例5-1 有一直径为15cm的输，管长5m，管中要通过的流量为0.18m/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输两端的压差应为多少（用油柱高表示）？
解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等
2
3
由于dp=dm ，故上式可写成
2
2
或
将已知条件νp= 0.13cm/s ， νm= 0.0131cm/s代入上式，得
3
即当模型中流量Qm为0.0181m/s时，原型与模型相似。
（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足
，则原型输的压强差为
已知
也可以写成
这里，引入了Ap=Am (dp=dm )及gp=gm 。所以，5m长输的压差油柱为
例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？ 解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。即
由于
所以
由于gp=gm ，故上式可写成
或
2
例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为 20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm/s ，长度比
λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）
各项比例的计算。
解（1）油自流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。 （2）
2
由于n正好等于0.0925cm/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.02cm/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。于是模型液体的运动粘度应为νm=0.02cm/s，而不再是0.0925cm/s了。
2
2
2
（3）模型流体选好后，由于所选择的νm不再等于0.0925cm/s ，所以对长度比λL应
2
进行修正
即长度比λL应为4.1，而不是4。因此模型油罐的直径为
流速比λv按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）；
从而知道模型内的流速大致为原型中的一半。
时间比λt按雷诺准则求得
加速度比λa
例5-4、确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式
(录像1-圆柱绕流yanzhull1)
解：单位长度所受的阻力FD=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U： 依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为 FD=kDx Uyρz μa 应用[M-L-T]制，并代入相应的量纲
[ML0T-2]=[L] x [LT-1 ]y [ML-3 ]z [ML-1 T -1 ]a 为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此 M:1=z+a L: 0=x+y-3z-a T:-2=-y-a 得 x=1-a，y=2-a，z=1-a 故 FD=kD1-a U2-aρ1-aμa
或
例5-5、 确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
解 影响τ0的影响因素有液体的密度ρ，液体的动力粘度μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为
写出量纲关系式为
排列量纲和谐方程求各指数。
联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。 将各指数值代入函数关系式中得 整理得
令
式中λ——系数，由实验确定。 所以
例5-6：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速υ ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形式。 解：
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。
π1=υx1Dy1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1] 则
L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0 由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：
π2=υx2Dy2ρz2△ π3=υx3Dy3ρz3g 可得：
x2=0， y2=-1，
z2=0 x3=-2， y3=1， z3=0
写成π数为：
即 解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例5-7：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。 解：F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4个
对π1：
对π2：
同理得 ：
设
则
例5-8：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L以及大小直径D1,D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。 解：函数式为：
图5-1
选取ρ，Q，D1为基本变量，则存在6-3=3个π数
将π数用量纲表示：
类似地：
并解一个π参数：
即：
例5-9：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。已知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。 解 拟定函数关系式为f（D，υ ，ρ，τ0，μ，△）=0
从各影响因素中选取D（几何量），υ（运动量），ρ（动力量）为基本量建立（6~3 ）π项：
对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解ai，bi ，ci 。
对π1 ：
同理求得
将各π代入得 整理得 令 则
