2020-2021学年最新四川省成都市中考数学二诊试卷及答案A

四川省成都市中考数学二诊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 化简√9的结果是( )

A. 3

【答案】A

B. −3 C. ±3 D. 9

【解析】解：√9=3，故A正确， 故选：A．

根据算术平方根是非负数，可得答案．

本题考查了二次根式的化简，算术平方根是非负数．

2. 下列运算正确的是( )

A. a+a=a2

【答案】C

B. a3÷a=a3 C. a2⋅a=a3 D. (a2)3=a5

【解析】解：A、a+a=2a，此选项计算错误； B、a3÷a=a2，此选项计算错误； C、a2⋅a=a3，此选项计算正确； D、(a2)3=a6，此选项计算错误； 故选：C．

根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方分别计算即可判断．

本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方运算的法则．

3. 如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形， 故选：B．

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4. 把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式，则n为( )

A. 1

【答案】B

B. −2 C. 2 D. 8.13

【解析】解：把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式为8.13×10−2，则n为−2． 故选：B．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5. 谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转.打一数学学习用具，谜底为( )

A. 量角器

【答案】D

B. 直尺 C. 三角板 D. 圆规

【解析】解：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转， 故选：D．

利用圆规的特点直接得到答案即可．

本题考查了简单的数学知识，稍有点数学常识的同学就会做出正确的回答，难度不大．

6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩/m 人数 2 1.50 3 1.60 2 1.65 3 1.70 4 1.75 1 1.80 则这些运动员成绩的众数、极差分别为( ) A. 1.70、0.25

【答案】C

B. 1.75、3 C. 1.75、0.30 D. 1.70、3

【解析】解：∵这组数据中1.75m出现次数最多，有4次， ∴这组数据的众数为1.75m，

∵最大数据为1.80m、最小数据为1.50m， ∴极差为1.80−1.50=0.30， 故选：C．

根据众数和极差的定义分别进行解答即可．

本题主要考查极差与众数，解题的关键是掌握极差=最大值−最小值、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

7. 将抛物线y=−8x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析

式是( )

1

A. y=−8(x−2)2−3 C. y=−8(x+2)2−3

【答案】C 【解析】解：

1

1

B. y=−8(x−2)2+3 D. y=−8(x+2)2+3

1

1

∵将抛物线y=−8x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得抛物线解析式为y=−8(x+2)2−3， 故选：C．

直接根据平移的规律即可求得答案．

本题主要考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

8. 若关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根，则m的取值范围是( )

1

1

A. m<3

【答案】D

B. m≤3 C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2

【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根， ∴m−2≠0，并且△=(−2)2−4(m−2)=12−4m≥0， ∴m≤3且m≠2． 故选：D．

由于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．

本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根； (3)△<0⇔方程没有实数根．

此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

9. 如图：有一块含有45∘的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果

∠1=20∘，那么∠2的度数是( )

A. 30∘

【答案】B

B. 25∘ C. 20∘ D. 15∘

【解析】解：∵AB//CD， ∴∠AFE=∠2，

∵∠GFE=45∘，∠1=20∘， ∴∠AFE=25∘， ∴∠2=25∘， 故选：B．

直接利用平行线的性质进而结合等腰直角三角形的性质得出答案．

此题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，正确应用平行线的性质是解题关键．

⏜的长度为( ) 10. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则AB

A. π B. 2π C. 5π D. 10π

【答案】B

【解析】解：连接OA、OB， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB=360∘÷5=72∘， ⏜的长度=∴AB故选：B．

连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．

本题考查的是正多边形的性质、弧长的计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、弧长的计算公式是解题的关键．

二、填空题（本大题共9小题，共36.0分） 11. 因式分解：x2+14x+49=______． 【答案】(x+7)2

【解析】解：原式=(x+7)2． 故答案为：(x+7)2．

直接利用完全平方公式分解因式得出答案．

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

12. 如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格.若再从余下的6个小方格中随

机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是______．

72×π×5180

=2π，

【答案】3

【解析】解：如图，∵可选2个方格 ∴完成的图案为轴对称图案的概率=6=3． 故答案为：3．

根据轴对称的性质设计出图案即可．

本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

13. 如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点

△FCB的周长为20cm，A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，则FC的长为______cm． 【答案】6

【解析】解：AE=EF，AB=BF；△FDE的周长为DE+FE+DF=AD+DF=8cm，△FCB的周长为FC+AD+AB=20 cm，

分析可得：FC=2[FC+AD+AB−(AD+DF)]=2(2FC)=2(△FCB的周长−△FDE的周长)=2(20−8)=6cm． 故答案为6．

根据折叠的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

14. 把直线y=−x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是______． 【答案】m>1 【解析】解：方法一：

直线y=−x+3向上平移m个单位后可得：y=−x+3+m， 联立两直线解析式得：{y=2x+4， x=3

{解得：2m+10， y=3即交点坐标为(

m−1

m−12m+103m−1

y=−x+3+m

1

1

1

1

1

2

1

1

,

3

)，

∵交点在第一象限， ∴

3{2m+10

3

>0

， >0

解得：m>1． 故答案为：m>1． 方法二：如图所示：

把直线y=−x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限， 则m的取值范围是m>1． 故答案为：m>1．

直线y=−x+3向上平移m个单位后可得：y=−x+3+m，求出直线y=−x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．

本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．

15. 某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该

班这些学生一周锻炼时间的中位数是______小时．

【答案】11

【解析】解：由统计图可知，

一共有：6+9+10+8+7=40(人)，

∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是第20个和21个学生对应的数据的平均数， ∴该班这些学生一周锻炼时间的中位数是11， 故答案为：11．

根据统计图中的数据可以得到一共多少人，然后根据中位数的定义即可求得这组数据的中位数． 本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，利用数形结合的思想解答．

16. 若{b=−2是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay−b=7的一个解，代数式x2+2xy+y2−1的值是

______． 【答案】24

【解析】解：把a=1，b=−2代入ax+ay−b=7，得 x+y=5，

∴x2+2xy+y2−1 =(x+y)2−1 =52−1

a=1

=24． 故答案为：24．

把a=1，b=−2代入原方程可得x+y的值，把代数式x2+2xy+y2−1变形为(x+y)2−1，然后计算． 本题考查了公式法分解因式，把(x+y)作为一个整体是解题的关键，而x2+2xy+y2−1也需要运用公式变形，以便计算．

17. 如图，同心圆的半径为6，8，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，

若矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为______． 【答案】39.2

【解析】解：连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，

根据矩形的面积和三角形的面积公式发现：矩形的面积为△AOD面积的4倍， ∵OA、∴当∠AOD的正弦值最大时，OD的长是定值，三角形的面积最大，即∠AOD=90∘，则AD=√OA2+OD2=10， ∵AD⋅OM=OA⋅OD，

2

2

1

1

∴OM=4.8，AB=9.6，则矩形ABCD的周长是：2(AD+AB)=2×(10+9.6)=39.2． 故答案是：39.2．

连接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，将此题转化成三角形的问题来解决，根据三角函数的定义可以证明三角形的面积S=2absinC，根据这一公式分析面积的最大值的情况，然后熟练应用勾股定理，以及直角三角形斜边上的高等于两条直角边乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求其周长． 本题考查了垂径定理和矩形的性质，考生应注意熟练运用勾股定理，来求边长和周长．

18. 如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，

BC的对应边 【答案】

√74

5

1

交CD边于点G.连接、若AD=7，CG=4，

，则(结果保留根号)．

【解析】解：连接AC，AG，由旋转可得，

， ∽， ，

是等腰直角三角形，

，

， ，

， ，

，

，

设，则AG=√2x，DG=x−4，

∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2， ∴72+(x−4)2=(√2x)2， 解得x1=5，x2=−13(舍去)， ∴AB=5，

∴Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√52+72=√74，

，

故答案为：

√74

． 5

先连接AC，AG，设

，构造直角三角形以及相似三角形，根据∽，可得到，

，则AG=√2x，DG=x−4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+(x−4)2=(√2x)2，

求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．

本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将题的难点所在．

19. 在平面直角坐标系，对于点P(x,y)和Q(x,y′)，给出如下定义：若y′={−y(x<0)，则称点Q为点P的“可

控变点”.例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2)，点(−1,3)的“可控变点”为点(−1,−3).点(−5,−2)的“可控变点”坐标为______；若点P在函数y=−x2+16(−5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是−16≤y′≤16，实数a的值为______． 【答案】(−5,2) a=4√2

【解析】解：(1)根据定义，点(−5,−2)的“可控变点”坐标为(−5,2)；

(2)依题意，y=−x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′={x2−16(−5≤x<0)的图象上，如图． ①当0≤x≤a时，y′=−x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小， 即：−16≤y′≤16， 当

时，−a2+16=−16，

∴a2=32， ∴a=±4√2，

②当−5≤x<0时，y′=x2−16，抛物线y′的开口向上，故当−5≤x<0时，y′随x的增大而减小， 即：−16<𝑦′≤9， 又∵−5≤x≤a， ∴a的值是：a=4√2． 故答案为(−5,2)，a=4√2．

(1)直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；

−x2+16(x≥0)

y(x≥0)

转化为AB，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本

AC

(2)y=−16时，求出x的值，再根据“可控变点”的定义即可解决问题．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度，属于创新题目，中考常考题型．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

20. 先化简，再求值：x−2÷(x−2−x−2)，其中x=√2−1 【答案】解：原式=

2(x−3)x−22x−6

55

x2−4x−2

÷(x−2−

)

2(x−3)x−2

× x−2(x+3)(x−3)

=−

=−x+3， 当x=√2−1时，

原式=−√2−1+3=√2−2．

22

【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

21. (1)计算：|1−√2|+(−4)−1+(π−3)0−2cos45∘；

(2)解不等式{

x≥

x−12

1

1+3(x−1)<6−𝑥

，并把解集在数轴上表示出来．

2

√

【答案】解：(1)原式=√2−1+(−4)+1−2× 2

=√2−1−4+1−√2

=−4；

x≥2①(2){，

1+3(x−1)<6−𝑥②∵解不等式①得：x≥−1， 解不等式②得：x<2，

∴不等式组的解集为−1≤x<2， 在数轴上表示为

．

x−1

【解析】(1)先求出每一部分的值，再代入求出即可； (2)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解(1)的关键，能正确根据不等式的解集得出不等式组的解集是解(2)的关键．

22. 为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42∘，再向白塔方向前

tan42∘≈0.90，进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61∘，求白塔的高度AB.(参考数据sin42∘≈0.67，sin61∘≈0.87，tan61∘≈1.80，结果保留整数)

【答案】

解：设AE=x，

在Rt△ACE中，CE=tan42∘=1.1x， 在Rt△AFE中，FE=tan61∘=0.55x，

由题意得，CF=CE−FE=1.1x−0.55x=12， 解得：x=

24011

AEAE

，

24011

故AB=AE+BE=+1.5≈23米．

答：这个电视塔的高度AB为23米．

【解析】设AE=x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH=CF=12米，可得出关于x的方程，解出即可得出答案．

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．

23. 某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的

统计图，如图1，图2．

(1)参加考试的人数是______，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是______，请把条形统计图补充完整；

(2)若考核为D等级的人中仅有2位女性，公司领导计划从考核为D等级的人员中选2人交流考核意见，请用树状图或表格法，求所选人员恰为一男一女的概率；

(3)为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率.(精确到0.01，√5=2.236)

【答案】50 36∘

【解析】解：(1)参加考试的总人数为24÷48%=50人， 扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是360∘×50=36∘， C等级人数为50−(24+15+5)=6， 补全图形如下：

5

故答案为：50、36∘；

(2)画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数为12， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率20=5；

(3)设增长率是x，根据题意，得：24(1+x)2=30， 解得：x=−1±所以x=−1+

√52

√5

(负值舍去)， 2

12

3

≈0.12，

答：每年的增长率为12%．

(1)由A等级人数及其百分比可得总人数，用360∘乘以D等级人数所占比例可得其圆心角度数，再用总人数减去其他学生人数求得C等级人数即可补全图形；

(2)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．

(3)设增长率是x，根据“两年内考核A等级的人数达到30人”列出关于x的方程，解之即可得． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图和一元二次方程．

24. 如图，已知A(3,m)，B(−2,−3)是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；

(3)反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

【答案】解：(1)设反比例函数解析式为y=x， 把B(−2,−3)代入，可得k=−2×(−3)=6， ∴反比例函数解析式为y=x； 把A(3,m)代入y=x，可得3m=6， 即m=2， ∴A(3,2)，

设直线AB的解析式为y=ax+b，

把A(3,2)，B(−2,−3)代入，可得{−3=−2a+b， 解得{b=−1，

∴直线AB的解析式为y=x−1；

(2)由题可得，当x满足：x<−2或0<𝑥<3时，直线AB在双曲线的下方；

(3)存在点C．

如图所示，延长AO交双曲线于点C1， ∵点A与点C1关于原点对称， ∴AO=C1O，

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积， 此时，点C1的坐标为(−3,−2)；

如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，

∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，

a=1

2=3a+b

6

6

k

由B(−2,−3)可得OB的解析式为y=2x， 可设直线C1C2的解析式为把C1(−3,−2)代入，可得解得

，

3

5

3

，

，

∴直线C1C2的解析式为y=2x+2， y=49x

解方程组{35，可得C2(3,2)；

y=2x+2

如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积， 设直线AC3的解析式为y=2x+b“， 把A(3,2)代入，可得2=2×3+b“， 解得b“=−2，

65

33

6

∴直线AC3的解析式为y=2x−2， y=x49

解方程组{35，可得C3(−3,−2)；

y=2x−2

综上所述，点C的坐标为(−3,−2)，(3,2)，(−3,−2).

【解析】(1)运用待定系数法，根据A(3,m)，B(−2,−3)，即可得到直线AB和反比例函数的解析式； (2)根据直线AB在双曲线的下方，即可得到x的取值范围；

(3)分三种情况进行讨论：延长AO交双曲线于点C1，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，根据使得△OBC的面积等于△OAB的面积，即可得到点C的坐标为(−3,−2)，(,)，(−,−). 3232

本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．

25. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠C=90∘，tanB=2，过点B的直线l是⊙O的切线，点D是直线l

上一点，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E，连接AD，交⊙O于点F，连接BF、CD交于点G． (1)求证：△ACB∽△BED； (2)当AD⊥AC时，求的值；

CG

(3)若CD平分∠ACB，AC=2，连接CF，求线段CF的长．

DG

1

49

4

9

49

4

9

35

【答案】(1)证明：如图1中，

∵DE⊥CB，

∴∠ACB=∠E=90∘， ∵BD是切线， ∴AB⊥BD， ∴∠ABD=90∘，

∴∠ABC+∠DBE=90∘，∠BDE+∠DBE=90∘， ∴∠ABC=∠BDE， ∴△ACB∽△BED；

(2)解：如图2中，

∵△ACB∽△BED；四边形ACED是矩形， ∴BE：DE：BC=1：2：4， ∵DF//BC， ∴△GCB∽△GDF， ∴

(3)解：如图3中，

DGCG

=． 4

1

∵tan∠ABC=BC=2，AC=2， ∴BC=4，

易证△DBE≌△DBF，△ABC∽△DBE， ∴DE：BC=BE：AC，

∴DE=2BE，设BE=x，则DE=2x，

AC1

∵∠DCE=45∘， ∴CE=DE， ∴4+x=2x，

∴x=4，可得BF=BE=4=BC， ∴AC=AF=2，

∴CF⊥AB，设CF交AB于H． 则CF=2CH=2×

AC×BCAB

=

8√5

． 5

DG

1

【解析】(1)只要证明∠ACB=∠E，∠ABC=∠BDE即可；

(2)首先证明BE：DE：BC=1：2：4，由△GCB∽△GDF，可得=；

CG4(3)想办法证明AB垂直平分CF即可解决问题；

本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．

26. 为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车.公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某

校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称x=2时的y值表示9：为存量)情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，00点时的存量…以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系． 时段 x 还车数 7 8 … … 借车数 5 7 … 存量y 15 n … 7：00−8：00 1 8：00−9：00 2 … 根据所给图表信息，解决下列问题： (1)m=______，解释m的实际意义：______；

(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；

(3)已知10：00−11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．

【答案】13 7：00时自行车的存量 【解析】解：(1)m+7−5=15， m=13，

则m的实际意义：7：00时自行车的存量； 故答案为：13，7：00时自行车的存量；

(2)由题意得：n=15+8−7=16，

设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，

c=13

把(0,13)、(1,15)和(2,16)分别代入得：{a+b+c=15，

4a+2b+c=16

1

a=−

25解得：{b=， c=1315

∴y=−x2+x+13；

2

22

(3)当x=3时，y=−2×32+2×3+13=16， 当x=4时，y=−2×42+2×4=13=15，

设10：00−11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x−4， 根据题意得：16+2x−4−x=15， x=3，

答：10：00−11：00这个时段的借车数为3辆．

(1)根据等量关系式：m+借车数−还车数=8：00的存量，列式求出m的值，并写出实际意义；

(2)先求出9点时自行车的存量，当x=2时所对应的y值，即求出n的值；再设一般式将三点坐标代入求出解析式；

(3)先分别计算9：00−10：00和10：00−11：00的自行车的存量，即当x=3和x=4时所对应的y值，设10：00−11：00这个时段的借车数为x，根据上一时段的存量+还车数−借车数=此时段的存量，列式求出x的值即可．

本题是二次函数的应用，理解各量的实际意义：还车数、借车数、存量；弄清等量关系式：上一时段的存量+还车数−借车数=此时段的存量，考查了利用待定系数法求二次函数的关系式，并根据图象理解真正意义．

27. 在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P

(1)如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BP⋅BM=BN⋅BC； (2)如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM//BN，求DE的值；

(3)如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长．

ME

1

5

15

【答案】(1)证明：在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120∘， ∵BN=CM， ∴△ABN≌△BCM，

∴∠ANB=∠BMC， ∵∠PBN=∠CBM， ∴△BPN∽△BCM， ∴BC=BM，

∴BP⋅BM=BN⋅BC；

(2)延长BC，ED交于点H，延长BN交DH于点G，取BG的中点K，连接KC， BP

BN

在正六边形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120∘， ∴∠HCD=∠CDH=60∘， ∴∠H=60∘， ∴DC=DH=CH， ∵DC=BC， ∴CH=BC， ∵BK=GK，

∴2KC=GH，KC//DH， ∴∠GDN=∠KCN，

∵CN=DN，∠DNG=∠CNK， ∴△DNG≌△CNK， ∴KC=DG， ∴DG=1

1

3DH=3DE，

∵MG//AB，AM//BG， ∴四边形MABG是平行四边形， ∴MG=AB=ED， ∴ME=DG=1

ME3DE，即DE

=1

3

，

(3)如图3，过N作NH⊥AB，交AB的延长线于H，

∵∠ABC=120∘， ∴∠NBH=60∘，

Rt△NBH中，∠BNH=30∘，BN=1， ∴BH=1

12BN=2， ∴NH=√12−(1

2)2=

√3

2

， Rt△ANH中，AN=√AH2+NH2=√(2+12)2+(√32)2=√7，

连接FC，延长FC与AN交于G，设FC与BM交于K， 易证△ANB≌△GNC，

∴CG=AB=2，AN=NG=√7，FC=2AB=4， ∴FG=FC+CG=6， ∵EF//BC， ∴

FMBC

=FK

KC，

∴1

FK

2=KC， ∵FK+KC=4，

∴FK=4

8

8

143，KC=3，KG=3+2=

3

，

∵KG//AB， ∴∴

PGAPPGAP

==

KGAB

143

，

7=， 3

2

设PG=7x，AP=3x，

由PG+AP=AG=2√7得：7x+3x=2√7， x=

√7， 5

3√75

∴AP=3x=．

【解析】(1)先证明△ABN≌△BCM，得∠ANB=∠BMC，再证明△BPN∽△BCM，列比例式可得结论； (2)作辅助线，∠HCD=∠CDH=∠H=构建等边三角形的三角形的中位线CK，先证明△CDH是等边三角形得：60∘，DC=DH=CH，由△DNG≌△CNK，得KC=DG，DG=3DH=3DE，利用四边形MABG是平行四边形，

得MG=AB=ED，所以ME=DG=3DE，即DE=3；

3(3)如图3，作辅助线，构建直角三角形和全等三角形，根据直角三角形30∘的性质得：BH=2，NH=√，

2

1

143

11

1ME1

利用勾股定理求AN=√7，证明△ANB≌△GNC，利用EF//BC和KG//AB，列比例式可得：PG=

AP

2

7

=3，设

PG=7x，AP=3x，根据PG+AP=AG=2√7得：7x+3x=2√7，可得结论．

本题是相似三角形的综合题，考查了正六边形的性质、全等三角形和相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，一般情况下，正多边形的题解答都比较麻烦，熟练掌握正多边形的定义及性质是关键，第三问比较复杂，辅助线的作法是关键．

28. 如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经

过点B，交x轴正半轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；

(3)将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

【答案】解：(1)将x=0代入y=−3x+3，得y=3， ∴点B的坐标为(0,3)，

∵抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B， ∴3=a+4，得a=−1，

∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；

(2)将y=0代入y=−x2+2x+3，得x1=−1，x2=3， ∴点C的坐标为(3,0)，

∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m， ∴0<𝑚<3，点M的坐标为(m,−m2+2m+3)， 将y=0代入y=−3x+3，得x=1， ∴点A的坐标(1,0)， ∵△ABM的面积为S，

∴S=S四边形OAMB−S△AOB=S△BOM+S△OAM−S△AOB=

1×32

3×m2

+

1×(−m2+2m+3)

2

−

，

m2−5m25

化简，得 S=−

=−(m−)2+

2

2

1

5

258

，

25

∴当m=2时，S取得最大值，此时S=即S与m的函数表达式是S=−(,)； 24

OA′

57

m2−5m

2

，此时点M的坐标为(2,4)， 8

25

57

，S的最大值是8，此时动点M的坐标是

(3)如右图所示，取点H的坐标为(0,3)，连接HA′、OA′， ∵∠HOA′=∠A′OB，∴△OHA′∽△OA′B，

，

即

BA′3

1

，OB=3，

1

=A′H，

1

√82， 3

∵A′H+A′C≥HC=√(3)2+32=∴t≥

√82

， 3

即点M在整个运动过程中用时最少是

√82

秒. 3

【解析】(1)根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；

(2)根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；

(3)根据题意作出点H，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得t的最小值． 这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、最短路径、三角形相似，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．