A组 考点基础演练
一、选择题
→
1.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝( )
1→1→A.AB－AD 231→1→B.AB＋AD 421→1→C.AB＋DA 321→2→D.AB－AD 23
→→→→1→
解析：在△CEF中，EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为
2→2→→1→2→1→2→1→2→
BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD，故选
3232323D.
答案：D
2．(2015年北京模拟)知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，
∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0，又a与b不共线，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0，∴k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.故c与d反向，选D.
答案：D
→→→→→
3．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s的值是( ) 2
A. 3C．－3
4B. 3D．0
→→→→→→
解析：CD＝AD－AC，DB＝AB－AD， →→→→→1→→∴CD＝AB－DB－AC＝AB－CD－AC
23→→→∴CD＝AB－AC， 2→2→2→∴CD＝AB－AC，
33→→→
又CD＝rAB＋sAC，
22
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0，故选D.
33答案：D
→→→4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于( )
→→A．2OA－OB 2→1→C.OA－OB 33
→→
B．－OA＋2OB 1→2→D．－OA＋OB
33
→→→→→→→→
解析：OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)， →→→
∴OC＝2OA－OB，故选A. 答案：A
→→
5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，→
则AD＝( )
1
A．a－b
21
C．a＋b
2
1
B.a－b 21
D.a＋b 2
→1→1
解析：连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以
221→→→
AD＝AC＋CD＝b＋a.
2
答案：D 二、填空题
→→→→→→
6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.
→→→→→
解析：∵|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝|CB|＝2，
→→→→
∴△ABC是边长为2的正三角形，|AB＋AC|为三角形高的2倍，所以|AB＋AC|＝23. 答案：23
7．(2015年东城综合练习)设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．
→→→→→→→→
解析：不妨设a＝OA，b＝OB，c＝OC，由a＝b＋c可知，OA＝OB＋OC，又|OA|＝|OB→
|＝|OC|＝1，故四边形OBAC为菱形，且∠BOA＝60°，故向量a，b的夹角为60°.
答案：60
→→→→
8．(2014年石家庄一模)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC→
－2OA|，则△ABC的形状为________．
→→→→→→→→→
解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC， →→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC， →→→→∴|AB＋AC|＝|AB－AC|，
故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形 三、解答题
→2→→→
9.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.
3
→→→→→
(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF； (2)求证：B，E，F三点共线．
→1→→
解析：(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，
2
→1→1
AD＝AG＝(a＋b)，
22→2→1
AE＝AD＝(a＋b)，
33
→1→1AF＝AC＝b，
22
1→→→1
BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
331→→→1
BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．
22
→2→
(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又BE与BF有公共点B，
3所以B，E，F三点共线．
1
10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a
3＋b)三向量的终点在同一条直线上？
→→→1
解析：设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，
321→→→
∴AC＝OC－OA＝－a＋b，
33→→→
AB＝OB－OA＝tb－a.
21→→
要使A，B，C三点共线，只需AC＝λAB，即－a＋b＝λtb－λa，
33
∴1
3＝λt，
2
－＝－λ，3
∴1
t＝2.2λ＝，3
1
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．
2
B组 高考题型专练
1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为( ) A．1 1C. 3
B．－1 1D．－
3
解析：由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，
3k＝1，∴解得λ＝－k，
1λ＝－3.1k＝，3
答案：D
2.(2015年烟台高三诊断)如图，O为线段A0A2 013外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A2 013
→→→→
中任意相邻两点的距离相等，OA0＝a，OA2 013＝b，用a，b表示OA0＋OA1＋OA2＋…＋OA2
013，其结果为(
)
A．1 006(a＋b) C．2 012(a＋b)
B．1 007(a＋b) D．2 014(a＋b)
→→→→→→→→
解析：OA0＋OA2＝2OA1，OA3＋OA5＝2OA4，…，OA2 011＋OA2 013＝2OA2 012，OA0＋OA1
→
OA0＋OA2 013×2 014→
＋OA2＋…＋OA2 013＝＝1 007(a＋b)．选B.
2
答案：B
3→→→
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若aGA＋bGB＋cGC
3＝0，则A＝________.
→→→→→→→→
解析：由G为△ABC的重心知GA＋GB＋GC＝0，则GC＝－GA－GB，因此aGA＋bGB＋
333→3→→→→→
c(－GA－GB)＝a－cGA＋b－cGB＝0，又GA，GB不共线，所以a－c＝b3333
c22×
32
c3
＝3，又0b2＋c2－a233－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cos A＝＝332bcπA＝.6
π答案： 6
→2→1→→2→1→
4.如图所示，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则△
5534ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．
→2→→1→→→→
解析：根据题意，设AM＝AB，AN＝AC，则由平行四边形法则，得AP＝AM＋AN，
55→
S△ABP|AN|1S△ABQ1S△ABP
且AMPN为平行四边形，于是NP∥AB，所以＝＝，同理，可得＝.故
S△ABC|→|5S△ABC4S△ABQ
AC4＝. 5
4答案： 5
5.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与
BN相交于点P，求AP∶PM的值．
→→
解析：设BM＝e1，CN＝e2， →→→
则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1， →
BN＝2e1＋e2，
∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在λ、μ∈R， →→→→
使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2. →→→
故BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2， →→→
而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，
λ＋2μ＝2，∴∴3λ＋μ＝3，
3μ＝5，4λ＝，5
→4→→1→
∴AP＝AM，∴PM＝AM，即AP∶PM＝4∶1.
55
