石阡中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

x1tcos1． 已知直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以原点O为极点，x轴

y3tsin正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin(3)，直线l与圆C的两个交点为A,B，当2 3|AB|最小时，的值为（ ）

A．4 B．3 C．3 4 D．(2i)22． 复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i

【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．

xy2„03． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…03131A. B. C. D.

8844【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.

4． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.3 2B.1 C. 2 D. 3

【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.

5． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36p， 则正方体棱长为（ ）

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A．2 B．3 C．4 D．5

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．

x2y26． 椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2，点P是C上异于A1,A2的任意一点，且直线PA1斜率的

43取值范围是1,2，那么直线PA2斜率的取值范围是（ ）

A．313313, B．, C．,1 D．,1 424824【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力． 7． 如右图，在长方体

中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

A

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B

C

D

x2y28． 设F为双曲线221(a0,b0)的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到

ab1另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（ ）

223A．22 B． C．23 D．3

3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．

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9． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（ ） A．4 B．1或3 C．3 D．1

10．设函数f(x)loga|x1|在(,1)上单调递增，则f(a2)与f(3)的大小关系是（ ） A．f(a2)f(3) B．f(a2)f(3) C. f(a2)f(3) D．不能确定 11．以下四个命题中，真命题的是（ ） A．x(0,)，sinxtanx

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数 D．ABC中，“sinAsinBcosAcosB”是“C2x2”的充要条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 12．对于复数

,若集合具有性质“对任意,必有”,则当

时,A1 B-1 C0 D

等于 ( )

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

ym13．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．

3x2y60【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．

14．已知f(x)是定义在R上函数，f(x)是f(x)的导数，给出结论如下： ①若f(x)f(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)e的解集为(0,)；

x②若f(x)f(x)0，则f(2015)ef(2014)； ③若xf(x)2f(x)0，则f(2④若f(x)n1)4f(2n),nN；

f(x)0，且f(0)e，则函数xf(x)有极小值0； xex⑤若xf(x)f(x)，且f(1)e，则函数f(x)在(0,)上递增．

x第 4 页，共 15 页

其中所有正确结论的序号是 ．

15．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

16．已知x，y为实数，代数式1(y2)29(3x)2x2y2的最小值是 . 【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.

2三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

x2y2

17．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

18．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（ ） A BCD

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19．（本小题满分10分）

x2t,x2y21，直线l:已知曲线C:（为参数）. 49y22t,（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值.

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． y2【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

21．（本小题满分12分）

一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；

（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．

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22．（本小题满分12分） 已知函数f(x)ax3x1. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

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石阡中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】A

【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C22的方程为(x3)(y1)4，直线l的普通方程为y3tan(x1)，直线l过定点M(1,3)，∵

|MC|2，∴点M在圆C的内部．当|AB|最小时，直线l直线MC，kMC1，∴直线l的斜率为1，∴

4，选A．

2． 【答案】A

(2i)2i(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A. 【解析】根据复数的运算可知zi3． 【答案】B 【

解

析

】

4． 【答案】D 【

解

析

】

5． 【答案】C

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6． 【答案】B

7． 【答案】C 【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12） （1）l1长度计算 所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。 设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24） 根据相识三角形易知： xE2=2xE=2×4=8， yE2=2yE=2×3=6， 即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。 8． 【答案】B

=13。

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【解析】

9． 【答案】C 【解析】

考点：指数函数的概念． 10．【答案】A 【解析】

loga1x,x,1试题分析：由fx且fx在,1上单调递增，易得logx1,x1,a0a1,1a12.fx在1,上单调递减,fa2f3，故选A.

考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性. 11．【答案】D

12．【答案】B 【解析】由题意，可取

，所以

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】[3,6]. 【

解

析

】

14．【答案】②④⑤

【解析】解析：构造函数g(x)ef(x)，g(x)e[f(x)f(x)]0，g(x)在R上递增，

xx∴f(x)eexf(x)1g(x)g(0)x0，∴①错误；

f(x)f(x)f(x)构造函数g(x)x，g(x)0，g(x)在R上递增，∴g(2015)g(2014)， xee∴f(2015)ef(2014)∴②正确；

22构造函数g(x)xf(x)，g(x)2xf(x)xf(x)x[2f(x)xf(x)]，当x0时，g(x)0，∴g(2n1)g(2n)，∴f(2n1)4f(2n)，∴③错误；

xxf(x)f(x)xf(x)f(x)由f(x)0得0，即0，∴函数xf(x)在(0,)上递增，在(,0)上递

xxx减，∴函数xf(x)的极小值为0f(0)0，∴④正确；

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exexxf(x)xg(x)exf(x)，则由xf(x)f(x)得f(x)，设2xxexexxxg(x)ef(x)xf(x)e(x1)，当x1时，g(x)0，当0x1时，g(x)0，∴当

xxx0时，g(x)g(1)0，即f(x)0，∴⑤正确．

15．【答案】22.

16．【答案】41.

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

第 12 页，共 15 页

x2k2x2

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±42∴y＝±即M（∴|MN|＝ ＝42k1＋2k21＋2k

2

21＋2k

2

，

， ，2k1＋2k

），N（－21＋2k

，

－2k1＋2k

2

222

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 即当k＝－

22时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x. 22

18．【答案】C

【解析】

19．【答案】（1）

x2cos22525，y2x6；（2），.

55y3sin第 13 页，共 15 页

【解析】

试题分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C的参数方程设曲线上C任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线的距离，利用正弦函数求出PA，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C的参数方程为x2cos，（为参数），直线的普通方程为y2x6.

y3sin5|4cos3sin6|． 5d254|5sin()6|，其中为锐角，且tan，当sin()1时，|PA|取则|PA|sin305322525得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.

55（2）曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到的距离为d考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 20．【答案】

【解析】（1）由题意，知不等式|2x|2m1(m0)解集为,2由|2x|2m1，得m2,．

11xm，……………………2分 2213所以，由m2，解得m．……………………4分

22aayy（2）不等式f(x)2y|2x3|等价于|2x1||2x3|2y，

22ay由题意知(|2x1||2x3|)max2y．……………………6分

2

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，

22C4C416∴所求概率为P122（6分）

C5C525第 14 页，共 15 页

112C323C2C3C231（Ⅱ）0,1,2, P(0)2，P(1)，，（9分） P(2)22C510C55C510故的分布列为：

 P 0 1 2 3 103 51 10 （10分）

∴E0331412 （12分） 105105222．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f(x)3ax6x3x(ax2)， （1分）

22或x0，解f(x)0得0x， aa22 ∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22 （Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,)

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （12分）

2①当a0时，解f(x)0得x

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