勾股定理常见练习试题

（一）情境引入

如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下， 树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？

（二）合作探究

（1）观察下面两幅图并填表：

左图 右图 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） CABBADCEbACHGacBF（2）问：①、图形A、B、C的面积有何关系？

②、图形A、B、C的面积与三角形的边长有何关系？ ③、由①、②可得出直角三角形三边长有什么结论？

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

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勾股定理常见练习试题

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2 大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

ba４.勾股定理的应用

a①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ccb1212121212ca2b2，bc2a2，ac2b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５..勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25bccbaaAaDbcc等

③用含字母的代数式表示n组勾股数： n21,2n,n21（n2,n为正整数）；

EabCB 2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数） 题型一：已知两边求第三边

【例1】直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长

的正方形的面积为_____15____cm2．

【例2】已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是____13或____________． 【例3】作出长度为10的线段。

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勾股定理常见练习试题

【例4】一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

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针对练习

1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ C ）

A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ D． ） A．25 B．14 C．7

D．7或25

AB3、以面积为9 cm2 的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ C． ）

A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2

题型二：利用勾股定理测量长度

【例1】 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.

【例2】 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

D．24 cm2

解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2

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勾股定理常见练习试题

解之得x=2. 故水深为2米.

题型三：转化思想

【例1】如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁， 它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_15______ cm。（π取3）

题型四：利用勾股定理解决实际问题

【例1】如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度为多少米？ 7

巩固练习

1、如图1，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（ B． ） A．6 B．8 C．10 D．12

图

1

图2

2、如图2，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米， 那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ C． ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米

3、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（ C ） A．5≤h≤12

B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24

4、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，

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勾股定理常见练习试题

使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE。的面积为（ A． ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2

5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（ A、 ）

A、36， B、22 C、18 D、12

6、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为厘米2，

则X的长为 17 厘米。

7、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长１０米的缆绳，在地面的固定点距离电线杆底部为 8 米。

8、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD2= 。

9、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东

走了12米到了B点，则AB________米。

10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

且

这条缆绳

11、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200m，结果他

在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少？

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四、课堂小结

1、勾股定理的条件及性质；

2、运用勾股定律解决实际问题的方法。

五、布置作业 【思考题】

1、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 。

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