湖南省洞口一中2013届高三第五次月考数学(文)试题

总分：150分 时间：150分钟 命题：邓昭练 审题：林目余

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=

（ C ） A．（2,3） B．[2,3） C．（2,3] D．[2,3] 2．设命题p：函数y= cos2ｘ的最小正周期为

42；命题q：函数f（ｘ）＝sin（ｘ一

）的图象的一条对称轴是x4，则下列判断正确的是

A．p为真 （ B ） B．ｑ为假

C．p∧q为真 D．p∨ q为假

的值为（ B ）

123．已知向量a(x,1)，b(3,6)，且ab，则实数xA．

12 B．2 C．2 D．1a1a2123

4.项数大于3的等差数列{an}中，各项均不为零，公差为1，且

其通项公式为（ B ）

A．n-3 B．n

aa1aa1.则

13 C．n+1 D．2n-3

5．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ A ） A．

110 B．

xa22920 C．

12000 D．

2216．已知双曲线

yb221a0,b0)的一个焦点与抛物线y12x的焦点重合，且

双曲线的离心率等于3，则该双曲线的标准方程为（ A ）

A.x23x2y2621

y2

x2B.x212y2241

C.27y181 D.18271

7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( B )

A．32 B．16＋162

C．48 D．16＋322

xy608．满足约束条件yex0x0的目标函数zexy的最大值是

（ C ）

A．－6 B．e＋l C．０

D．e－l

f(x)f(y)f(xy)9．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有

成立，若a1（ D ） A．

12Sn2 B．

12Sn2 C．

1212

，anf(n) (n为正整数)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是

12Sn1 D．Sn1

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上

(1i)(1i)10.复数

i在复平面内对应的点到原点的距离为__________2

11．在极坐标系中，点A的坐标为22,，曲线C4的方程为4sin，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为______ 22. 12．阅读右面的程序框图，则输出的S等于 ．50

13.在ABC中，三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知B60，

不等式x26x8b ．23

开始 S 0,k1k 100?是 0的解集为{x|axc}，则

否 kSS(1)k kk1（第12题）

输出S 结束 14.点P是椭圆C1:xa22yb22 1(ab0)与圆C2:xyab的一个交

2222点，且2PF1F2PF2F1,其中F1、F2分别为椭圆C1的左右焦点，则椭圆C1的离心率为 。31 15．已知正方形ABCD，PAP平面ABCD，AB1,PAt(t0)，

A当t变化时，直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是 ． (0,12]

BDC（第15题）

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（本题12分）已知函数f(x)=2msin2x－23msinxcosxn (m>0)的定义域为[０，

2]，值域为[－5，4]．

32 （1）求m，n的值； （2|）求函数g(x) =msinx+

ncosx(x∈R)的单调递增区间。

17(本小题12分)如图，在四棱锥SABCDABCD中，底面S M B 是直角梯形，AD∥BC，SACD，AB⊥平面，AD12SAD，点M是SC的中点，且SA（1）求四棱锥SABCDABBC1. C 的体积；

A D 第19题（2）求证：DM∥平面SAB；

（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值. 解：∵ AB⊥底面SAD,SA底面SAD,AD底面SAD

∴ AB⊥SA, AB⊥AD ∵ SACD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线

∴ 侧棱SA分

（1） 在四棱锥SBC底面ABCD ………………… 2

ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥

12，AB⊥AD，SAABBC1，AD13

122)1114 ∴ VSABCD13(1SABCDSA ………………… 4分

（2） 取SB的中点N，连接AN、MN。 ∵ 点M是SC的中点 ∴MN∥BC且MN12BC

1，AD∵ 底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC ∴ AD∥BC且AD ∴ MN∥AD且MN12BC12

AD∴ 四边形MNAD是平行四边形

∴ DM∥AN ∵DM平面SAB，AN平面SAB

∴ DM∥平面SAB ……………… 8

分

（3）∵ 侧棱SA∴ BCSA底面ABCD，BC底面ABCD

∵AB垂直于BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线 ∴ BC平面SAB，垂足是点B

SB∴ SB是SC在平面SAB内的射影，BC

∴ BSC是直线SC和平面SAB所成的角 ∵ 在RtSBC中，BC∴ sinBSCBCSC331，SB2 ∴ SC3

33∴ 直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是

分

……………… 13

18. （本小题满分12分）如图，正方形OABC的边长为2.

(1)在其四边或内部取点P(x,y)，且x,yZ，求事件：“OP1”的概率； (2)在其内部取点P(x,y)，且x,yR，求事件“POA,PAB,PBC,PCO的面积均y 大于

23”的概率.

C B O

A x 解：（1）P(x,y)共9种情形：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)

满足OP1，即x2y21，共有6种 因此所求概率为

6923………6分

122d2323（2）设P到OA的距离为d，则SP到OA、AB，即d23

、BC、CO的距离均大于

23)2

(22概率为

2219………12分

19(本小题满分13分 ) 已知等差数列an满足：an1an(nN*)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn 的前三项. （Ⅰ）分别求数列an，bn的通项公式; （Ⅱ）设Tna1b1a2b2anbn(nN),求证： Tn*3

解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列an、等比数列bn的公差与公比，且d0 由a11,a21d,a312d,分别加上1，1，3有b12,b22d,b342d…2分

(2d)2(42d),d4,d0,d2,qan1(n1)22n1,bn22n122b2b1n422 …………4分

2 …………6分

2n12n（II）Tn1212a1b1a2b212321223anbn52123412322523,①

Tn2122n1212nn1.②

①—②，得

Tn()2n12n1. …………8分

1Tn112n11122n12n312n22n12n32n32n.………………10分

2n32n0.32n32n3

20（本小题满分13分）

x3210

已知函数f(x)＝2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，

a5

函数g(x)＝f(x)－

3bx

＋3.(1) 若函数g(x)在x＝1处有极值，求g(x)的解析式； a2

2

(2)若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数,且b－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m的取值范围．

3

解：∵ f′(x)＝2·x2，

a

3

∴ 由2·x2＝3有x＝±a，即切点坐标为(a，a)，(－a，－a)，

a∴ 切线方程为y－a＝3(x－a)或y＋a＝3(x＋a)， 整理得3x－y－2a＝0或3x－y＋2a＝0， ∴ |－2a－2a|32＋－13

＝2

210

，解得a＝±1， 5

3

∴ f(x)＝x，∴ g(x)＝x－3bx＋3.

(1) ∵ g′(x)＝3x2－3b，g(x)在x＝1处有极值，∴ g′(1)＝0， 即3×12－3b＝0，解得b＝1，∴ g(x)＝x3－3x＋3.

2

(2)∵函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，∴g′(x)＝3x－3b≥0在区间[－1,1]上恒成立，∴b≤0，又∵b2－mb＋4≥g(x)在区间[－1,1]上恒成立，∴b2－mb＋4≥

22

g(1)，即b－mb＋4≥4－3b，∴ mb≤b＋3b在b∈(－∞，0]上恒成立，∴ m≥3.

综上，m的取值范围是[3，＋∞)． 21．（本小题满分13分） P、Q是抛物线C：y=x上两动点，直线l1，l2分别是C在点P、点Q处的切线，l1∩

l2=M，l1⊥l2．

2

（1）求证：直线PQ经过一定点；

（2）求△PQM面积的最小值。