 所以厂（ｚ）的取值范围为［１，ｌＯ］； ・ １１ ・ ０ 所以厂（ｚ）在区间［ｏ，４］上的取值范围为［１，ｌｏ］． （２）“对任意的ｚ∈ ，“十２ｊ，都有 ＜ｚ）≤５”等价于“在区间 ，ｎ十２］上，［１厂（ ）］…≤５”． 若 １，则ｌ，（ ）一（ 一１）。＋１，所以厂（ｚ）在区间（一一，１］上单调减，在区间［１，一）上单调增． 当１≤＆＋ｌ，即＆≥０时， 由［１厂（ ）］…一／’（ｎ＋２）一（“＋１）。＋１≤５，得一３≤＆≤ｌ，从而Ｏ≤“≤ｌ＿ 当１＞“＋１，即ｎ＜ｏ时，由［＿厂（ ）］…一／（ｎ）一（ａ－－１）。＋１≤５，得：～１≤ａ≤３，从而一１≤ｎ＜ｏ． 综上，ｃｚ的取值范围为区间［一１，１］． （３）设函数厂（ｚ）在区间［Ｏ，４］上的最大值为』Ⅵ，最小值为 ，所以“对任意的 ， ∈［０，４Ｊ，都有 ’（ｘ１）一ｆ（ｘ２）１≤８”等价于“Ｍ—ｍ≤８”． ①当￡≤ｏ时，Ｍ—ｌ厂（４）一１８—８ ，ｍ— （ｏ）一２． 由Ｍ— ＝１８—８ 一２ １６～８ｆ≤８，得 ≥１． 从而ｆ∈ ． ②当Ｏ＜ ≤２时，Ｍ＝ｙ（４）一ｌ８—８ｆ．Ｊ 一，（￡）一２一 。． 由Ｍ－－ｍ＝１８—８￡～（２ ）＿＿ 一８ｆ十１６一（￡一４）。≤８，得４～２ ≤￡≤ ４＋２ ． 从而４—２√２≤ｆ≤２． ③当２＜ ≤４时，Ｍ＝ｙ（Ｏ）一２，ｍ一厂（ｆ）一２一ｔ ． 由Ｍ一 一２一（２一￡ ）一 。≤８，得一２ ≤￡≤２ ． 从而２＜ｆ≤２√２． （ 当 ＞４时，Ｍ一厂（Ｏ）一２，Ⅲ一厂（４）一ｌ８—８ ． 由Ｍ—ｍ一２一（１８—８ｔ）一８ｆ一１６≤８，得ｆ≤３． 从而ｆ∈ ． 综上，ａ的取值范围为区间ｒ４ ２ ，２ ］．
