高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)−f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)−f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减

函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数； 对于定义域内任意的x，都有f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 3、函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是y−y0=f(x0)(x−x0).

b4ac−b2b4ac−b2+1,)；,) *二次函数： （1）顶点坐标为(−（2）焦点的坐标为(−2a4a2a4a4、几种常见函数的导数 ①C=0；②(x)=nxx'x'n'n−1； ③(sinx)=cosx；④(cosx)=−sinx；

x'''⑤(a)=alna；⑥(e)=e； ⑦(logax)=5、导数的运算法则

x'11'；⑧(lnx)= xlnaxu'u'v−uv'(v0). （1）(uv)=uv. （2）(uv)=uv+uv. （3）()=vv2''''''6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f(x)=0．当f(x0)=0时： (1) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； (2) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值． 指数函数、对数函数

分数指数幂 (1)a(2)amn=nam（a0,m,nN，且n1）.

−mn=1amn=1nam（a0,m,nN，且n1）.

根式的性质

（1）当n为奇数时，a=a； 当n为偶数时，a=|a|=有理指数幂的运算性质

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nnnna,a0.

−a,a0 (1) aa=arsrrsrrrsr+s(a0,r,sQ). (2) (a)=a(a0,r,sQ). (3)(ab)=ab(a0,b0,rQ). p注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

.指数式与对数式的互化式: logaN=bab=N(a0,a1,N0). .对数的换底公式 :logaN= 对数恒等式：a推论 logambn=

常见的函数图象

yyylogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logmalogaN=N(a0,且a1, N0).

nlogab(a0,且a1, N0). myyk<0ok>0xoa<0x2-1o1y=x+-21xxy=ax01y=kx+ba>0o1a>1xy=ax2+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式 sin2+cos2=1，tan=sin. cos9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；

k+2的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。

(1)sin(2k+)=sin，cos(2k+)=cos，tan(2k+)=tan(k)． (2)sin(+)=−sin，cos(+)=−cos，tan(+)=tan． (3)sin(−)=−sin，cos(−)=cos，tan(−)=−tan． (4)sin(−)=sin，cos(−)=−cos，tan(−)=−tan．

口诀：函数名称不变，符号看象限． (5)sin−=cos，cos−=sin．(6)sin+=cos222，cos+=−sin． 2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

10、和角与差角公式 sin()=sincoscossin; cos()=coscossinsin; 第2页（共10页）

tan()=tantan.

1tantan11、二倍角公式

sin2=sincos.

cos2=cos2−sin2=2cos2−1=1−2sin2.

2tantan2=. 21−tan1+cos22cos2=1+cos2,cos2=;2公式变形：

1−cos22sin2=1−cos2,sin2=;212、 函数y=sin(x+)的图象变换

①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y=sin(x+)的图象；再将函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(x+)的图象；再将函数y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数

y=sin(x+)的图象．

②数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数 y=sinx的图象；再将函数y=sinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数y=sin(x+)的图象；再将函数y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

（横坐标不变），得到函数y=sin(x+)的图象． 13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 质 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R xxk+,k 2值域 −1,1 当−1,1 (k)当xR 既无最大值也无最小值 最值 x=2k+2=2k(k)时， 第3页（共10页）

时，ymax=1；当ymax=1；当x=2k+ x=2k−2 (k)时，ymin=−1．  奇函数 (k)时，ymin=−1． 周期性 奇偶性 2 2 奇函数 偶函数 在2k−,2k+ 22在(k)上是增函数；在 单调性 2k−,2k(k)上是增2k,2k+ 在k函数；在−2,k+ 232k+,2k+ 22(k)上是减函数． (k)上是增函数． (k)上是减函数． 对称中心对称性 对称轴x(k,0)(k) =k+2对称中心k(k) 对称轴x+,0(k) 2对称中心无对称轴 k,0(k) 2=k(k)

14、辅助角公式

y=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+) 其中tan=15.正弦定理 ：

b aabc===2R（R为ABC外接圆的半径）. sinAsinBsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC

16.余弦定理

a2=b2+c2−2bccosA;b2=c2+a2−2cacosB;c2=a2+b2−2abcosC.

17.面积定理

111aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S=absinC=bcsinA=casinB.

222（1）S=18、三角形内角和定理

在△ABC中，有A+B+C=C=−(A+B)

CA+B=−2C=2−2(A+B). 22219、a与b的数量积(或内积)

ab=|a||b|cos

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20、平面向量的坐标运算

(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB=OB−OA=(x2−x1,y2−y1). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2. (3)设a=(x,y)，则a=21、两向量的夹角公式

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

x2+y2

cos=ab=|a||b|x1x2+y1y2x+yx+y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

22、向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0

a//bb=a x1y2−x2y1=0.

a⊥b(a0) ab=0x1x2+y1y2=0.

*平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1−x2,y1−y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB=OB−OA=(x2−x1,y2−y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

n=1s1,an=( 数列{an}的前n项的和为sn=a1+a2+s−s,n2nn−124、等差数列的通项公式

+an).

an=a1+(n−1)d=dn+a1−d(nN*)；

25、等差数列其前n项和公式为

sn=n(a1+an)n(n−1)d1=na1+d=n2+(a1−d)n. 222226、等比数列的通项公式

an=a1qn−1=a1nq(nN*)； q27、等比数列前n项的和公式为

a1(1−qn)a1−anq,q1,q11−qsn=1−q 或 sn=. na,q=1na,q=111四、不等式

x+yxy。必须满足一正（x,y都是正数）28、、二定（xy是定值或者x+y是定值）、三相等（x=y2第5页（共10页）

时等号成立）才可以使用该不等式）

（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p； （2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值

12s. 4五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式 y−y1=k(x−x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).

y−y1x−x1=(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2−y1x2−x1xy(4)截距式 +=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

30、两条直线的平行和垂直

若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2

①l1||l2k1=k2,b1b2;

②l1⊥l2k1k2=−1. 31、平面两点间的距离公式

dA,B=(x2−x1)2+(y2−y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

32、点到直线的距离

d=|Ax0+By0+C|A+B22 (点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0).

22233、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 (x−a)+(y−b)=r.

（2）圆的一般方程 x+y+Dx+Ey+F=0(D+E−4F＞0). （3）圆的参数方程 2222x=a+rcos.

y=b+rsin222* 点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x−a)+(y−b)=r的位置关系有三种 若d=(a−x0)2+(b−y0)2，则dr点P在圆外;d=r点P在圆上;dr点P在圆内.

34、直线与圆的位置关系

222直线Ax+By+C=0与圆(x−a)+(y−b)=r的位置关系有三种:

dr相离0; d=r相切=0;

dr相交0. 弦长=2r2−d2

Aa+Bb+C其中d=.

22A+B35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

x=acoscb2x2y2222椭圆：2+2=1(ab0)，a−c=b，离心率e==1−2<1，参数方程是.

y=bsinaaabcx2y2b222双曲线：2−2=1(a>0,b>0)，c−a=b，离心率e=1，渐近线方程是y=x.

aaab第6页（共10页）

抛物线：y=2px，焦点(2pp,0),准线x=−。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

2236、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2−2=1渐近线方程：2−2=0y=x.

abaabxyx2y2b (2)若渐近线方程为y=x=0双曲线可设为2−2=.

abaabx2y2x2y2 (3)若双曲线与2−2=1有公共渐近线，可设为2−2=（0，焦点在x轴上，0，

abab焦点在y轴上）.

37、抛物线y=2px的焦半径公式

2p.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。） 2pp38、过抛物线焦点的弦长AB=x1++x2+=x1+x2+p.

22

六、立体几何

2抛物线y=2px(p0)焦半径|PF|=x0+39.证明直线与直线的平行的思考途径 42．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （1）转化为相交垂直； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线面平行； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线面垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. （5）转化为面面平行. 43．证明直线与平面垂直的思考途径 40．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （2）转化为线线平行； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （3）转化为面面平行. （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 41.证明平面与平面平行的思考途径 44．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点； （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线面垂直.

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl+2r2

2圆椎侧面积=rl，表面积=rl+r

1V柱体=Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体=Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3423球的半径是R，则其体积V=R,其表面积S=4R．

346、若点A(x1,y1,z1)，点B(x2,y2,z2)，则dA,B=|AB|=ABAB=(x2−x1)+(y2−y1)+(z2−z1) 47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

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222

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

x1+x2+xn12222 方差:s=[(x1−x)+(x2−x)+(xn−x)]

nn1标准差:s=[(x1−x)2+(x2−x)2+(xn−x)2]

n平均数:x=50、回归直线方程 （了解即可）

nn(xi−x)(yi−y)xiyi−nxyb=i=1n=i=1n2y=a+bx，其中22.经过（x，y）点。 x−xx−nx()iii=1i=1a=y−bxn(ac−bd)2251、性检验 K=（了解即可）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗．．．．．．．．．漏）

八、复数

53、复数的除法运算

a+bi(a+bi)(c−di)(ac+bd)+(bc−ad)i==. 22c+di(c+di)(c−di)c+d54、复数z=a+bi的模|z|=|a+bi|=a+b.

55、复数的相等：a+bi=c+dia=c,b=d.（a,b,c,dR） 56、复数z=a+bi的模（或绝对值）|z|=|a+bi|=a+b. 57、复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i; (3)(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i; (4)(a+bi)(c+di)=2222ac+bdbc−ad+2i(c+di0). 222c+dc+d58、复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C，有

交换律:z1z2=z2z1.

结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3). 分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

2=x2+y2cos=x55、  ysin=ytan=(x0)x十、命题、充要条件

充要条件（记p表示条件，q表示结论）

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（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

56.真值表 互逆原命题ｐ 真 真 假 假

ｑ 真 假 真 假 非ｐ 假 假 真 真 ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 真 假 真 假 假 假 若p则q互否否命题若┐p则┐q互为为互逆否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆否

互逆十一、直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

(0,)② 两条异面直线所成的角θ∈ 2；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

直线、平面平行的判定及其性质

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直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

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