第２７卷第２期 ２０１Ｏ年０４月 工 程 数 学 学 报 ｖ０ｌ＿２７ Ｎ０．２ Ａｐｒ．２０１０ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ 文章￣－：１００５—３０８５（２０１０）０２—０３５３—０５ 奇异半正Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程边值问题的正解术 （ 、，、， 毛锦秀 ，赵增勤 ，许乃伟 ￡（１一曲阜师范大学数学系，曲阜２７３１６５； ２一山东水利职业学院基础部，日照２７６８２６） 摘要：本文研究超线性Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程的边值问题，其中非线性项可变号且 端点处具有奇异 性。利用锥上的不动点指数定理和ｌ甲移变换的方法，我们得到奇异半正边值问题 少存在一个更 广泛意义的 解及正解的性质。本文考虑的是一般形式的方程和边值条件，改进’ｒ之前的结果。 关键词：奇异半正边值问题；正解；锥 ㈣ ， 舯卿 ｐ卜 ，． 分类号：ＡＭＳ（２０００）３４Ｂ１５ 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ ： ｆ Ｉ０ ｔ ＋㈣ ＝ Ｉ Ｉ０ ￡ １ 引言 本文研究如下微分方程边值问题 （１） 的正解，其中ｆ∈ （（０，１）×【０，＋∞），【０，＋∞）），ｇ∈ｃ（（０，１）Ｘ ｆ０，＋∞），（一。。，＋∞））。 文献ｆ１１中研究了不具奇异性的非线性半正边值问题，应用锥上的不动点定理得出方程有正 解。最近，在文献【２１中，赵通过范数形式的锥拉伸压缩不动点定理，得到方程的 ［０，１】正 解。然而，文献『１】中考虑非线性项可变号，但没有考虑非线性项是奇异的和 【０，１】正解。文 献【２】考虑了奇异和 【０，１】正解，但没有考虑非线性项可变号。故边值问题（１）是文献［１］和文 献ｆ２］的直接推广。已有的研究半正的文章，见文献【３—１１］。 受上述工作的启发，本文研究半正边值问题（１），并且考虑一般形式的方程和边值条件，更 具有普遍性。应用锥上的不动点指数定理和平移变换，得到了 ，１］正解存在的结论。 我们列出本文使用的假设。 （ ）Ｐ∈Ｃ （（０，１），（０，＋。。）），且 １ －ｐ￣ｓ）ｄｓ＜＋。。 （ ）对任意ｔ∈（０，１），Ｕ∈ｆ０，＋∞），存在函数ｑ∈ （（０，１），【０，＋∞））使得 Ｉｇ（ｔ，乱）Ｉ 口（￡）． 收稿日期：２００７—１１—２７．作者简介：毛锦秀（１９８２年５月生），女，博士．研究方向：非线性泛函 基金项目：国家自然科学基金（１０８７１１１６）高教博士点专项科研基金（２００８０４４６０００１）． 工 程 数 学 学 报 第２７卷 ０，１）一（０，＋。ｏ），ｈ：（０，＋∞）一（０，＋∞），使得ｆ（ｔ， ） （日３） 存在连续函数 ：（且 ＠） （乱）， ｌｉｍ ｕ－＋Ｏ Ｕ ：０， １ｉｍ 口—＋－ｔ－。。 Ｕ ：＋∞， 在（０，１）的任意闭子区间上一致成立。 （日４）令 ＝ｍｍ）１一ｒｌ－两，ｒ２ｌｃ １Ｊ，， ｍａｘｏ＜ｔ＜１ 一Ｅ＝（ ）～． 型：０ ｒｌ，有 ｒ】为由（Ｈａ）中 １ｉｍ 可知，对 ＞０，存在ｒ１＞０，对任意的０＜ ｆ（ｔ，乱）≤瓦Ｕ， ＝ｍｏｔ＜％ｆｏ ａ（ｔ，ｓ）ｄｓ・ 南ｍａｘ ｈ（ｒ）＋２＞／ｏ Ｇ 其中ａ（ｔ，ｓ）是相应于边值问题（１）的线性问题的Ｇｒｅｅｎ函数。 Ｅ＝））ｄ （ 丽ｄＴ）～． 若函数 （ ）∈ｃ［ｏ，ｌ】ＵＣ。（０，１）满足边值问题（１），则称乱（ ）为边值问题（１）的解。若 解 （￡）使得．１ ．ｐ（￡） ）与．１ｉｍ ｐ（ｔ）ｕ ）都存在有限，则称为 ［０，］解。若解ｕ（１ ￡）在（，１０ ）ｔ—｝Ｕ十 ｔ～一 。 上恒正，则称为正解。 注１若在边界条件中 ≠０，且 ≠０时，则（１）的解必是Ｇ Ｉｏ，１】解。当 ＝０，或 者 ＝０时，（１）的解不一定是 ［０，１】解。 ｍｐ（注２显然，当１ｉ ）乱 ）存在有限时，ｔ １ｉｍｏ＋札 ）不一定存在，同理，当 ｌｉａｒ１ｐ（ｔ） （ｔ） ｔ ０＋一存在有限时， ｌｉｍ乱 ）不一定存在，从而ｃ 【０，１】解是依赖于ｐ（￡）的更广泛意义的解。 １一当ｐ（￡）在ｔ＝０，ｔ：１点极限存在非零时， 【０，１】解是一般ｃ ［０，１］解的意义。 本文的主要结果如下。 定理１若（ １）一（／－／４）成立，那么奇异超线性半正边值问题ｆ１）至少有一个Ｇ ｆ０，１】ｉＥｉ￣－ｕｏ， 且存在常数ｋ＞０，使得 ０ ）＞ｋＧ（ｔ，ｔ），ｔ∈ｆ０，１１。 ２ 定理的证明 令 ：Ｃ［Ｏ， 】，定义Ｉ ＩＩ１ 置嚣】１ （ ）ｆ，令Ｑ＝｛札∈ ｌ札（ ） ￡１ｆ札ｌ１Ｇ（ ， ）， ∈【０， 】）。 我们要用到函数 ＋＝ 第２期 毛锦秀等：奇异半正Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程边值问题的正解 ３５５ 由（日４）可知 ）＝ Ｇ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ ｌＧ 咖（ｓ）ｄｓ＜＋ｏ。， 显然， （ｔ）是边值问题（１）当非线性项为ｑ（ｔ）时的解。易知，ｘ（ｔ）为ｃ ［０，１】正解。 另外，对固定的 （￡）∈Ｑ，不妨设Ⅳ 。ｍ ａｘ ｕ（ｔ），则 （ｓ）一 （ｓ）ｊ＋≤ （ｓ） ｌｌ 『Ｉ Ⅳ。 定义算子 如下 Ａｕ（ｔ）＝／Ｇ（ ，ｓ）［ｙ（ｓ，【 （ｓ）一 （８）］＋）＋ｇ（ｓ，［ｕ（ｓ）一 （ｓ）ｈ．）＋ｑ（ｓ）］ｄｓ，０ ￡ １． Ｊ０ 若 （￡）为算子Ａ的正不动点，即 （￡）＝Ａｕ（ｔ），简单计算有 －（ｐ（ｔ）ｕ （￡）） ＝ｆ（ｔ，【ｕ（ｔ）一 （ｔ）】＋）＋ｇ（ｔ，ｆｕ（ｔ）一 （￡）】＋）＋ｇ（ｔ）， （２） （３） （０）一 ｎ＋ｐ（ｔ）乱 ）：０， ７ （１）＋ ｔ ｌｉｍ ｐ（ｔ）ｕ （￡）＝０・ 一故若（Ｈ１）一（ ）成立，则算子 在ｅｌ０，１】中的正不动点必为（２），（３）的正解。 １）首先易证算子 映Ｑ到Ｑ，且为全连续算子。 ２）其次，令Ｑ ：｛ ∈Ｑ ｌ ＩＩ钆ｌｌ＜ｒｌ｝。我们证ｉ（Ａ，ｑ Ｑ）＝１。事实上，对任意 的０＜ Ｔ１，有ｆ（ｔ，Ｕ） 羞。则由（ｔＩ４）可知，对任意的ｕ∈ Ｑｒ ， Ｉ 煅ｌ＜２ｍ１Ｇ（￡，ｓ）（瓦１［ （ｓ）一 （ｓ）］＋＋２口（８））ｄｓ １Ｇ ａｘ Ｇ ｔ） １ ｑ（ｓ）ｄｓ＋ｊｒｉ 。（ｔ＜ｓ）ｄｓ ＜≥＋≥＝一 ． 故对任意的Ｕ∈ａＱ ≥１，有Ａ ≠ ，则由不动点指数的性质知ｉ（Ａ，Ｑ Ｑ）＝１。 ３）再证存在常数Ｒ＞ｒｌ，使ｉ（Ａ，Ｑ月，Ｑ）＝０。选取［ ， 】∈（０，１），取 Ｍ＞２ 鼹 Ｇ ｓ）ｄｓｒ． 瑚 ）， 由（１１３）知，存在常数Ｒ１＞７＂１，使ｆ（ｔ，钆） Ｍｕ，ｔ∈【 ， 】，乱 Ｒ１。令 Ｒ≥ｍａｘ｛ 显然Ｒ＞Ｒ１＞ｒｌ，下证ｕ Ａｕ， ∈ ＱＲ。 事实上，若 然，则存在Ｙ１∈Ｑ冠使Ｙｌ Ａ １，因为ｙｌ（ｔ） ￣ｌｌｙｌＩＩａ（ｔ，ｔ）＝￣ｎＧ（ｔ， ）。而 ）＝ Ｇ ｓ）ｑ（ｓ）ｄｓ＜Ｇ ｔ） ｓ）ｄｓ １㈣ ｓ）ｄｓ， （５） 工 程 数 学 学 报 第２７卷 故 （￡）一 （￡） １一百ｆｄｑ（ｓ）ｄｓ） （ｔ） ｆＧ ｔ）≥丢ＥＲｖ（１一 ）≥ ｔ Ｅ［１２￣０２］． Ｒ １ ） ／Ｇ（￡，ｓ），（ｓ，（ １（ｓ）一ｚ（ｓ）））ｄｓ ／Ｇ＠，Ｇ＠， ｓ）Ｍ［ｙｌ（ｓ）一ｘ（）一 ｓ）］ｄｓ ￣ ｃＲｙ（１一 ）一 ）Ｍ Ｇ（Ｍ／Ｇ（ｔ， ｓ）ｄｓ，Ｖ ，Ｖ∈【，ｔ∈【０，１】． Ｌ， ＿ 从而 Ｍ ２ －－－－） ｍａｘ ｒＩ ＂ａ（ ）ｄｓｒ 这与Ｍ的选取矛盾，所以由不动点指数的性质就有ｉ（Ａ，ＱＲ，Ｑ）＝０。 ４）最后，由不动点指数的可加性知ｉ（Ａ，ＱＲ＼Ｑ Ｑ）＝一１。所以 在ＱＲ＼Ｑ 上至少有 个不动点ｚ（ｔ）且满足ｒｌ ＩＩｚｌｆ Ｒ。 因为ｚ（ｔ）≥ＥＩＩｚｌｌＶ（ｔ，ｔ）≥ｓｒｌＧ（ｔ，ｔ），同（５）式，￣，ｆｒ］－ｆｚ（ｔ）一ｘ（ｔ）≥ （￡）≥０，故ｚ（ｔ）满 足（２），（３）且［ｚ（ｔ）一 （ｔ）】＋：ｚ（ｔ）一 （ ）。易证，ｚ（ｔ）是ｃ 【０，１】解。令 一。（ｔ）＝ｚ ）一 ＠） 昙 （ ） ａ（ｔ，￡）＝ｋＧ（ｔ，ｔ）， ∈（０，１）． 因为（ｐ（￡）２ （ｔ）） ＝（ｐ（ｔ） ６（≠）） ＋口（ｔ），因此ｕｏ（ｔ）因为ｘ（ｔ）和ｚ（ｔ）均为ｃ：［０，１】正解， ｕｏ（ｔ）是 边值问题（１）一个ｃ：［０，１】正解。证毕。 注３ Ｎｐ（ｔ）＝１时，Ｇ ［０，１］正解即为Ｃ ［０，１】正解。 最后我们给出本文定理的一个简单应用。 例考虑下述奇异半正边值问题 ，，（ 一 ｃｔａ ０＜ Ｌ （６） ． 【ｕ（０）＝ （１）＝０・ Ｇｒｅｅｎ函数 Ｇ（ ，ｓ）：｛【 一ｓ）＇ ０ ｓ １’ ８（１一 ），０ ｓ ｔ １， ， ） ｍＴｒ由 ） 丽 １ ， ２：）＝ 。， ＝１， ｒｌ・ ｌｉｍ ０ 可知，对 ＞０，存在ｒｌ＞０，对任意的０＜Ｕ ｒ１有 丽 瓦Ｕ， ＝躐 ）ｓ）ａｓ－ 第２期 毛锦秀等：奇异半正Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ方程边值问题的正解 ３５７ … 我们取ｍ＜且２７ｒ，则 ｑ（ｔ）ｄｔ＝ｍ丌＜ ，同时 ∞ （ ）＋ ））＝＿１＋ ２ｍｌｒ＜ ｍａｘｏ＜７一．≤∈ｈ（Ｔ）＋２’ 这样条件（ １一日４）皆满足。根据本文定理１，Ｓ１．ｐ（ｔ）＝１，故边值问题（６）至少有一个Ｃ ［０，１】 正解。 参考文献： Ｍａ Ｒ，Ｗａｎｇ Ｒ，Ｒｅｎ Ｌ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｓｅｍｉｐｏｓｉｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｃｉ， ２００１，２１Ｂ：１８９－１９５ Ｚｈａｏ Ｚ Ｑ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｉｎｃｏｍｐａｒａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒ— ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ａｐｐｌ Ｓｉｎｉ，２００６，２９（５）：９２１—９３２ Ａｒｉｓ Ｒ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｒｅａｃｔｏｒｓ［Ｍ］．Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｓ，ＮＪ：Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ，１９６５ Ａｇａｒｗａｌ Ｒ Ｐ，Ｏ’Ｒｅｇａｎ Ｄ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉ—ｐｏｓｉｔｏｎｅ ｐｒｏｂ－ ｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，１９９９，３６：６１５—６２２ Ａｎｕｒａｄｈａ Ｖ，Ｈａｉ Ｄ Ｄ，Ｓｈｉｖａｊｉ Ｒ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ ｓｅｍｉ—ｐｏｓｉｔｏｎｅ ＢＶＰ’ｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９６，１２４：７５７—７６４ Ｘｕ Ｘ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉ—ｐｏｓｉｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００２， ２７３：４８０－４９１ Ｘｕ Ｘ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉ—ｐｏｓｉｔｏｎｅ ｔｈｒｅｅ ｐｏｉｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２００７，６６：７９１—８０５ Ｌｉａｎ Ｈ，Ｇｅ Ｗ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｎ ｔｈｅ ｈａｌｆ－ ｌｉｎｅ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００６，３２１：７８１—７９２ Ｌｉｕ Ｙ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉｐｏｓｉｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｃｉ，２００５，２５Ａ（３）： ３０７－３１４ Ｚｈａｎｇ Ｘ，Ｚｏｕ Ｈ，Ｌｉｕ Ｌ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｍ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｓｉｇｎ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ［Ｊ】．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｌｅｔｔ，２００７，２０：６２９－６３６ Ｚｈａｎｇ Ｘ，Ｌｉｕ Ｌ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ ｓｅｍｉｐｏｓｉｔｏｎｅ ｓｉｎｇｕｌｒａ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂ－ ｌｅｍｓ［Ｊ１．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００６，３１６：５２５—５３７ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｅｍｉ－ｐｏｓｉｔｏｎｅ Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ＭＡＯ Ｊｉｎ—ｘｉｕ ，ＺＨＡＯ Ｚｅｎｇ－ｑｉｎ ，ＸＵ Ｎａｉ．ｗｅｉ。 （１－Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｕｆｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｕｆｕ ２７３１６５； ２・Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｒｉｚｈａｏ ２７６８２６） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｕｐｅｒ・ｌｉｎｅａｒ Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｍａｙ ｃｈａｎｇｅ ｓｉｇｎ ａｎｄ ｍａｙ ｂｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄｐｏｉｎｔｓ． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ ｂｒｏａｄｅｒ ｓｅｎｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉ—ｐｏｓｉｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｉｎｄｅｘ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ａ ｃｏｎｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ＳＯ ｔｈｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｍｉ・ｐｏｓｉｔｏｎｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｏｎｅ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：２７ Ｎｏｖ ２００７． Ａｃｃｅｐｔｅｄ：１４ Ａｐｒ ２００８． Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（１０８７１１１６）；ｔｈｅ Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｐｒｏｇｒａｍ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（２Ｏ０８０４４６０００１）．
