一次函数与一次方程(组)(提高)知识讲解

【学习目标】

1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系。 2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想． 【要点梳理】

要点一、一次函数与一元一次方程的关系

一次函数ykxb(k≠0,b为常数）。当函数y＝0时，就得到了一元一次方程

kxb0，此时自变量x的值就是方程kxb＝0的解。所以解一元一次方程就可以转化

为:当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

从图象上看,这相当于已知直线ykxb（k≠0，b为常数）,确定它与x轴交点的横坐标的值。

要点二、一次函数与二元一次方程组

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：

1。两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点。如一次函数y2x4与

y313x图象的交点为(3，－2），则22y2x4就是二元一次方程组 313的解。

yx22 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，

则两个一次函数的直线就平行。反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组

无解,则一次函数y3x5与y3x1的图象

就平行，反之也成立。 3。当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合,反之也成立.

要点三、方程组解的几何意义

1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．

2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；

根据交点的坐标，求出（或近似估计出)方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组,用图象法可以很容易观察出它的解的个数．

【典型例题】

类型一、一次函数与一元一次方程

【高清课堂：391660 一次函数与一元一次方程(组），例1】

1、方程3x28的解是x＝______，则函数y3x2在自变量x等于_______时的函数值是8。

【答案】2;2；

【解析】解方程3x28得到：x2。函数y3x2的函数值是8．即3x28，即

函数y3x2在自变量x等于2时的函数值是8．

【总结升华】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线yaxb确定它与x轴的交点的横坐标的值． 举一反三：

【变式】(2015•平顶山三模）直线y=2x+3与坐标轴围成的面积是（ ）

A． B．3 C． D．6 【答案】C．

解：如图，设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,

在y=2x+3中,令y=0,可得2x+3=0，解得x=﹣，令x=0，可得y=3, ∴A（-，0）,B(0，3）， ∴OA=，OB=3，

∴S△AOB=OA•OB=××3=， 故选C．

类型二、一次函数与二元一次方程组

2、（2016春•临清市期末）直线l1:y=x+1与直线l2：y=mx+n的交点P的横坐标为1，则下列说法错误的是（ ） A．点P的坐标为(1，2）

B．关于x、y的方程组的解为

C．直线l1中，y随x的增大而减小 D．直线y=nx+m也经过点P

【思路点拨】把x=1代入y=x+1，得出y的值，再判断即可． 【答案与解析】

解：把x=1代入y=x+1，y=2,

所以A、点P的坐标为（1，2),正确； B、关于x、y的方程组

的解为

，正确；

C、直线l1中,y随x的增大而增大,错误； D、直线y=nx+m也经过点P，正确； 故选C.

【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标． 【变式】分别用f(x)和g(x)表示两个关于x的代数式,在坐标系中,如果函数yf(x)与

yf(x)，的解的个数是 ． yg(x)的图象有3个交点，那么方程组yg(x)【答案】3；

3、（2014•杭州模拟）已知直线y1=x，

，

的图象如图，若无论

x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为 ．

【思路点拨】先判断出y的最大值为直线y2与y3的交点的纵坐标，然后联立两直线解析式求解即可． 【答案】2．

【解析】解：根据题意，y的最大值为直线y2与y3的交点A的纵坐标，

联立，

解得,

所以，当x=3时,y的值最大为2．

【总结升华】本题考查了一次函数的性质,准确识图并判断出y取得最大值时的情况是解题的关键,求A点的坐标就是联立y2与y3，求该方程组的解。 类型三、一次函数与一次方程（组）的应用

4、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车,小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为____千米/分

钟；

（2)请你求出小明离开学校的路程s（千米)与历经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；

（3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【思路点拨】（1）图象所示AB段为查阅资料时间.线段BC表示小聪返校时的图象.（2）s是t的正比例函数，可设s＝kt,将（45，4)代入求出k即可.(3）先求出直线BC的解析式，再求出BC与OD的交点. 【答案与解析】 解:（1)15 ；

4; 15(2）由图象可知，s是t的正比例函数．

设所求函数的解析式为：skt(k0)． 代入(45，4)得：4＝45k．解得k∴ s与t的函数关系式为s4． 454t(0t45)． 45 (3)由图象可知,小聪在30≤t≤45的时段内与小明相遇． s是t的一次函数,设函数解析式为smtn(m0)，

4m30mn4 代入(30，4），（45,0）得解得：15．

45mn0n12444t12(30t45)，令t12t， 151545135 解得t．

41354135 当t时,s3．

4454 ∴ s 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．

【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视．