2019年深圳中考数学试题(附详细解题分析)

2019年深圳市中考数学试卷

考试时间：90分钟 满分：100分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，合计36分．

{题目}1．（2019年深圳第1题）A.-5 B.

{答案}B

1的绝对值是 511 C.5 D. 5 51

1

{解析}本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质，−5的绝对值是5，因此本题选B． {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值 } {考点:绝对值的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年深圳第2题）下列图形中，是轴对称图形的是

A B C D

{答案}A

{解析}本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，判断即可得出答案．因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称} {考点:轴对称图形} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年深圳第3题）预计2025年，中国5G用户将超过460 000 000户。将数据460 000 000用科学计数法表示为：

94.610A．

7846104.610 B． C．

90.4610 D．

{答案}C

{解析}本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜

10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．因此本题选C． {分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

n

{题目}4．（2019年深圳第4题）下列哪个图形是正方体的展开图

A B C D

{答案}B

{解析}本题考查正方体的展开图。选项B属于正方体的展开图中1-4-1型，A，C，D选项在折的过程中均有正方形重叠。因此本题选B

{分值}3

{章节:[1-4-1-2]点、线、面、体} {考点:几何体的展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年深圳第5题）一组数：20，21，22，23，23，这组数的中位数和众数分别是 A．20，23

B．21，23 C．21，22 D． 22，23

{答案}D

{解析}本题考查了中位数和众数，根据一组数据按照由小到大（或由大而小）的顺序排列，中间位置的数或者中间两个数据的平均数为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，对各选项分析判断后即可得出答案．因此本题选D． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数}{考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年深圳第6题）下列运算正确的是

A．a2a2a4 B．a3ga4a12 C．a3a12 D． abab2

42

{答案}C

{解析}本题考查整式的运算，根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每一个因式的乘方的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题选C

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点: 合并同类项}{考点:同底数幂的乘法}{考点: 幂的乘方}{考点:积的乘方 } {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．（2019年深圳第7题）如图1，已知直线l1∥l2，直线l3交直线l1、l2于A、B两点，

l3l1 A543

AC为角平分线，则下列说法错误的是

A．∠1= ∠4 B．∠1= ∠5 C．∠2= ∠3

{答案}B

{解析}本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，根据角平分线的性质，易得∠1= ∠2，根据平行线的性质，可得∠2= ∠3，∠2= ∠4，根据等量代换，可得∠1= ∠4，选项A，C，D正确。同时，∠1和∠5并不是平行线所截出的同位角，因此本题选B． {分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:平行线的性质与判定}{考点:角平分线的性质} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年深圳第8题）如图2，已知△ABC中，AB=AC,AB=5,BC=3,以A、B两点为圆

心，大于的周长为

A．8 B．10 C．11

D． 13

AMDNBC D． ∠1= ∠3

1AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，与AC相交于点D,则△BDC2

{答案}A

{解析}本题考查了垂直平分线的作图知识判断出MN是AB的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得BD=AD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=3+5=8，因此本题选A． {分值}3

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:垂直平分线的性质}{考点:与垂直平分线有关的作图} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

图2

{题目}9．（2019年深圳）已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，

c则y＝ax＋bx 和y 的图象为（ ）

x

A. B.

C. D.

{答案}C

{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于抛物线开口向下，因此a＜0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＞0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于正半轴，又抛物线与y轴交于下半轴，因此c＜0，所以反比例函数经过二、四象限，因此本题选C． {分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:反比例函数的图象} {考点:一次函数的图象} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}

{题目}10．（2019年深圳）下面命题正确的是（ ） A． 矩形对角线互相垂直 B． 方程x2 =14x的解为x=14 C．六边形内角和为540°

D． 一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 {答案}D

{解析}本题考查了命题的真假问题，解答过程如下： A.矩形的对角线应满足互相相等关系，故A命题错误； B.方程x2=14x的解应是x=0或x=14，故B命题错误； C.六边形内角和根据内角和公式应等于180°×（6-2）=720°，故C命题错误； D.是全等判定定理中的“HL”定理，故D命题正确. 因此本题答案是D. {分值}3

{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}

{考点:命题}{考点:矩形的性质}{考点:一元二次方程的解}{考点:多边形的内角和} {考点:全等三角形的判定HL} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}

{题目}11．（2019年深圳）定义一种新运算

òabngxn-1dx=an-bn，例如

òkh2xdx=k-h，若ò-x-2dx=-2，则m＝（ ）

225mm22

A.－2 B.－ C.2 D.

55

{答案}B

{解析}本题考查了负指数幂参与的计算问题，先根据定义∴

òm5m-x-2dx=m-1-(5m)-1=-2，

11422-=-2，∴=-2，\\m=-，因此本题答案是-

m5m5m55

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:新定义}

{考点:负指数参与的运算} {难度:3-中等难度} {类别:新定义}

{题目}12．（2019年深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（ ）

AFD①△BEC≌AFC；

②ECF为等边三角形；

G③∠AGE=∠AFC；

GF1= ④若AF=1,则EG3E

A.1 B.2 C.3 D.4

{答案} D

{解析}本题考查了菱形的性质，全等三角形判定与性质、一线三等角等有关的几何综合题. ①选项：先由菱形的性质可知，AB=BC,∠BAC=∠CAD=60°，AD//BC，因此可得∠B=180°－∠BAD=60°，又AB=BC,∴△ABC是等边三角形，∴ BC=AC，又∠B=∠CAD=60°,BE=AF，∴△BEC≌AFC，故正确；

②选项：由①得EC=FC，∠BCE=∠ACF，∴∠ACF+∠ECG=∠BCE+∠ECG=∠BCA=60°，∴ECF为等边三角形，故正确； ③选项：由②得∠CEF=60°，∴∠B=∠BAC=∠CEF=60°，∴∠AGE+∠AEG=∠AEG+∠BEC=120°，证得∠AGE=∠BEC，∴∠AGE=∠AFC，故正确； ④选项：方法1：在△AEF中，由角平分，线定理得:方法2：作EM//BC交AC于M点，则：

BCGFAF1==,故正确； EGAE3GFAF=,易证△AEM是等边EGEMGFAF1==,故正确； 三角形，则EM=3，∴EGEM3

方法3：过点G分别向AE，AF作垂线，垂足为H，I，易证得△AHG≌AIG，∴GH=GI，

又∵BE=AF=1，∴AE=3，

SΔAFGSΔAEG1AFgGI12==，设点A到EF距离为h，则

13AEgGH21FGghSGF112=，故正确. =ΔAFG=，即1EG3SΔAEG3EGgh2AIHEGFD因此本题①②③④均正确，选D. {分值}3 B{章节:[1-18-2-2]菱形}

{考点:几何选择压轴}{考点:与矩形菱形有关的综合题}

{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:一线三等角} {难度:5-高难度} {类别:高度原创}

C{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3分，合计12分．

{题目}13．（2019年深圳）分解因式：ab-a=____________________________. {答案}a(b+1)(b-1)

{解析}本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，得到a(b+1)(b-1) {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解}

{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}14．（2019年深圳）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是____________. {答案}

23 83. 8{解析}本题考查了一步事件的概率；共有8张，标有数字2的卡片总共有3张，因此本题答案是

{分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:一步事件的概率} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}15．（2019年深圳）如图，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点D对应点刚好落在对角线AC上，求EF=_______________.

BCEFA{答案}6 {解析}本题考查了与正方形有关的折叠问题，先作FM⊥AB于点M，由折叠可知：

EX=EB=AX=1，AE=2，AM=DF=YF=1，∴正方形的边长AB=FM=2+1，EM=2-1,

2222D

∴EF=EM+FM=(2-1)+(2+1)=6，因此本题答案是6. {分值}3

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:折叠问题}{考点:正方形的性质}

Y {难度:4-较高难度}

{类别:高度原创}{类别:思想方法} M X

{题目}16．（2019年深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C（0，－3），CD=3AD，点A在

y

反比例函数y

k图象上，且y轴平分∠ACB，求k=______________. x

{答案}

D

47 7C

{解析}本题考查了反比例函数综合题，如图所示，作AE⊥x轴，由题意，可证△COD∽△AED， ∵CD=3AD， C(0，－3)，∴AE=1，OD=3DE，设DE=x，则OD=3x， ∵y轴平分∠ACB，∴BO=DO=3x， ∵∠ABC=90°，AE⊥x轴，∴可证△CBO∽△BAE，则

BOCO3x3=,即=,解得：x=AEBE17x(∴A7， 7E 474747,1)，∴k=，因此本题答案为. 777{分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图象和性质} {考点:双曲线与几何图形的综合}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}{类别:思想方法}

{题型:4-解答题}三、解答题(共7小题。第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，

第21题8分，第22题9分，第23题9分。共52分)

1{题目}17．（2019年深圳第17题）计算：9-2cos600++(π-3.14)0

8{解析}本题考查了二次根式，600的余弦值，负指数幂和零指数幂． {答案}解原式=3 - 2×+ 8 + 1 =3-1+8+1 =11

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:算术平方根} {考点:余弦}

{考点:负指数的定义} {考点:零次幂}

-112

{题目}18．（2019年深圳第18题）先化简（1-3x1，再将x= -1代入求值. ）2x2x4x4{解析}本题考查了分式的加减、因式分解－完全平方公式、两个分式的乘除、分式的混合运算、

通分、约分、分式的值。

3x1{答案}解： （1-）2x2x4x4

x1 原式= （x2-3）2x2x2x4x4

2 = x1(x2)

x2x1 = x+2

当时x= - 1时，原式=x+2= - 1+2 = 1 {分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方} {考点:通分} {考点:约分}

{考点:两个分式的加减} {考点:两个分式的乘除} {考点:分式的混合运算} {考点:分式的值}

{题目}19．（2019年深圳第19题）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图

（1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= ； （2）请补全统计图；

（3）在扇形统计图中“杨琴”所对扇形的圆心角是 度 ；

（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名。

{解析}本题考查了条形统计图、扇形统计图以及由部分求总体和有总体求部分的运用． {答案}解：（1）80÷40％=200， x=30÷200×100％=15％

(2) 如上图所示：

(3)

20×360=36 200(4)

60×3000=900 200

{分值}7

{章节:[1-10-1]统计调查} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:抽样调查} {考点:条形统计图} {考点:扇形统计图}

{考点:统计的应用问题}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，合计52分． {题目}20．（2019年深圳）（本小题满分8分）

如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC,施工队站在点D处看向B，测得仰角为45o.再由D走到E处测量，DE//AC,ED=500米，测得仰角为53o,求隧道BC的长.(sin53o≈

ACBG 434oo,cos53≈,tan53≈)

553 F 45°53°

ED{解析}本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，会准确地选择合适的锐角三角函数求图7

线段的长．(1)根据仰角为45o这个已知条件可证得ΔABD是等腰直角三角形,从而可求出AB的长；(2)作EG⊥AC可得到矩形ADEG，求出EG长为600米，在RtΔCGE中，利用53o角的正切值即可求出CG的长，从而利用线段的和差关系求得BC的长. {答案}解：过点E作EG⊥AC，交AC于点G. 由题意可知，∠ADB= 45o,∠CEG= 53o ∵AD⊥BC ∴∠BAD= 90o

∴∠ABD=90o-∠ADB=90o- 45o=45o

∴∠ABD= ∠ADB=45o ∴AB=AD=600米 ∵DE//AC ∴∠ADE=180o- 90o=90o ∵EG⊥AC ∴∠EGA= 90o ∴四边形ADEG是矩形

∴EG=AD=600米, AG=DE=500米 ∴BG=AB-AG=600-500=100米 在RtΔCEF中，tan53∴CG=tan53oEG≈

0CG EG4600=800 3∴BC=CG-BG=800-100=700米 答：隧道BC的长为700米. {分值}8分

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:等腰直角三角形} {考点:矩形的性质} {考点:矩形的判定} {考点:正切}

{考点:三角函数的关系}

{题目}21．（2019年深圳）（本小题满分8分）

现在A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A发电厂焚烧20 吨垃圾比B发电厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(1)求焚烧一吨垃圾，A、B两个发电厂各发电 多少度？(2)A、B两个发电厂供焚烧90吨垃圾，且A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃 圾的两倍，试问，当A、B两个发电厂总发电量最大时，A、B两个发电厂的发电量各为多少 度？

{解析}本题考查了二元一次方程组应用题，以及二元一次方程组的解法，一次函数应用题的 最值问题，利用一次函数的增减性求函数最大值.(1)此题的第一小题可以选择设两个未知数， 从而建立二元一次方程组的方法来求得焚烧一吨垃圾A、B两个发电厂各发电多少度；也可 以只设一个未知数，通过解一元一次方程来解决实际问题;(2)第二小题的难点在于怎样计算 A、B两个发电厂总发电量，解决这个问题的关键是设A发电厂焚烧x吨垃圾，这样就可以用 含x的式子表示出总发电量y了.题中还涉及了最大值的问题，因此需要用到一次函数的增减性来确定x的取值，从而可以分别求出A、B两个发电厂的发电量.

{答案}解：(1)设每焚烧一吨垃圾，A发电厂发电a吨，B发电厂发电b吨. 根据题意得： ab40a300 解得 

30b20a1800b260答：每焚烧一吨垃圾，A发电厂发电300吨，B发电厂发电260吨.

(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90-x)吨垃圾，总发电量为y吨.

根据题意得：

y=300x+260(90-x)=40x+23400

∵ A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃圾的两倍

∴x ≤ 2(90-x) 解得x ≤ 60

∵k=40>0

∴y随x的增大而增大

∴当x=60时，总发电量y取最大值，最大值y=40×60+23400=25800度 此时A发电厂的发电量为：300×60=18000度

B发电厂的发电量为：260×30=7800度

答：当A、B两个发电厂总发电量最大时，A发电厂的发电量为18000度，

B发电厂的发电量为7800度.

{分值}8分

{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法}

{考点:简单的列二元一次方程组应用题} {考点:其他一次函数的综合题} {考点:一次函数的性质}

{题目}22．如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A（一I, 0），点C(O，3），且OB=OC. （1）或抛物线的解析式及其对称轴：

（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值.

（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

yCyCDE

ABAB OxxO

P

{解析}本题考查了二次函数与轴对称，三角形面积的相关知识，比如给与坐标轴的三个点求二次函数的解析式；通过作轴对称求两条线段的距离之和最短，从而求四边形的最短周长；通过把三角形面积之比转化为相关线段（底和高）之比，求得线段长度及点的坐标。整体综合性强，难度适中。

（1）由OB=OC，求得点B的坐标，由待定系数法求抛物线解析式；

（2）四边形ACDE已有两条边AC、DE的长度是固定不变的，要想周长最短，只需要CD+AE之和最短即可，CD、AE在抛物线的对称轴x=1的同侧，所以可以通过轴对称，和构造平行四边形，根据“两点之间，线段最短”，将两条线段的和转化为一条线段的长度；

（3）存在性问题，可根据△ACP和△BCP的面积之比为3∶5或5∶3，分两种情况讨论，每种情况下都可以用底和高表示三角形的面积，由此得到直线CP的解析式，然后与抛物线解析式联立，即可求出点P 坐标.

{答案}解： （1）∵OB=OC，C（0，3） ∴B（3，0）

把A(-1，0)，B（3，0），C（0,3）代入y=a𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，得

𝒄=𝟑𝒂=−𝟏{𝒂−𝒃+𝒄=𝟎 解得：{𝒃=𝟐 𝟗𝒂+𝟑𝒃+𝒄=𝟎𝒄=𝟑

∴二次函数的解析式为𝐲=−𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟑

C，

（2）如图22-1，把点C沿y轴向下平移1个单位长度，得到点𝐶，(0,2) ∵DE=1且DE∥C𝐶，

∴四边形C𝐶，𝐸𝐷为平行四边形，CD=𝐶，𝐸

图22-1

∵直线x=1为抛物线的对称轴，点A、B关于直线x=1对称 连接𝐶，𝐵交直线x=1于点E，

∴BE=AE，此时AE+CD=BE+𝐶，𝐸=𝐵𝐶，，根据两点之间，线段最短，得B𝐶，为AE+CD之和的最小值，B𝐶，=√22+32=√13， 又∵AC=√1+32=√10，DE=1

∴四边形CAED的周长的最小值为√13+√10+1. （3）设直线CP与x轴的交点为点Q,点P的坐标为（x，y） 过点P作PH⊥x轴于点H,

∴𝑆△𝐴𝐶𝑃=𝑆△𝐴𝐶𝑄+𝑆△𝐴𝑃𝑄=2𝐴𝑄∙𝑂𝐶+2𝐴𝑄∙𝑃𝐻

=

12

12

1

1

121

∙𝐴𝑄∙(3−𝑦)

∴𝑆△𝐵𝐶𝑃=𝑆△𝐵𝐶𝑄+𝑆△𝐵𝑃𝑄=𝐵𝑄∙𝑂𝐶+𝐵𝑄∙𝑃𝐻

2

∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，下面分两种情况谈论：

① 当𝑆△𝐴𝐶𝑃:𝑆△𝐵𝐶𝑃=3:5时，即

1

∙𝐴𝑄∙(3−𝑦)2

1

∙𝐵𝑄∙(3−𝑦)2

=∙𝐵𝑄∙(3−𝑦)

=5 得𝐵𝑄=5

3

1

3𝐴𝑄3

yC∵AB =4，∴AQ=2 ∴Q(2，0) 设直线CQ的解析式为y=kx+b

1

得{2

𝑘+𝑏=0

解得{

𝑏=3

又∵点P为直线CQ与抛物线的交点

𝑦=−6𝑥+3𝑥=8𝑥=0

联立{ 解得{ 或{（舍）

2𝑦=−45𝑦=3𝑦=−𝑥+2𝑥+3

∴点P的坐标为（8,-45）

② 当𝑆△𝐴𝐶𝑃:𝑆△𝐵𝐶𝑃=5:3时，即

1

∙𝐴𝑄∙(3−𝑦)2

1

∙𝐵𝑄∙(3−𝑦)2

𝑘=−6

∴直线CQ的解析式为y=−6x+3 𝑏=3

AOQ BH Px图22-2 = 得

352

5𝐴𝑄𝐵𝑄

=

332

5

∵AB =4，∴AQ= ∴Q(，0) 设直线CQ的解析式为y=kx+b

3

得{2

𝑘+𝑏=0

解得{

𝑏=3

又∵点P为直线CQ与抛物线的交点

𝑦=−2𝑥+3𝑥=4𝑥=0

联立{ 解得{ 或{（舍）

𝑦=−5𝑦=3𝑦=−𝑥2+2𝑥+3

∴点P的坐标为（4,-5）

综上所述，点P的坐标为（8，-45）或（4，-5）. {分值}9

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度: 4-较高难度} {类别:高度原创}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

𝑘=−2

∴直线CQ的解析式为y=−2x+3 𝑏=3

{考点:线段公理} {考点:三角形的面积} {考点:最短路线问题} {考点:平移的性质}

{题目}23．如图，在平面直角坐示系中，点A(3,0)、B(3,0)、C(3,8),以线段BC为

直径作圆，圆心为点E,线段AC交⊙E于点D,连接OD. (1)求证：直线OD是⊙E的切线；

（2）点F为x轴上的一个动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG. ① 当tanACF② 试求

BOAx图10 1时，直接写出所有符合条件的点F的坐标 7BG的最大值； CFyCyCGDBO图11 AFxyCEDEEGBO备用图 Fx{解析}本题考查了圆、三角函数、相似、勾股定理的相关知识。所涉及的方法有：数形结合、分类讨论、方程思想。

（1）连接DE、DB,证∠EDB=∠EBD, ∠ODB=∠OBD,从而得到∠EDO=∠EBO=90°,即可证明切线。

（2）问题①分两种情况：点F位于AB上；点F位于BA的延长线上求解。本题的关键是求AF的长度，将角度的正切值转化为线段比去对应求解，故应把∠ACF放在直角三角形中，过点F1作F1N⊥AC,利用三角函数及相似求出AF长度即可。

问题②最值问题最好是利用相似比例问题去转化，会减少计算量；此题如果用代数解法，则对同学们的计算能力要求高些，或利用高中的相关公式（倍角公式或基本不等式）进行秒杀也是可以的。

{答案}

y（1）证明：连接DE、DB，则： ∵BC为直径 C∴∠BDC=90° ∴∠BDA=90° ∵OA=OB ED∴OD=OB=OA

∴∠OBD=∠ODB ∵EB=ED AxBO∴∠EBD=∠EDB

∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB 即: ∠EBO=∠EDO ∵CB⊥x轴 ∴∠EBO=90° ∴∠EDO=90° ∵D点在OE上

∴直线OD是⊙E的切线

（2）如图1，当F位于AB上时： 作F1N⊥AC于点N， ∵△ANF1∽△ABC

AN∴ABNF1BCAF1AC ∴设AN=3x,则N F1=4x, AF1=5x

∴CN=CA-AN=10-3x ∴

tanACFF1N4CNx103x17

解得：

x1031 ∴

AF5x50131 OF5043133131即

F(43 131,0)

如图2，当F位于BA的延长线上时：∵△AMF2∽△ABC

∴设AM=3x,则MF2=4x, AF2=5x ∴CM=CA+AM=10+3x ∴

tanACFF2M4xCM103x17解得：

x25 ∴AF2=5x=2

OF2=3+2=5 即 F2 (5,0)

(3)方法1： △CBG∽△CFB

BGBCCG∴

BFCFBC BC2CGCF

CFBC2CG

CG2BG2BC2

y C E D G N B O F1 A x 图1 C y E G D B O A F2 x

图2 M yCE GD

BG2BC2CG2

BG2BC2CG2(CG2)CG2BC4CF22CG2 CG2(CG2)BGCF

22yCG(CG) 令

yCG4CG2 y(CG4CG2) y[(CG232)2322]

当

y(CG232)2322

22y32maxCG32时，

此时CG42 (BG321)maxCF2

方法2：

如图，作GM⊥BC于点M,

∵∠MBG+∠BCG=∠CFB+∠BCG ∴∠MBG=∠CFB ∴△MBG∽△BFC

y C BGMGMGBC8 ∴CF(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)

∵MG≤半径=4

E M . B O G BGMG41CF882 ∴BG1∴CF的最大值为2

方法3： ∵BC为直径

∴∠CGB=∠CBF=90°

∴∠CBG=∠CFB(记为a,其中0°F x BGBCcosa11sinacosasin2aBCCF22sina则：

BG1∴CF的最大值为2

{分值}9

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度} {类别:高度原创} {考点:切线的判定}

{考点:直角三角形斜边上的中线} {考点:等边对等角} {考点:等角对等边}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}

{考点:三角函数的关系} {考点:求二次函数的函数值}