2012年泉州市普通中学高中毕业班质量检测文科数学

（在此卷上答题无效）

保密★启用前

2012年泉州市普通中学高中毕业班质量检测

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：

样本数据x1、x2、„、xn的标准差：

1(x1x)2(x2x)2xnx，其中x为样本平均数； n柱体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高； s锥体体积公式：V1Sh，其中S为底面面积，h为高； 34R3，其中R为球的半径. 32球的表面积、体积公式：S4R，V

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．设全集UR，集合Ax|x0,Bx|1x1，则图中阴影部分表示的集合为

A．x|x1 B．x|x1 C．x|0x1 D．x|1x0 2．已知i为虚数单位，则复数z2i的实部等于 i A. 2 B. 1 C. 1 D. 2

1 第1页（共13页） 市质检数学（文科）试题

23．命题“x0，都有xx0”的否定是

A．x0，都有xx0 B．x0，都有xx0 C．x0，使得xx0 D．x0，使得xx0 4. 已知ABC的面积为

22223，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2,c3，则A等于 2A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，x,f(x)的对应值如下表：

x

f(x)

2 1 2

1 1

2

3 2

3 1

在下列区间内，函数f(x)一定有零点的是

A．(2,1) B．(1,1) C．(1,2) D．(2,3) 6．若抛物线y2pxp0的焦点到双曲线xy1的渐近线的距离为

22232，则p的值为 2A．65 B．6 C．23 D．3 ，kR，下列向量b与a不7.设向量a=(1,1)．可．能．垂直的是

22A．bk,k1 B. bk,1 C．bk,k1 D．bk,1

8．圆x2y2ax20与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为 A. xy40 B. x2y10

C. xy20 D. 2xy50 9. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积

为

，则该几何体的俯视图可以是 122xy1010．设实数x、y满足约束条件xy2，则zxy的最小值为

x3A．4 B．5 C．6 D．7

211．设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f(3)1,f(7)aa1，则实数a2 第2页（共13页） 市质检数学（文科）试题

的取值范围是

A．(2,1) B. (,1)(2,) C. (1,2) D. (,2)(1,) 12. 计算机内部都以二进制字符表示信息．若ua1,a2,,an，其中ai0或1（i1,2,...,n）,

则称u是长度为n的字节；设ua1,a2,,an，vb1,b2,,bn，用du,v表示满足

aibi（i1,2,...,n）的i的个数．如u0,0,0,1，v1,0,0,1，则du,v1．

现给出以下三个命题：

① 若ua1,a2,,an，vb1,b2,,bn，则0du,vn；

② 对于给定的长度为n的字节u，满足du,vn1的长度为n的字节v共有n1个； ③ 对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有du,v． ,udw,vdw则其中真命题的序号是

A．① B．①② C．①③ D．②③

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置. 13．某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线

上40件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过505克的产品数量应为 件．

14.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1 内等可能地任取一

点，则该点到顶点A的距离小于1的概率是 ． 15.定义一种运算Sab，在框图所表达的算法中揭示了这种

运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算

是开始输入a,btan15tan30tan30tan15__ _．

16．定义域为D的函数yfx，若存在常数a,b，使得对于

任意x1,x2D，当x1x22a时，总有fx1fx22b，

ab?否SabSab输出S结束 3 第3页（共13页） 市质检数学（文科）试题

则称点a,b为函数yfx图象的对称中心.已知函数fxx33x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得： 1f2012 2f...201240224023ff . 20122012三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)

已知A、B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球．

（Ⅰ）用有序数对(i,j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；

（Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则

乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．

18．(本小题满分12分)

已知向量asin2x,cosx2，向量b12,73bx[,]. ，，fxa662（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数yf(x)的图象； （Ⅱ）（ⅰ) 若1f(x)0,求x的取值范围；

（ⅱ）若方程fxa(1a0)的两根分别为x1,x2，试求sin(x1x2)的值.

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，ACBC，E、F分别在线段B1C1和

AC上，B1E3EC1，ACBCCC14.

(Ⅰ)求证：BCAC1；

(Ⅱ)若F为线段AC的中点，求三棱锥AC1EF的体积；

C1EA1B1F的位置，并给出证明. (Ⅲ)试探究满足EF//平面A1ABB1的点

4 第4页（共13页） 市质检数学（文科）试题

CAB20．（本小题满分12分）

''2如图，设AB、AB分别是圆O:x2y2和椭圆ax2y2C:221(ab0)的弦，端点A与A'、B与B'的横坐标分

ab别相等，纵坐标分别同号.

AA'yM3（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为，求椭圆C的方程；

23''（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点M(0,)，试探究弦AB 2是否也必过某个定点.

21．（本小题满分12分）

BB'xO已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，数列Sn1是公比为2的等比数列． （I）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）数列Sn中是否存在不同的三项Sm,Sn,Sk,使得Sm,Sn,Sk为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m,n,k的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

1clnx的图象与x轴相切于点S(s,0). x（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

已知函数f(x)（Ⅱ）若函数f(x)的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T(t,f(t))，且f(t)0， 证明：1te；（注：e是自然对数的底）

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为，试证明：

5 第5页（共13页） 市质检数学（文科）试题

45. 12答题卡第18题应附图：

A1C1EB11 1 y O  676 x 答题卡第19题应附图：

ABC

答题卡第20题应附图：

yAA'OM

BB'

x

6 第6页（共13页） 市质检数学（文科）试题

2012年泉州市普通中学高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B

7．B 8．A 9．B 10．A 11．B 12．C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分. 13．12 14．

 15．1 16．8046. 6三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查古典概型等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，考查必然与或然思

想、分类与整合的思想.满分12分.

解：（I）．甲、乙二人抽到的小球的所有情况为：

1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、2,4、3,1、3,2、3,3、3,4、4,1、4,2、4,3、4,4，共16种不同情况．„„„„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）．甲抽到的小球的标号比乙大，有2,1、3,1、3,2、4,1、4,2、4,3，共6

7 第7页（共13页） 市质检数学（文科）试题

种情况，„„„„„„„„„„„„8分 故甲胜的概率p111分

因为

6335，乙获胜的概率为p21．„„„„„„„„„„„„1688835，所以此游戏不公平．„„„„„„„„„„„„12分 8818.本小题主要考查平面向量、三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考

查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.

13解：（Ⅰ）fxabsin2xcos2x()sin(2x).„„„„„„„„3分

223令X2x3，则X0,2，xX23.列表：

3 211 121 X 0  25 121  2 30 2 x y  60 7 60 „„„„„„„„„„„„5分

描点画图，即得函数yf(x)的图象，如图所示.

„„„„„„„„„„„„7分 （Ⅱ）（ⅰ)1f(x)0即1sin(2x∵02x

3)0，

32，∴2x32，且 2x33 28 第8页（共13页） 市质检数学（文科）试题

∴x的取值范围为(211117,)(,). „„„„„9分 312126（ⅱ）∵x1,x2是方程f∴x1,x2(∵当x(分

∴x1x22(x的两根， a(1a0)211117,)(,)， 31212621111711,)(,时)，函数f(x)的图象关于直线x对称，„„10

123121261111)， 126111sin().„„„„„„„„„„„„12分 662∴sin(x1x2)sin19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥的体积公式等基础知识，考查

空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化的思想.满分12分. (Ⅰ)证明： AA1面ABC，BC面ABC，BCAA1. „„„„„„„„„1分 又BCAC,AA1,AC面AAC11C,AA1ACA,

BC面AAC11C,„„„„„„„„„„„„3分

又AC1面AAC11C,BCAC1.„„„„„„„„„„„„4分 (Ⅱ)解：∵B1C1∥BC，由(Ⅰ)知BC面AAC11C, ∴C1E面AC1F，„„„„„„„„„„„„6分 VAC1EFVE1S1ACF31114CE(24)1.„„„„„„„„„„8分 „„A1CF323(Ⅲ)解法一：当AF=3FC时，FE//平面A1ABB1.„„„„„„„„„„„„9分

G，连理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG//AC11交A1B1于

结AG.

C1EA1GB1B1E3EC1，EG又AF//AC11且AF3A1C1， 4CFAB3A1C1， 4AF//EG且AFEG，

四边形AFEG为平行四边形，EF//AG，„„„„„„„„„„„11分

AG面A1ABB1， 又EF面A1ABB1，

EF//平面A1ABB1.„„„„„„„„„„„„12分

9 第9页（共13页） 市质检数学（文科）试题

解法二：当AF=3FC时，FE//平面A1ABB1.„„„„„„„„„„„„9分 理由如下： 在平面ABC内过E作EG//BB1交BC于G，连结FG.

A1C1EB1EG//BB1，EG面A1ABB1，BB1面A1ABB1， EG//平面A1ABB1.

B1E3EC1，BG3GC，

FG//AB，又AB面A1ABB1，FG面A1ABB1，

AFGBCFG//平面A1ABB1.

又EG面EFG，FG面EFG，EGFGG，

平面EFG//平面A1ABB1.„„„„„„„„„„„„11分

EF面EFG，EF//平面A1ABB1.„„„„„„„„„„„„12分

20.本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数

形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得，b1，分

解得：a24,所以椭圆C的方程为：分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：xy4.„„„5分

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、A'(x1,m)、B'(x2,n)，

2∵点A在圆O上， ∴x1y124，„„„①

22c3，„„„„„„„„„„2a2A2yBA'OB'xxy21.„„„„„44x12m21，„„„② ∵点A在椭圆C上， ∴4'联立方程①②解得：m∴A(x1,'y1y，同理解得：n2. 22y1y)、B'(x2,2).„„„„„„„„„„8分 223)， 2∵弦AB过定点M(0,∴x1x2且kAMkBM，即

y133y222， x1x210 第10页（共13页） 市质检数学（文科）试题

化简得

y1x2y2x13„„„„„10分

x2x12y2y1y1''22(xx)，即y1y2y1xy1x2y2x1，  直线AB的方程为：y12x2x12x2x12(x2x1) 由

3y1x2y2x131y2y1得直线A'B'的方程为：yx，

4x2x122x2x1'''∴弦AB必过定点M(0,3).„„„„„12分 4解法二：由（Ⅰ）得：圆O的方程为：x2y24.„„„5分 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

∵圆O上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的

1倍可得到椭圆C， 2''又端点A与A、B与B的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，

∴A(x1,'y1y)、B'(x2,2).„„„„„„„„„„8分 2233''')，猜想弦AB过定点M(0,). „„„„9分 24由弦AB过定点M(0,∵弦AB过定点M(0,分

3)，∴x1x2且kAMkBM，即2y133y222……① „„„„10x1x2kA'M'y13y2333y1y212,k2412, 24''BMx12x1x22x2由①得kA'M'kB'M'，

''∴弦AB必过定点M(0,'3).„„„„„12分 421.本小题主要考查等差数列、等比数列、反证法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证

能力，考查分类与整合的思想.满分12分. 解：（I）．S1a11，S11a112．

因为数列Sn1是公比为2的等比数列，所以Sn1S112n122n12n． 故Sn2n1．„„„„„„„„„„„„3分

nnn112n1122当n2时，anSnSn12n12，

11 第11页（共13页） 市质检数学（文科）试题

当n1时，经检验，an2n1也成立， 故an2n1．„„„„„„„„„„„„6分 （Ⅱ）．数列

Sn中不存在不同的三项Sm,Sn,Sk,使得Sm,Sn,Sk为等差数

列．„„„„„„„„7分

理由如下：假设Sn中存在等差数列Sm,Sn,Sk，不失一般性，不妨设SmSnSk，即

mnk，

则2SnSmSk，„„„„„„„„„„„„9分

m由（I），Sn2n1,Sm21,S21kkn1．

故2222121，即2nmk2m2k，即2n1m12km，

由mnk知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．„„„„„„„„„„„„11分

故假设错误，从而数列Sn中不存在不同的三项Sm,Sn,Sk,使得Sm,Sn,Sk为等差数列．„„„12分

22.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的

零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想.满分14分. 解：（Ⅰ）由f(x)∵函数f(x)∴f(s)'11cclnx，得f'(x)2. ……1分 xxx1clnx的图象与x轴相切于点S(s,0)， x1ccs110clns0…….② ……2分 f(s)，……① 且22ssss1. ……3分 e联立①②得ce，s∴f(x)1elnx. ……4分 x'（Ⅱ）f(x)∵函数f(x)1e. x2x1clnx的图象与直线l相切于点T(t,f(t))，直线l过坐标原点O, x12 第12页（共13页） 市质检数学（文科）试题

∴直线l的方程为：y(1e)x， t2t2elnte0…….③的解. ……5分 t又∵T在直线l上，∴实数t必为方程令g(t)22eet2elnte， 则g'(t)22， tttt22，g'(t)0得0t. ee2e2,)递增. ……7分 e解g'(t)0得t∴函数yg(t)在(0,]递减，在(∵g()0,且函数yg(t)在(0,)递减， ∴t1e2e122是方程elnte0在区间(0,]内的唯一一个解, ete1e12不合题意,即t. ……8分 ee220，函数yg(t)在(,)递增， ee又∵f()0,∴t∵g(1)2e0，g(e)∴ 必有1te. ……9分

（Ⅲ）∵T(t,f(t))，S(,0)∴tankST1e1elntf(t)0t， 1tste1elnte由③得tant， ……10分

1tte∵t0，且0，∴0∵1te，∴1tan2.

ee， ……11分 t∵tan41，tan5tan()125， 12423e，……13分 1tantantan6tan∴tan4tantan∵ytanx在(0,2)单调递增，∴

45. ……14分 1213 第13页（共13页） 市质检数学（文科）试题