电磁与微波习题

1.1 求函数3x2yy3z2在点M(1,2,1)处沿矢量lyzexxzeyxyez方向的方向导数。

1.2 已知x22y23z2xy3x2y6z，求在点(0,0,0)和点(1,1,1)处的梯度。

1.3 已知矢量场A(axzx2)ex(byxy2)ey(zz2cxz2xyz)ez，试确定 a、

b、c，使得A成为一无源场。

1.4 试求A和A：(1) Axy2z3exx3zeyx2y2ez； (2)A(,,z)2cose2sinez；

11(3) A(r,,)rsinersine2cose。

rr1.5 证明：(1) (u)0 ； (2) (A)0

1.6 无界自由空间中，位于原点的、电量为q的点电荷在空间点(x, y, z)的电位为

q (0为真空中的介电常数) 2221/240(xyz)求等位面方程。

1.7 无界自由空间中原点处电量为q的点电荷在空间任意点(x, y, z)处产生的电场强度为

Eq40r3(xexyeyzez)

求矢量线方程。

2.1 一个半径为 a 的均匀带电圆盘，电荷面密度为s0，求轴线上任一点的电场强度。

2.2 均匀带电导体球的半径为a，电量为q，求球内、外的电场强度和电位分布。

2.3 一个圆柱形均匀极化介质柱的高度为L，半径为a，极化强度PPe0z沿轴线方向。求束缚体电荷密度和束缚面电荷密度。

2.4 如图所示，半径分别为a、b，球心间距为c(c2.5 在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数都是坐标的函数)中，若有恒定电流存在，证明媒质中的自由电荷密度为：

E()

2.6 如图，无限大平板电容器的极板面积为S，其间填充厚度分别为d1和d2的漏电媒质，电导率分别为1和2，当极板间外加电压U0时，求两种媒质中的电场强度，并求漏电电阻。

2.7 一对无限长平行细导线，相距2a，线上载有大小相等、方向相反的电流I，

1

求空间任意一点的磁矢位和磁感应强度。

2.8 已知在半径为 a 、磁导率为1的无限长圆柱导体内有沿其轴向方向的恒定电流I，其外部充满磁导率为2的均匀磁介质，求导体内、外的磁场强度、磁感应强度、磁化电流密度。

a0cb

(2.4题图) (2.6题图)

2.9 如图，无限大平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d1和d2，介电常数分别为1和2，电导率分别为1和2，当外加电压U0时，求分界面上的自由面电荷密度。

2.10 假设x0的区域为空气，x0的区域为介电常数为30的介质，若空气中

的电场强度E13ex4ey5ez (V/m)，求介质中的电场强度E2和电位移矢量D2。

2.11 空气绝缘的同轴线，内导体半径为a，外导体内半径为b，通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，则其存储的能量可以忽略不计，计算单位长度同轴线存储的磁场能量。

Lab

短路板0, 0短路板

(2.9题图) (3.3题图)

3.1 在空气媒质的无源区域中，电场强度E100ezcos(tz)ex，其中，、为常数，求磁场强度。

3.2 证明麦克斯韦方程组包含了电荷守恒定律。

3.3 一段由理想导体构成的同轴腔，内导体半径为a，外导体半径为b，长为L，两端用理想导体板短路，导体之间为空气，如图所示，已知在ab、0zL2

AB的区域内的电磁场为Esin(kz)e，Bcos(kz)e。(1) 确定A、B之间的关

系；(2) 确定k；(3) 求同轴腔所有内壁上的自由电荷密度和传导电流密度。

3.4 设真空中的磁感应强度为B103cos(6π103t)cos(2πz)ey T，求位移电流密度。

3.5 证明：通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为0。

3.6 已知无源自由空间中的电场强度为EEmsin(tkz)ey。求：(1) 磁场强度；(2) 证明/kc0；(3) 坡印廷矢量的时间平均值。 3.7 已知无源区域中时谐电磁场的磁场强度为：

HH(r)msinejkre

r式中，Hm、k为实常数。求坡印廷矢量的瞬时值。

3.8 已知EE0cos(kzt)exE0sin(kzt)ey。(1) 求磁场强度、坡印亭矢量；

(2) 对于给定的z (例如z=0)，确定E矢量随时间变化的运动轨迹；(3) 求电场能量密度、磁场能量密度和平均能流密度。

3.9 已知真空中电场强度为E(x,y,z,t)2cos(2108t3z/2)ey (V/m)，求与之

对应的H(x,y,z,t)，并求出E(x,y,z,t)、H(x,y,z,t)的复数表示式。 3.10 求下列各复场量的瞬时表示式：

jz(1) EE0eex； (2) EE0sin(z)ex；

(3) HjH0cos(z)ey； (4) E5ej30ex6ej220eyej40ez

3.11 无限长理想导体所围区域为0xa、0yb，如图所示，其中电场为

nEEy0sin(x)ejzey ya(1) 求区域中的位移电流密度和磁场；、 (2) 求瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； (3) 计算穿过该区域任一横截面的平均功率。

4.1 假设真空中一平面波的磁场强度矢量为：

b0, 0Oax13H106exeyezcostxyz22(A/m)

求：(1) 波的传播方向；(2) 波长和频率；(3) 电场强度矢量；(4) 坡印廷矢量的平均值。

86π10t2πz4.2 若自由空间中一平面电磁波的电场为EE0cos求f、、ex，

3

、vp及H。

4.3 已知某理想介质中均匀平面波电场为

8E3102(ex2eyEz0ez)cos30π10t4π(3x2yz) V/m，

求(1) 波的传播方向；(2) 频率f、波长和相速vp；(3) 求该理想介质的r；(4)

求电场振幅中的常数Ez0；(5) 求H(r,t)和Sav。

4j20z(V/m)。4.4 真空中，某电磁波的电场强度为：E(exjey)10e

平均值；(4) 判断该电磁波的极化方式和旋向。

求：(1) 工作频率；(2) 磁场强度的复数表示式；(3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间

jkz4.5 空气中电场为E(ExmexjEymey)e的均匀平面电磁波垂直入射到z0

的理想导体表面，其中Exm、Eym是实常数。求反射波的极化方式、旋向和导体表面的面电流密度。

4.6 判断以下各电磁波的极化形式和波的传播方向。

jkzjkz(1) EjEmeexjEmeey； (2) EEmejkzexjEmejkzey；

(3) E(EmexEmejey)ejkz (0、π/2、π)；

(4) H(Emejky/)ex(jEmejky/)ez；

(5) EEmcos(tkz)exEmsin(tkz)ey；

(6) EEmsin(tkz)ex2Emsin(tkz)ey；

(7) EEmsin(tkzπ/4)exEmcos(tkzπ/4)ey；

4.7 均匀平面波电场EE0(exjey)ejk0z垂直入射到z0处的导体平面上，求 (1) 反射波和总场； (2) 说明反射波、入射波的极化类型； (3) 总场沿z方向传播的平均功率密度。

4.8 频率为f300MHz的沿 x 轴线极化均匀平面波，其电场强度的振幅值为 2 V/m，从空气垂直入射到r4、r1的理想介质平面上(z0)。求：(1) 反射系数、透射系数和驻波比。(2) 入射波、反射波与透射波的电场和磁场。(3) 入射功率、反射功率和透射功率。

4.9 均匀平面波自空气入射到理想导体表面(z0)，已知入射波电场为Ei5(ex3ez)ej6(3xz)(V/m)。求：(1) 反射波电场和磁场。(2) 理想导体表面的面电荷密度和面电流密度。

4.6 一圆极化均匀平面波自理想介质1向理想介质2斜入射，已知

241，21。欲使反射波为线极化波，求此时的入射角。

5.1 何谓工作波长、截止波长和导波波长？它们之间有何关系？ 5.2 为什么只有c的波才能在传输线中传播？

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5.3 何谓传输线的色散特性？传输线为何有色散特性？

5.4 传输线中的vp、vg、c、g有何区别和联系？它们与哪些因素有关？ 5.5 若用BJ-32型(72.14mm34.04mm)矩形波导作为馈线。 (1) 当工作波长为6cm时，波导中能传输哪些模式？(2) 若测得波导中传输TE10模时两相邻波节点之间的距离为10.9cm，求此时的导波波长和工作波长。(3) 在波导中传输工作波长为10cm的TE10模时，求此时的相速度、群速度、截止波长、导波波长和模式阻抗。

5.6 试说明为什么波导内部不可能存在TEM波。 5.7 圆波导中的模阶数m和n的意义如何？

5.8 圆波导中TE11模、TE01模和TM01模的特点分别是什么？有何应用？ 5.9 一空气填充的圆波导中传输TE01模，已知/c0.9，f5GHz，求g和。

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