上高县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

上高县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

2． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ） A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

3． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4． 执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

A．19 B．42 C．47 D．

5． 若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6． 如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B．1﹣ C． D．1﹣

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x2y27． 双曲线221a0,b0的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于

abA、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2（ ）

A．122 B．422 C．522 D．322 8． e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是（ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

9． 已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．￢p∧q

C．p∧￢q

D．￢p∧￢q

10．经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ ） A．xy20 B．xy10

C．x1或y1 D．xy20或xy0

11．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]

A．10 B．15 C．20 D．30

12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

二、填空题

13．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．

14．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

OAB面积的最大值为 . 第 2 页，共 18 页

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【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.

15．已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与

3

的展开式中x的系数相等，则a= ．

16．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

17．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）． ①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；

②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线

﹣

=1与椭圆

有相同的焦点．

18．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）

三、解答题

19．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中AOB为

2，半3径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧

AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD//AO，设AOC．

（1）用表示CD的长度，并写出的取值范围； （2）当为何值时，观光道路最长？

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20．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）． （Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ） 若a=2，数列{an}满足an+1=f（an）． （1）若首项a1=10，证明数列{an}为递增数列；

（2）若首项为正整数，且数列{an}为递增数列，求首项a1的最小值．

21．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是． （1）求f（x）的解析式；

（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；

（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

22．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

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23．f(x)sin2x3sin2x. 2A2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

24．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．

？若存在，求出BP的长；不存在，说明理

．若O

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上高县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

ln|x|

【解析】解：∵f（x）=e+

∴f（﹣x）=e

ln|x|

﹣

f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，

故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称， 可排除A，D，

当x→0时，y→+∞，故排除B

+

故选：C．

2． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

3． 【答案】B

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【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限．

故选：B

4． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 S=1

满足条件k＜5，S=3，k=2 满足条件k＜5，S=8，k=3 满足条件k＜5，S=19，k=4 满足条件k＜5，S=42，k=5

不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42． 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．

5． 【答案】C

【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1， ∴y=+=（a+b）∴y=+的最小值是4． 故选：C．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

6． 【答案】B

=2+

=4，当且仅当a=b=时取等号．

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【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为公式可得该点取自阴影部分的概率是故选：B．

；

，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型

【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．

7． 【答案】C 【解析】

试题分析：设

A1F则B1F2AB，mm,2AF2m,2，2因aBF2m为a21m，在直角ABAF2BF2m，所以m2a2m2am，解得4a2m，所以AF22525222三角形AF中，由勾股定理得，因为，所以4a2m4c2m4cF1228a，所以

22e2522. 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方.111.Com] 8． 【答案】B 【解析】

考点：向量共线定理．

9． 【答案】B

11xx

【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣＞3﹣，所以命题p：∀x∈R，2＜3为假命题，则￢p为真命题．

3232

令f（x）=x+x﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x+x﹣1在（0，1）上存在零点，32

即命题q：∃x∈R，x=1﹣x为真命题．

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则￢p∧q为真命题． 故选B．

10．【答案】D 【解析】

考

点：直线的方程. 11．【答案】D 【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样 12．【答案】B

150050，故选D. 30二、填空题

13．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna

2

可知r=2，所以系数为C10×4=180，

rn﹣rr

b可设含

x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r

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故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

14．【答案】【

5123 9解

析

】

15．【答案】

【解析】解：（ax+1）的展开式中x的项为

5

2

．

=10a2x2，x2的系数为10a2，

=5x3，x3的系数为5，

与

2

∴10a=5，

的展开式中x的项为

3

2

即a=，解得a=

． ．

故答案为：

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．

16．【答案】

．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

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222

∴4b=a+2ac+c① 222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

17．【答案】 ②③ ．

【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．

②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．

③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．

④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．

故正确的命题为②③． 故答案为：②③．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．

18．【答案】 3.3

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【解析】

解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子． 设BC=x，则根据题意 =

，

AB=x，

在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，

=

=

，求得

则，即

x=3.3（米）

故树的高度为3.3米， 故答案为：3.3．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

三、解答题

19．【答案】（1）CDcos时，观光道路最长.

3sin,0,;（2）设当时，L取得最大值，即当6633CDODCO

sinCODsinDCOsinCDO232332sin CDsincossin，OD3333233ODOBsin1sin0

3233CDcossin,0,

33【解析】试题分析：（1）在OCD中，由正弦定理得：（2）设观光道路长度为L，

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则LBDCD弧AC的长 = 12333sincossin= cossin1，0, 33333cos1 3Lsin由L0得：sin列表： 3，又 0,6623 6 0 极大值  0, 6 + ↗ , 63 - ↘ L L 当6时，L取得最大值，即当6时，观光道路最长.

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 20．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵∴

当a=2时，则

， （x＞0），

在（0，+∞）上恒成立，

当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0， 当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0， 综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减， 在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增； 当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；

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当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）若a=2，则

，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0， 假设0＜ak＜ak+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增， ∴f（ak+1）＞f（ak），即得ak+2＞ak+1＞0，

由数学归纳法原理知，an+1＞an对于一切正整数n都成立， ∴数列{an}为递增数列．

（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{an}为递增数列， ∴f（a1）＞a1，即设

∴函数g（x）在区间由于

∴首项a1的最小值为6．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．

选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】 21．【答案】

【解析】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x） 则对称轴x=， f（x）存在最小值， 则二次项系数a＞0

2

设f（x）=a（x﹣）+．

（a1为正整数），

（x≥1），则

上递增，

，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，

，

将点（0，4）代入得： f（0）=解得：a=1

22

∴f（x）=（x﹣）+=x﹣3x+4．

，

（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x

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=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．

当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；

2

当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t；

当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5． 综上所述：

当t≤0时，最小值4；

2

当0＜t＜1时，最小值4﹣t；

当t≥1时，最小值﹣2t+5． ∴

．

（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，

2

∴m＜x﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立， 2

∵g（x）=x﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为

，

∴m＜．

22．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x，

由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（

（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当

，

，x2=，x＞＜x＜）和（

）上单调递增；

；

，x1＜x2， ；

，+∞）单调递减，

时，即a≥4

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减， 因此f（x）在x=x2=

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；

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当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

23．【答案】（1）k【解析】

试题分析：（1）根据2k3,k5（k）；（2）23. 62x2k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由Af1可2622得A3，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

试题解析:（1）f(x)11322cos2x2sin2xsin(2x16)2， 令2k22x62k32，解得k53xk6，kZ，

∴f(x)的单调递减区间为[k53,k6]（kZ）. 考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．

24．【答案】

【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，

∴A1O=

=

，…（2分）

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∴

+AD2=AA12，

∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）

（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得

=

=

，

．…（8分）

），…（6分）

=（x，y，z），

设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为

=（1，m+1，0），

又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．

又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得

=

=（1，0，0）．…（10分） =

，…（12分）

解得m=1或m=﹣3（舍去）．

∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为

．…（13分）

【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．

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