三相APF的切换系统建模与二次最优控制

三相APF的切换系统建模与二次最优控制

李春文1，汤洪海2，郑雪生2，戎袁杰2

(1．河南省信息化电器重点实验室，河南省 郑州市 450000；2．清华大学自动化系，北京市 海淀区 100084)

Modeling and Quadratic Optimal Control of Three-phase APF Based on Switched System

LI Chun-wen1, TANG Hong-hai2, ZHENG Xue-sheng2, RONG Yuan-jie2

(1. Key Laboratory of Informational Electric Apparatus in Henan Province, Zhengzhou 450000, Henan Province, China;

2. Department of Automation, Tsinghua University, Haidian District, Beijing 100084, China)ABSTRACT: A new equivalent discrete-time switched linear system (EDSLS) model of the three-phase active power filter (APF) based on the pulse-width modulator (PWM) theory is proposed. Then the EDSLS model is further transformed to a linear equivalent discrete-time switched linear system (LEDSLS) by linearization at some neighborhood of the equilibrium manifold. Finally, a quadratic linear optimal controller is designed with on-time tracking property, where the duty cycle is adopted as the control variables. The proposed control scheme has clearer physical significance and can be easily adopted in practice. The simulation results show that the proposed three-phase APF model and the control strategy are correct and effective.

KEY WORDS：active power filter; switched linear system; pulse width modulation; digital optimal control

摘要：为提高三相有源电力滤波器(active power filter，APF)的动态控制性能，基于PWM原理提出一种三相APF的等效离散切换系统模型(equivalent discrete-time switched linear system，EDSLS)，经平衡流形邻域线性化后得到其线性离散系统模型(linear equivalent discrete-time switched linear system，LEDSLS)，最后针对该模型设计了能够实时跟踪补偿指令电流的二次线性最优控制器。该控制器以PWM占空比为控制量，物理意义明确，易于工程实现，并具有潜在的应用价值。仿真结果证明了该系统模型的正确性，设计的控制器可有效提高三相APF的动态性能。

关键词：有源电力滤波器；切换线性系统；脉冲宽度调制；数字优化控制

为是抑制谐波最有效的设备之一，被广泛的研究和

应用[1-3]。

目前对APF分析的的基本思路是线性化后进行统一建模，即对各开关模态做时域上的平均处理，忽略其非线性部分，得到相应的周期平均模型[4-5]。李玉梅的无差拍控制[6]，周卫平、周柯等研究的电流跟踪控制[7-8]，费万民的单周控制方法[9]，以及Battista采用的滑模变结构方法均基于周期平均模型取得了一定的成果[10-15]。但APF是一个典型的开关非线性不确定系统，如果按照线性电路理论分析和设计有源滤波器，则只能在宏观上了解其性能，而无法准确地得到它的运动规律，不具有一般和广泛的适用性。

从系统工作特点看，APF是一种典型的混杂动态系统——切换线性系统，胡宗波和Willem等运用切换线性系统理论在Buck和Boost等DC-DC变换器的能控性和能达性方面已取得了一些进 展[16-18]，文献[19]对单相APF采用切换系统理论进行了控制策略研究，但对于三相APF的研究则因复杂的电路结构和控制目标等使得这方面的工作进展缓慢。

本文采用混杂系统理论对三相APF建立了一套能精确反映开关切换特性的控制数学模型，并在其工作的平衡流形邻域近似线性化得到了线性等效离散系统模型，最后在此基础上设计了二次线性最优控制器来提高系统的动态性能。

0 引言

有源电力滤波器(active power filter，APF)被认

基金项目：国家自然科学基金项目(69774011，60433050)。

Project Supported by National Natural Science Foundation of China (69774011, 60433050).

1 三相APF动态建模

图1为三相有源滤波器的功率逆变器电路，它与非线性负荷并联接入电网，其优点是结构简单、体积小、效率高。令ic*j(j=a,b,c)为非线性负载电流

第12期

usaNusbuscrsarsbrsciscLcra~rcica~iccLbLaS1aS2nisaisb李春文等： 三相APF的切换系统建模与二次最优控制 67

i1a~i1c非线性负荷dicj又

rur11

=−icj−sjisj−(pj−∑pm)Udc+sj(6) dtLLL3m=a,b,cL

idc=Cdc

dUdc

=paica+pbicb+pcicc (7) dt

1

∑pm,3m=a,b,c

j=a,b,c

idcS3bS4S5cS6Udc+C−dc

uccucbuca令开关函数为

Sj=pj−

可以验证有

图1 三相并联APF原理图

Fig. 1 Schematic diagram of three-phase shunt APF

i1j中检测出的高次谐波及无功电流分量，即指令电流。通过控制6个开关元件S1~S6的开通与关断，实现APF产生电流icj跟踪i*cj，从而使非线性负载从系统中吸收的电流isj只包含正弦有功分量，以实现谐波补偿的目的。其中Lj为三相滤波电感，令La=Lb=Lc=L，r为电感等值电阻，Cdc为直流电容，usj为系统电源电压，rsj为系统电源内阻，Udc为直流电容电压。

由图1可得

dica⎧=+rica+rsaisa+Uan+UnNuLas⎪dt⎪

dicb⎪

+ricb+rsbisb+Ubn+UnN (1) ⎨usb=Ldt⎪

⎪dicc

+ricc+rscisc+Ucn+UnN⎪usc=Ltd⎩

用pj(j=a,b,c)表示开关状态，取值如下：

dUdc

=∑pmicm=∑Smicm (8) dtm=a,b,cm=a,b,c

写成状态方程的形式为 ⎡dica⎤⎡−r00−Sa⎤

⎡usarsa⎤⎢dt⎥⎢LL⎥⎢L−Lisa⎥⎥⎢⎥⎢

⎥⎢dicb⎥⎢0−r0−Sb⎥⎡ica⎤⎢ur

icb⎥⎢sb−sbisb⎥⎢dt⎥⎢LL⎥⎢⎢⎥+⎢LL⎥(9) ⎥⎢di⎥=⎢Sri⎢⎥c⎢u⎢cc⎥⎢00−−⎥ccrsc⎥sc⎢⎥⎢−isc⎥LL⎥⎣Udc⎦⎢dt⎥⎢

⎢LL⎥⎥⎢dUdc⎥⎢SaSbSc

⎢⎥0⎥0⎢⎥⎢⎣⎦CCC⎣dt⎦⎣dcdcdc⎦

可以验证有式(10)成立

dUdc11

(2Sa+Sb)ica+(Sa+2Sb)icb (10) =

dtCdcCdc

Cdc

则状态方程可降阶为

⎧1, S1闭合且S2断开⎧⎪⎪pa=⎨

⎪⎪⎩0, S1断开且S2闭合⎪

⎧1, S3闭合且S4断开⎪⎪⎪p= (2) ⎨b⎨⎪⎪⎩0, S3断开且S4闭合⎪

⎧⎪⎪1, S5闭合且S6断开⎪pc=⎨

⎪⎪⎩0, S5断开且S6闭合⎩

则有下式成立

⎧Uan=pa⋅Udc⎪

⎨Ubn=pb⋅Udc (3) ⎪

⎩Ucn=pc⋅Udc

UaN+UbN+UcN=0 (4)

因而有

r⎡dica⎤⎡−⎢dt⎥⎢L

⎢⎥⎢⎢dicb⎥=⎢0⎢dt⎥⎢

⎢dU⎥⎢2S+S

b⎢dc⎥⎢a

⎢dt⎦⎥⎢⎣⎣Cdc

0r

LSa+2Sb

Cdc

−

Sa⎤L⎥⎥⎡ica⎤S

−b⎥⎢icb⎥+ L⎥⎢⎥⎥⎢⎣Udc⎥⎦⎥0⎥⎦−

⎡usarsa⎤

⎢L−Lisa⎥⎢⎥ur⎢sb−sbi⎥=A(Sa,Sb)x+b (11)

sb⎢LL⎥

⎢⎥

0⎣⎦

至此即得到了三相APF的切换动态模型式(11)。为实现负荷电流补偿，选择输出函数为

∗

y=C[ica−ica

∗

icb−icbUdc−Udc0]T (12)

式中：x、(Sa,Sb)、y分别为对应于APF的状态向量、

输入向量和输出向量；A(Sa,Sb)，b，C为APF工作模态的系数矩阵。

2 三相APF切换系统离散化

本文对补偿电流采用三相统一PWM调制，如图2所示。三相共载波PWM波形生成方法突出特点是将三相作为一个完整体系去处理，即在同一载

UnN

代入式(1)中可得

1

=−(pa+pb+pc)Udc (5)

3

68 中 国 电 机 工 程 学 报 第28卷

波周期内，对A、B、C三相同时进行调制。对应于图2，在同一载波周期内经过调制产生7个时间

每一时间子区间对应不同的状态。子区间，即t1~t7，

为简化计算不妨对图2的脉宽重新排列得到图3所示的三相共载波PWM脉冲，其中脉宽大小顺序与计算出的指令电流大小相一致。则在同一载波周期内经过PWM调制产生4个时间子区间，只需计算

d2和d3的大小即可确定该载波周期内的三相出d1、

PWM波形，然后根据脉宽大小顺序与三相指令电流进行对相。

*

假设k点的三相指令电流的大小顺序为：ilcak> **

ilcbk>ilcck，由图3根据pa、pb、pc的变化可将系

统式(11)看作4个线性子系统组成的切换线性系统，见式(13)，其中各子系统的开关函数取值如表

1所示。

4个子系统的状态方程分别为

ABCt1 t2 t3 t4 t5 δ3Tδ2Tt6 t7 δ1TT 图2 三相共载波PWM脉冲生成

Fig. 2 Three-phase PWM pulses generation with

common carrier wave

⎧⎡dica⎤

⎡usarsa⎤⎪⎢dt⎥⎡−r00⎤

⎥⎡ica⎤⎢L−Lisa⎥⎪⎢⎥⎢L

⎥⎥⎢⎥⎢⎪sys1:⎢dicb⎥=⎢icb+⎢usbrsb⎥=r⎢⎥⎪⎢dt⎥0−0⎢⎥−isb

⎢UL⎥⎢⎪LL⎥⎥⎢dU⎥⎢dc⎣⎦⎢⎥⎥⎪⎢dc⎥⎢0⎣000⎦⎣⎦

⎪⎢⎣dt⎥⎦⎪ A1x+b⎪⎪1⎤⎡dica⎤⎡r

−−0⎪⎡usarsa⎤⎥⎢dt⎥⎢L−iL3⎪⎥⎡ica⎤⎢LLsa⎥⎢⎥⎢

r1⎥⎢⎥⎢⎪⎥⎢dicb⎥⎢

⎪sys2:⎢dt⎥=⎢0−L−3L⎥⎢icb⎥+⎢usb−rsbi⎥=

sb

⎪⎥⎢⎢dU⎥⎢11⎣Udc⎥⎦⎢LL⎥⎪⎢⎥⎢dc⎥⎢0⎥0⎣⎦⎪⎥⎢CdcCdc⎣dt⎥⎦⎢⎣⎦⎪

A2x+b⎪

(13)⎨

2⎤⎡dica⎤⎡r⎪−−0⎡usarsa⎤⎢⎥⎢dt⎥⎪L3L⎥⎡i⎤⎢−isa⎥

⎢⎥⎢⎪LLca

idr1⎢⎥⎢⎥cb⎢⎥⎢⎥⎪sys3:=⎢0−+i=urcbsb⎢dt⎥−sbisb⎥⎪L3L⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎢Udc⎦⎥⎢LL⎥⎢dU⎥⎢1⎪

dc⎢⎥⎢⎥⎢00⎥0⎪⎣⎦⎥⎢⎣dt⎥⎦⎢⎪⎣Cdc⎦

⎪ A3x+b⎪⎪⎡dica⎤

⎡usarsa⎤⎪⎢dt⎥⎡−r00⎤

⎥⎡ica⎤⎢L−Lisa⎥⎪⎢⎥⎢L

⎥⎥⎢⎥⎢⎪sys4:⎢dicb⎥=⎢+=irur

⎪⎢dt⎥⎢0−0⎥⎢cb⎥⎢sb−sbisb⎥

L⎥⎣⎪⎢Udc⎦⎥⎢LL⎥⎢dU⎥⎢

⎢⎥⎥⎪⎢dc⎥⎢0⎣000⎦⎣⎦

⎢⎪⎣dt⎥⎦⎪ A4x+b⎩

由式(13)可见APF的系统状态为连续变量，而每个子系统的工作时间di为离散量，导致开关函数Sj也为离散量，APF的工作原理即通过控制各子系

从而实现补统持续时间dk的长短来改变系统模型，

偿电流对指令电流的跟踪。因此若要深入研究APF的混杂特性并设计高性能的控制器，则需进一步考虑每个子系统的动态过程。通过切换xk经中间状态

δ1kδ2kδ3kxk、xk、xk变为xk+1，即

101010d1d2d3d4pi 0δ1Tδ2Tt/s

δ3TT

图3 三相PWM脉冲

Fig. 3 Three-phase PWM pulses

表1 Sj数值表 Tab. 1 Value of Sj

子系统

Sa

Sb

sys1 0 0 sys2 1/3 1/3 sys3 2/3 −1/3

sys4 0 0

δ1kδ1k⎧xk=Φ1δ1kxk+γ1⎪δ2k

δδδ⎪xk=Φ12kxk1k+γ12k

(14) ⎨δ3k

δ3kδ2kδ3kΦγxx=+⎪kk11

⎪x=Φ1−δ3kxδ3k+γ1−δ3k⎩k+1k00

式中：Φ1δ1=eA1δ1T,γ1δ1=∫

δ1T

0

eA1µbdµ； eA2µbdµ；

Φ1δ=eAdT,γ1δ=∫

2

22

2

δ2T

δ1Tδ3T

Φ1δ=eAdT,γ1δ=∫

3

33

3

δ2T

eA3µbdµ；

第12期 李春文等： 三相APF的切换系统建模与二次最优控制 69

3

4(1−δ3)T

Φ01−δ=eA

1−δ3

,γ0=∫eA4µbdµ。

T

δ3T

取非连续输入δ=[δ1δ2δ3]T为输入函数，则

系统式(11)的等效离散切换系统(EDSLS)为

⎡ica(k+1)⎤⎡icak⎤⎢⎥

xk+1=⎢icb(k+1)⎥=F(δk)⎢icbk⎥+g(δk)

⎢⎥U⎢⎥Ukdc⎣⎦⎣dc(k+1)⎦

∗

⎡icak−ilca⎤k⎢⎥∗

yk=C⎢icbk−ilcbk⎥=Cxk+Dk (15)

U−Udc⎥⎢⎣dck⎦

式(15)的解为

xk+1=Φ01−δ3kΦ1δ3kΦ1δ2kΦ1δ1kxk+Φ01−δ3kΦ1δ3kΦ1δ2kγ1δ1k+

1−δΦ01−δΦ1δγ1δ+Φ01−δγ1δ+γ0 (16)

3k

3k

2k

3k

3k

3k

⎧F(δ(tk))=Φ01−δ3(tk)Φ1δ3(tk)Φ1δ2(tk)Φ1δ1(tk),

⎪

⎪H(δ(tk))=[H1(δ(tk))H2(δ(tk))H3(δ(tk))]=⎪

∂g(δk)∂F(δk)⎪[∂F(δk)x+x0+(20) 0⎨∂∂∂δδδ1k1k2kδ(tk)δ(tk)δ(tk)⎪

⎪

∂F(δk)∂g(δk)⎪ ∂g(δk)x0+]

⎪∂δ2kδ(t)∂δ3kδ(t)∂δ3kδ(t)

kkk⎩

式(20)也可在APF投入运行前系统参数设计完成后离线计算生成数据表。这样系统式(19)就转化为如下线性等效离散切换系统(LEDSLS)：

⎧⎡∆ica(k+1)⎤⎡∆icak⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪∆xk+1=⎢∆icb(k+1)⎥=F(δ(tk))⎢∆icbk⎥+⎪⎢∆Udc(k+1)⎥⎢⎣∆Udck⎥⎦⎣⎦⎪⎪

⎨ H1(δ(tk))∆δ1k+H2(δ(tk))∆δ2k+H3(δ(tk))∆δ3k(21) ⎪∗∗

⎡∆icak⎤⎡ilcak⎤⎡icak⎤⎡ilcak⎤⎪

∗⎥⎢i⎥+C⎢i∗⎥⎪∆yk=C⎢∆icbk⎥+C⎢ilcbC=

⎢⎥⎢k⎥⎢cbk⎥⎢lcbk⎥⎪

⎥⎥⎣∆Udck⎥⎢⎪⎣∆Udck⎥⎦⎢⎦⎢⎣0⎦⎣0⎦⎢⎩

此时输入向量由(Sa,Sb)等效变换为离散切换线性系统式(15)的(δ1,δ2,δ3)，其中

⎧F(δk)=Φ01−δ3kΦ1δ3kΦ1δ2kΦ1δ1k⎪⎪1−δδδδ1−δδδ⎨g(δk)=Φ03kΦ13kΦ12kγ11k+Φ03kΦ13kγ12k+ (17) ⎪1−δ3k

Φ01−δ3kγ1δ3k+γ0⎪⎩

式(17)为输入(δ1k,δ2k,δ3k)的非线性函数，且

∗

Dk=C[ilcak

∗

ilcbk

0.9 0.6 δ 1δ 2 δ 3 800]T。

δ j 3 三相APF离散系统线性化

由式(17)可见系统式(15)对状态xk是仿射的，

0.3 0 F(δk)和g(δk)是输入δ1k,δ2k,δ3k的非线性函数。在控制器设计时首先对系统式(15)进行线性化，有如下定义：

定义：当系统三相补偿电流等于零(系统电流无畸 变)时，APF的输出电压为ucj=usj−rsjis (j=a,b,c)。j在一个工频周期内与输出电压ucj相对应的三相

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020t/s

图4 平衡流形的脉宽曲线

Fig. 4 Balance manifold pulse width curve

4 二次最优控制器设计

三相APF的切换系统模型更加精确，不仅可以进行系统的稳定性分析，还可以分析能控性、能观性等基本控制特性。对式(21)所示的离散线性系统，若存在

Qk=[CH(δ(tk))󰀣CF(δ(tk))H(δ(tk)),…,

CFn−1(δ(tk))H(δ(tk))] (22)

SPWM脉宽函数为δ(t)=[δ1(t),δ2(t),δ3(t)]，此时称 三相APF系统的平衡流形为

ψδ,x={[δ(t),x0(t)]q[δ(t),x0(t)]=0,t∈R} (18) 可以证明δ(t)为图4所示三相正弦曲线。

定义在平衡流形式(18)邻域的差分为∆xk=

xk−x0，∆δk=δk−δ(tk)和∆yk=yk−y0，tk为第k个

采样点与工频周期相对应的时刻，相应δ(tk)为与1个工频周期相对应的三相脉宽，周期为20 ms， δ(tk)可在系统参数确定后离线计算生成数据表。式

满秩，则系统输出可控。取C=1，对任意的tk，只

则系统式(21)输出可控。经验证， 要满足式(23)满秩，

本文中对任意δ(tk)≤1，均有Rank(Qk)=3，所以系统输出可控。

下面对系统式(21)进行二次最优控制器设计，定义目标函数为

1N−1T

J=lim∑(∆ykQ∆yk+∆δkTR∆δk) (23)

N→∞Nk=0式中Q和R分别是输出变量和输入变量的加权矩

(16)在平衡流形邻域近似线性化得到

⎧∆xk+1=F(δ(tk))∆xk+H(δ(tk))∆δk⎪

(19) ⎨

∆y=C∆x+∆D⎪⎩kkk

式中

70 中 国 电 机 工 程 学 报 第28卷

usausbusc 阵。要使式(23)达到最小值，需求解下式： P(tk)F(δ(tk))+FT(δ(tk))P(tk)−P(tk)⋅

H(δ(tk))RH(δ(tk))P(tk)+CQC=0 (24)

−1

T

T

usj/V 400 200 0 −200−400式(24)为一组RICCATI方程，称为RICCATI方程集，其方程个数与PWM调制周期有关，即n=Ts/T，Ts表示工频载波周期，T表示PWM调制周期。由式(20)在APF投入运行前离线计算出n个RICCATI方程的正定解P(tk)，并生成数据表供APF运行时使用。

系统式(21)的线性最优输出反馈控制律为

∗

⎡icak−ilca⎤k⎢∗⎥∆δk=−R−1HT(δ(tk))P(tk)⎢icbk−ilcbk⎥= ⎢∆U⎥

dck⎦⎣

∗

⎡icak−ilca⎤k⎢∗⎥−K(tk)⎢icbk−ilcbk⎥ (25) ⎢∆U⎥

dck⎦⎣

0 0.01 0.02 0.03 0.04 t/s 图5 系统电压波形

Fig. 5 System voltage waveform

400 200 ucj/V 0 uca ucb ucc −200−4000 0.02 0.04 0.06t/s

图6 APF输出电压波形

Fig. 6 Output voltage waveform of APF 80 40 icj/A 0 ica icb icc 5 仿真实验研究

下面对本文构造的三相APF系统模型和所设计的线性最优控制器在Matlab软件环境下进行数字仿真试验验证。载波频率为10 kHz，电路参数

−40 −80 0 0.02 0.04 0.06t/s

rsi=0.5 Ω， Lj=0.3 mH(j=a,b,c)，Cdc=10 000 µF，系电容电压定为Udc0=800 V，统电压为380 V/ 50 Hz，

t=0.02 s时投入APF。非线性负荷取为整流桥带感性负载，系统的谐波电流如表2所示。

表2 谐波电流

Tab. 2 Harmonic current

次数n 5 7 11 13 17 19 电流/A 22.9 10.1 8.0 6.5 5.1 4.3

图7 APF补偿电流波形

Fig.7 Current waveform of APF

0.9 0.6 δ ak δ bk δ ck δ jk 0.3 0 0 200 400 600t/s

在式(24)中取Q=R=I，根据系统参数仿真前需

矩阵F(δ(tk))、H(δ(tk))和P(tk)分别计算出n=200时，

的数值，仿真时通过判断A相电压过零点来对应计

B、C两相补偿电流分别滞后和超前A相算式(25)。

补偿电流120°。仿真时需将指令电流的大小与计算得到的脉宽∆δk先对相再补偿，否则会出现错相导致系统失控。

本例中APF投入控制后效果如图5~12所示。

图6为APF接入系统点其中图5为系统电压波形，

的电压波形，此两电压差产生了APF注入系统的谐波电流；图7为APF注入系统电流波形，通常包括负荷电流iL(t)中的谐波分量和逆变器消耗的有功电流两部分；图8是产生图6所示电压时的脉宽函数示意图；图9、10分别为APF补偿前系统电流的波

图8 三相脉宽函数δk

Fig. 8 Three-phase pulse width function δk

200 100 i1j/A 0 i1ai1b i1c −100−2000 0.01 0.02 0.03 0.04t/s

图9 补偿前系统电流波形

Fig. 9 System current waveform before compensation

第12期

100 80 幅值/% 60 40

李春文等： 三相APF的切换系统建模与二次最优控制 71

ηTHD=27.26%

型对于采用切换系统理论进一步研究其他PWM变

换器具有重要的参考价值。

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20

0

0 6 12 18

谐波次数

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图10 补偿前系统电流频谱

Fig. 10 System current spectrum before compensation

形和频谱，可以看到谐波含量ηTHD达到了27.26%；图11、12分别为经过补偿后的系统电流波形和频谱，可以看到在控制器作用下系统电流ηTHD降为3.86%，波形已基本上和系统电压波形一致。

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图11 补偿后系统电流波形

Fig. 11 System current waveform after compensation

100 80 幅值/% 60 40 20

0

0 6 12 18

谐波次数

ηTHD=3.86%

图12 补偿后系统电流频谱

Fig. 12 System current spectrum after compensation

6 结论

本文根据PWM特点对计及开关动态变化的三相APF进行离散等效处理，通过对平衡流形邻域进行近似线性化得到了以脉宽为控制量的等效模型，并以脉宽为控制量设计了能够实时跟踪补偿指令电流的数字线性二次最优控制器。Matlab仿真实验验证了上述等效模型和控制器的正确性和有效性。

（1）本文构造的三相APF EDSLS相比以前的平均连续线性模型更加精确，动态过程考虑更加全面，物理意义更加明晰。

（2）本文提出的三相APF等效离散切换系统模

72 中 国 电 机 工 程 学 报

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作者简介：

李春文(1957—)，男，教授，博士生导师，当前研究领域为非线性系统分析与控制、电力系统控制、网络控制与运动控制等；

汤洪海(1975—)，男，博士研究生，研究方向为电力电子与灵活电力系统、电能质量分析与治理、电力系统非线性控制，shh01@mails.tsinghua.edu.cn；

郑雪生(1979—)，女，博士研究生，研究方向为电能质量分析与治理、电力系统非线性控制；

戎袁杰(1981—)，男，博士研究生，研究方向为电力电子与灵活电力系统、电能质量分析与治理。

(编辑 王彦骏)