维普资讯 http://www.cqvip.com 第２２卷 第４期 ２００１往 有色冶金设计与 研究 １２ 月 大跨度空问网架结构优化设计 简洪平 ｆ南昌有色冶金设计研究院南昌 ３３０００１） 刘光宗 蔡文豪 由敬舜 （南昌大学工程力学研究所 南昌 ３３００２９） ［摘 要］在某电厂大跨度空间网架的结构设计中引入优化 设计的概念，优化时由于设计变量较多，先后采用了改进的满应 力法和序列二次规划法。根据实际的结构形式，编制了改进满应 力法程序和序列二次规划法程序。对实际工程结构优化设计的 结果表明：改进满应力法和序列二次规划法都给出了令人满意 的结果，相比之下，序列二次规划法收敛速度较快，优化结果更 好．优化设计比原设计节省用钢量５％～１Ｏ％。 ［关键词］空间网架 优化设计 设计变量 改进满应力法 序列二次规划法 １ 前言 日ｌＪ舌 目前，空间网架结构已经被广泛应用 于大跨度建筑结构中。而网架结构的设计 ２ 空间网架结构优化设计的数 仝１．日Ｊ 朵 优化议丌 姒 学模型 进行结构优化设计时，数学模型的优 劣将直接影响到优化结果，一个完整的优 化数学模型包括设计变量、目标函数和约 束条件三个部分。 方法多种多样，传统的设计方法使设计工 作量繁重，同时受时间和费用的难以 进行多方案比较，这样往往导致最终的设 计方案并非是最优设计方案。本文在某电 厂大跨度网架的结构设计中引入优化设计 ２．１设计变量 在用改进的满应力法优化网架结构 的概念，在对空间网架的杆件截面进行优 化时，以杆件截面面积作为设计变量，首先 采用了改进的满应力法，而后为加快收敛 速度，又用序列二次规划法进行了进一步 的优化。文中给出网架优化设计程序，通过 工程实例的计算结果，说明文中的优化程 序收敛速度快，计算结果可靠，优化设计比 原设计节省材料５％～１Ｏ％。 时，以杆件的截面面积为设计变量，记为： Ａ＝｛Ａ．Ａ …Ａ ｝ ；而在用序列二次规划法 优化网架结构时，以杆件截面面积Ａ 的倒 数（Ｘ ＝Ｉ／Ａ。）为设计变量，记为： ＝ ｝ ； ２．２ 目标函数 以网架结构的总重量为目标函数，表 示为： 收稿日期：２００１－１２－０３ 维普资讯 http://www.cqvip.com ３４· 有色冶金设计与研究 第２２卷 改进满应撼… ｉ＝ｌ ㈩３ １日ｌ｝ ｌ 三古１构优化设 钏１月．１ ．１ Ｔ１口、Ｉ． 应力约 ，／Ｊ三’Ｊ 序列二次规划法： （ ）：∑ＰＬ （２） ｉ＝ｌ Ｘｉ 束是设计变量的隐式，因此必须先进行结 构分析，而且结构优化设计过程中需要进 行大量的结构重分析。本文的结构分析采 ２．３约束条件 在空间网架的结构优化设计中，约束 条件主要是应力约束，应力约束主要通过 受拉允许应力或受压临界应力加以控制。 用空间桁架有限元方法，其计算结果接近 结构的实际受力情况，且具有较高的计算 精度。对单元可以建立如下平衡方程： 本文的应力约束为： 对于 ≥Ｏ的杆件， 用受拉允许应力 加以约束： １．Ｏ≤Ｏ （３） ［ｃｒＬ］。 对于 ≤０的杆件， 用受压杆的临界用辱乐 临界 应力加以约束： 一．１．ｏ≤０ Ｏ≤ （４）（） 式（４）中临界应力 的求解方法详见 文献【１】。 ２．４空间网架结构优化设计问题的描述 综上所述，空间网架结构优化设计 求解满足约束条件（３）或（４）的设计变量 或 ，使目标函数一网架结构总重量 Ｗ（Ａ）或Ｗ（ ）最小，即： 改进满应力法： 使目标函数 （Ａ）最小，Ａ∈Ｅ ，满足 约束条件 ｌ≥ ≥ ，ｉ＝１，… ２ ｎ ㈣ 序列二次规划法： 使目标函数Ｗ（Ｘ）最小， ∈Ｅ“，满 足约束条件 ｆ岳（ ）≤０，ｊ＝ｌ，２，．．．，ｍ ｛二 【 ≥ ≥ ，ｉ＿１，２…ｎ （６） 式（５）、（６）中，ｍ为约束条件的个数，ｎ 为设计变量的个数。 ｛ＦＩ ：ｆ ｏ｛６Ｉ （７） 式（７）中，｛ＦＩ ＝｛ Ｗ ｝ ， ｛６｝ ＝｛ Ｖｉ Ｗ Ｗ｝ ，［ｋ］ 为单元刚度 矩阵。 … ：等 一Ｌ【一＾ ＾Ａ 】 ㈣ 『－ 。 ２ 对称］ 式中，入：』ＣＯＳＯｆＣＯＳ￣ ＣＯＳ ２ ｃｏｓｔ￣ｃｏｓＴ ｃｏｓｆｌ ｃｇｓｙ ＣＯＳ ＣＯＳｔ：￣，ｃｏｓｆｌ，ｃｏｓＹ分别为杆件在总体坐标系 下的方向余弦，ＥＡ为单元的抗压刚度，Ｌ 为单元的长度。根据节点的位移协调和节 点处的外加荷载与内力之间的平衡可以建 立整个结构的平衡方程： ［Ｋ］｛６｝＝｛Ｐ｝ （９） 上式中，［Ｋ］：∑［ｋ］‘为结构的总刚矩 阵，｛Ｐ｝为结构的节点等效荷载列阵。通过 求解方程（９）可得到结构的节点位移列阵 ｛艿｝，进而可得出单元的节点位移列阵｛艿Ｉ， 然后可以求解结构各杆件的内力和应力。 ４网架结构的优化方法 在建立优化设计的数学模型之后，需 要选择一个有效的优化计算方法来求最优 解。根据本文所探讨的是大跨度网架优化 设计问题，因此我们采用数值迭代［１１［４】方 法：改进满应力法和序列二次规划法求解。 ４．１改进满应力法 网架结构改进满应力法优化设计的计 算步骤可以归纳如下： 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 大跨度空间网架结构优化设计 ·３５· （１）给出结构各杆件的初始截面面积 ； （２）进行结构分析，求出各杆件在工况下的 应力 和各杆件的最大应力 ｋ； ｋ （５）由式 ： Ｌ 计算各杆件的应力比， ； 并由式 ＝ 计算结构各杆的 （６）与结构各杆件的截面面积上、下限比 （３）由式嘉 计算结构各杆件的应力 ＬｕＪ ＾ 较，确定各杆件新的截面面积Ａ ； （７）停算判别，比较前后两次迭代结果是否 比，并由《 ｛ ｝式计算《 ； ＬｕＪ 接近，即：ｆ ｌ≤￡，￡一般取为ｌ０ ｌ 。如 （４）由式 并计算在 ：计算结构各杆件的 ， ； 下的结构各杆的 果接近，迭代结束。否则，重新置换设计变量，转 到（２），重新进行迭代。 改进满应力法结构优化设计求解流程见 图１。 图１ 改进满应力法优化设计流程框图 ４．２序列二次规划法 在结构优化设计中。序列二次规划 法的数学模型由式（６）给出，其中 （Ｘ） 和 （Ｘ）为 的非线性函数，对此非线性 函数按泰勒级数展开，使之成为序列二次 规划的标准形式。假设初始点为 。。函数 （ ）和岛（ ）在该点附近作泰勒级数展 开，目标函数Ｗ（Ｘ）取至二次项。约束条件 岛（ ）取至一次项，其形式为： （ ）：ｗ（ｘ。）＋７ ＴＷ（Ｘ。）（ Ｘ。）＋ 丢（ 。） （ 。 一 。） 维普资讯 http://www.cqvip.com ３６· 有 色冶金 设计与 研究 第２２卷 （ （ 。）＋Ｖ （ 。）（ —Ｘ。） （ ）ｌ Ｔ （１０） ＯＸ 式中，ｖ Ｗ（ 。）：｛ａｗ（ｘ） ａｗ（ｘ、 它们分别为目标函数Ｗ（ ）和约束条件 Ｏｘ， Ｏｘ ｇ（ ）在Ｘ。处的梯度，反映设计变量的变 ＯＷ（ ），Ｔ 化对目标函数和约束条件的影响程度。而 ’。 Ｈ（Ｘ。）称为目标函数的海森（ＨＥＳＳＩＡＮ） Ｖ ｇ （ 。）：｛ （ ） 阵，由目标函数 （ ）的二阶导数求得，其 …形式为： ａ２ （ ） ｆｗ（ｘ） ａ２ （ ）］ ＯｘｌＯｘｌ ＯｘｌＯｘ２ ＯｘｌＯｘ Ｊ Ｈ（Ｘ。）： ａ２ （ ）ｆｗ（ｘ） … ａ２ （ ）Ｊ 。 Ｉ ａ２ （ ） ａ２ （ ） ａ２ （ ）ｆ Ｏｘ Ｏｘｌ ＯＸ，０３（，２ Ｏｘ Ｏｘ ｆ 又由于 ２： ２ 所以海森 ＡＸ＝（ —Ｘ ）作为二次规划求解的对象，因 Ｏｘａ％ａｘ 此在初始点Ｘ０形成的二次规划表示为： ［ＨＥｓｓＩＡＮ］矩阵Ｈ（Ｘ。）为一实对称矩阵求设计变量 ∈Ｅ“极小化 （ ）， 本文在用序列二次规划法求解时，把 （ ）＝ （ 。）＋Ｖ ｗ（ｘ。）（ 。）＋ｘ— 。） Ⅳ（ 。）（ 。） ｗ（ｘ。） ＋ △ …△ …） 满足约束条件［Ｃ］ ≤［Ｄ］和ＸＸ。≤△ ≤ Ｘ。 式中，［ ］： ０土［ ］： （ 。） Ｏｇｌ（ ） Ｏｇｌ（ ） Ｏｇｌ（ ） ａ ｌ ２ Ｏｘ ［ｃ】＝ Ｏｇｚ（Ｘ） 咄（ ） ａｇ２（Ｘ） ｌ ２ Ｏｘ Ｏｇｍ（Ｘ） Ｏｇｍ（Ｘ） Ｏｇｍ（Ｘ） ｌ ａ ２ Ｏｘ ［Ｄ］＝一 （ ） （ ）… （ ）｝ Ｔ。 的形式，将目标函数Ｗ（ ）和约束条件代 把本文的约束条件写成约束函数岛（ ）≤０ 入上式即可把本文优化问题化为上述的二 次规划问题。且函数的海森（ＨＥＳＳＩＡＮ） ■ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 大跨度空间网架结构优化设计 ·３７· 阵 （ ）是半正定的，因而是凸规划问题， 该问题可用ＬＥＭＫＥ算法求解。以下介绍 用序列二次规划法进行优化设计时的几个 主要问题。 ４．２．１运动极限的选取 在用二次规划问题代替原来的非线性 规划问题时，我们采用泰勒级数展开形成 二次规划的标准形式，是对目标函数和约 束条件进行了一定的近似处理，即在当前 点 。附近作泰勒级数展开，忽略高次项。 但是由于泰勒级数展开具有一定的适用范 围，如果所研究的优化设计点离开当前点 。太远，则忽略泰勒级数展开式中的高次 项将会导致较大的误差。本文采用自适应 运动极限的方法，在每次求解一个近似规 划时都对设计变量的活动范围附加一个限 制。即： ＾ ＾ ＾ ≤ＡＸ≤ ￡，，ｉ＝ｌ，２，．．．，ｎ （１２） 式中Ｓｋ．ｓ 分别为第 次迭代时的运动 极限。如果ｓ 、ｓ 取值合理，则 在Ｘ 邻近的边长为．ｓ ＋．ｓ 的框内移动时，泰勒 级数展开具有较好的近似。本文．． ｓ 、．ｓ。 取 值为： ｆＳｋＯ—Ｖ．．＾ｉ ｉＬ－￣－ｘｉ … （１３） 式中， 、 分别为设计变量的上下限。在用 序列二次规划法对网架结构进行优化设计 时，它们分别为可供选择的截面最小、最大 截面面积的倒数。 ４．２．２结构应力灵敏度分析 本文采用有限元法对网架结构进行应 力分析，在使用序列二次规划进行优化设 计时，必须计算［Ｃ］矩阵，［Ｃ］矩阵就是应力 对设计变量的导数，通常称为应力灵敏度。 对于网架结构单元而言，应力灵敏度表示 ａ叮Ｅ ａＡＬ ａｘ Ｌ ａｘ —＿０ＡＬ＿ ｛｛ －￣ＯＳｔ￣＇一 一￣０８／Ｊ 一－￣０Ｓ￣／ＣＯＳｔ：￣ＣＯＳ ０ ｌ ａ１ｌ ａ１｛ ａｌＪｌ ａ１｜ ａ１｛ ａｌＪｌ、Ｔ ｃｏｓ￣ｔ。ｒＯＩ ｘｌＩ …ＯｘｉＩ Ｏｘ‘ Ｊ Ｊ Ｊ Ｉ Ｏｘｉ～Ｏｘｉ 』 ｛一ＣＯＳＯｔ—ｃｏｓｆｌ—ｃｏｓ￣］ＣＯＳＯｔ ｃｏｓｆｌ ｃ。ｓ ｝．旦 （１４） Ｃ 因此求得单元节点位移灵敏度旦 后即可求得单元的应力灵敏度。如前所述，网 架结构有限元分析可以归结为求解如下方 程（９），对该式进行微分可得： 掣ｏｘ 懈（ ］ ｏｘ Ｏ： ｘ （１５） ［ ］～（０｛ＰｔＯｘ ｏｘ： ＋ ｏｘ： ．｛８｝） ［ 】ｌ１｛ ｝ （１６） 式（１６）中｛ ｝称为力导数。 因为在结构分析时，刚度矩阵的［ ］ 已经计算完成，优化计算时只需把力导数 代入式（１６）即可计算出整个结构的节点位 移灵敏度，进而可计算出单元为位移灵敏 度，再由式（１４）可计算出单元的应力灵敏 度。 （１）计算旦 ：计算出单元刚度矩阵 （ＩＸ的灵敏度 ，就可通过单刚组集得到 整个结构刚度的灵敏度旦［ｏｘ 旦。 以Ｌ ２【一Ａ Ａ Ｊ 、 ， （２）计算 ：在用序列二次规划法 对网架结构优化设计时，选择杆件截面面 维普资讯 http://www.cqvip.com ３８· 有 色冶金设计与 研究 第２２卷 积的倒数作为设计变量，与设计变量有关 的单元节点荷载仅为杆件自重。对于杆件 单元来说，由自重产生的单元荷载列阵为： 数，在优化过程中，使大部分不起控制作用 的约束函数被删除，节约了计算时间，提高 了计算效率。 ４．２．４停算准则 本文在网架结构优化设计中，采用目 ｐＬｉ。。一安） 标函数值下降的绝对值为停算判别标准。 即： Ｏｘ＝｛【 。。 ２ｘｉ＂。。 ）ｉ‘Ｊ （１８） 通过组集 即可得到整个结构的荷载 以列阵的灵敏度 。 以 ４．２．３约束条件的筛选 序列二次规划法优化网架结构时，计 算工作量随着约束条件的数量增加而增 加。而在优化过程中，一些约束的作用并不 明显。为了提高计算效率，应当设法减少约 束条件的数量，将其中不起控制作用的约 束预以删除，只保留一部分起控制作用的 约束。本文利用约束厚度的概念，选出近临 界约束，作为准有效约束进行优化，筛选准 则为： （１）当 ＞１０时，若 ≥ ［Ｏ＂Ｌ］。，则相 应的约束ｇ（ ）被选取，其中 （ ≤１）为预 先给定的参数。 （２）当 ≤ｏ时，若Ｉ Ｉ≥ ，，则相应 的约束苟（ ）被选取，其中 取值同上。 每次迭代时，先进行一次应力分析，按上述 方法选出起控制作用的约束，对结构进行 优化，而后再进行下一次迭代。对于约束删 除参数 的取值采用如下计算公式计算： Ｉ—ｌ ＋ 二 （１９） 式中， 、 分别为第ｋ、 一１次迭代时的 约束删除参数。通过这样计算约束删除参 １ ｗ（ｘ‘）一ｗ（ｘ ）Ｉ≤８ （２０） 其中，８为预先给定的停算判别小量，一旦 求解后的设计变量满足停算准则和约束条 件，则结束计算。 序列二次规划法结构优化设计求解流 程见图２。 ５算例及分析 根据本文阐述的理论和公式推导，用 ＦＯＲＴＲＡＮ语言编写了一个完整的优化程 序。程序由一个主程序和若干个子程序组 成。为尽量减少人工输入数据的工作量，本 文算例的单元网格划分、节点编号、单元编 号及节点坐标计算以及节点等效荷载均由 程序自动完成。 某电厂干煤棚网架是一个大跨度空间 网架结构，该网架结构纵向长度为１４４ｍ， 有３７个外弦、３６个内弦，横向跨度为 ８７ｍ，内弦顶面距地面竖直高度为２８．１０ｍ。 内外弦之间的厚度为２．８ｍ，整个断面为一 个三心圆拱形结构，其中外弦有３３个节 点，内弦有３２个节点，基本断面尺寸如图 ３所示，沿纵向边缘有７４个支座，在优化 设计时都视为铰支座。整个网架结构共有 ２３７３个节点，９２１８个杆单元，结构外形复 杂。网架结构杆件采用高频焊接钢管，构件 之间用螺栓球节点连接（见图３）。 网架结构的外加荷载（标准值）： 风荷载 加 ＝０．４６５ｋＮ／ｍ 雪荷载 ｓ０＝０．２５０ｋＮ／ｍ２ 活荷载 Ｑ ０．３００ｋＮ／ｍ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 大跨度空间网架结构优化设计 ·３９· 图２序列二次规划法优化设计流程框图 屋面积灰荷载 屋面板自重 Ｇｄ＝０．４６５ｋＮ／ｍ Ｇ ０．２５０ｋＮ／ｍ 根据《建筑结构荷载规范》（ＧＢＪ９—８７）的组 合原则，上述荷载可以组合成５２种工况。 网架结构材料的物理特性： 杆件材料容重ｐ＝７８．５ｋＮ／ｍ 注：由于干煤棚为四面开敞式结构，室 内外温差ＡＴ＝０，因此优化计算时不考虑局 部温差的温度应力的影响，季节温差的影 响通过支座的构造消除。 结构弹性模量 Ｅ＝２．０ｘｌ００ｋＮ／ｍ 杆件受拉允许应力 ［ Ｌ］＋＝２．０ｘｌ０ＳｋＮ／ｍ。 维普资讯 http://www.cqvip.com ４０· 有色冶金设计与研究 第２２卷 Ｌ 图３干煤棚几何尺寸及横断面 网架结构杆件标准截面参数见表１。 表１杆件标准截面参数 在对该网架结构进行优化设计时，为 节约计算机内存并提高计算效率，结合网 架的实际几何尺寸，取两个节问（纵向８ 米）进行优化计算，求解满足应力约束的最 优解。 优化时分别采用了改进满应力法和序 化选择作了计算。主要结果汇总见表２。 列二次规划法对该网架结构杆件截面的优 表２优化目标函数值与迭代次数的关系 从表３、４可以看出：用改进满应力法 杆件的稳定临界应力；在用序列二次规划 对网架结构进行优化设计时，网架中单元 法对网架结构进行优化设计时，网架中单 最大应力为１．８１０ｘｌ＠ｋＮ／ｍ （受压），小于 元最大应力为１．８９１ｘｌＯＳｋＮ／ｍ （受压），也 表３改进满应力法优化后部分杆件主要应力表 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 大跨度空间网架结构优化设计 ·４１· 表４序列二次规划法优化后部分杆件主妻应力表 小于杆件的稳定临界应力。因此优化后的 文介绍的方法和程序，可以对工程实际网 架结构截面进行优化设计。算例表明，优化 方案比原设计方案节约用钢量５％～１Ｏ％。 网架结构满足于它的应力约束和杆件截面 面积的上、下限，说明优化设计方案是一个 合理可行的方案。 从表２可以看出：序列二次规划法的 优化结果比改进满应力法的优化结果用钢 量约少１０％，并且迭代过程平稳，而改进 （２）在优化设计中，运用“力导数”进行 应力灵敏度分析，会提高结构优化计算效 率。 （３）优化工程中，采用运动极限和约束 删除方法后，迭代过程平稳，计算速度大大 加快。 满应力法优化步骤简单。因此在对设计变 量很多的结构进行优化设计时，可以先用 改进满应力法进行优化计算，而后再用序 当然，文中对大跨度网架结构进行的 优化设计还是很初步的，有许多问题有待 列二次规划法作进一步的优化。这样，一方 面可以加快收敛速度，另一方面还可以使 结构得到进～步的优化。． 于作进一步的研究。我们相信，随着研究的 深入，优化设计的理论和方法不断完善，优 化设计必将受到广大工程设计人员的青 睐，在工程设计中得到广泛应用。 ６结语 本文研究的是一个工程实例，网架结 构几何形状、受力情况复杂，给工程设计带 来一定的困难。本文分别采用改进满应力 参考文献 １ 钱令希．工程结构优化设计．北京：水利电力出版社， １９８３ 法和序列二次规划法对该网架结构杆件截 面选择作了一些探讨。主要体会如下： （１）对大跨度网架结构截面进行优化 设计对推广优化设计技术和提高大跨度网 架结构设计的效率具有实际意义。利用本 ４２由敬舜，赵锡钱，蔡文豪．工程结构分析及微机程序． 南昌：江西科学技术出版社，１９８６ ３程耿东．工程结构优化设计基础．北京：水利电力出版 社．１９８４ 朱伯芳，黎展眉．结构优化设计原理及应用．北京：水 利电力出版社．１９８８
