２００８年第１０卷第６期 巢湖学院学报 Ｎ０．６一Ｖｏ１．１０．２ｏｏ８ 总第９３期 Ｊｏｕｍａｌ ０ｆ Ｃｈａ０ｈｕ Ｃｏ１ｌｅｇｅ Ｇｅｎｅｍｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｎｏ．９３ 一类非线性振动方程解的研究 何敏朱诵文王其申 （安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆２４６０ｌ１） 摘要：本文探讨一类非线性振动方程的解法。参考文献［１】给出的非线性微分方程属于一维 的情况，在假定势能函数对平衡位置是对称的情况下，采用逐步近似法求解了方程，给出三 次谐波项的系数。本文在此基础上用这种方法求解五次谐波项的系数，并以此为例说明可以 继续求解更高阶奇次谐波项的系数从而得到更精确的解。 关键词：非线性振动方程．逐次近似解法 中图分类号：Ｏ２４１．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２８６８（２００８）０６一ｏ０２７—０３ １引言 本文所研究的非线性振动微分方程为【 】： ，ｎ— ｄ ｝＝— 一０ｃ，，ｌ ２一 ， ’ （１一１） 说明ｌ：如果势能函数对平衡位置是对称的，则 ＝Ｏ。方程变为： ｍ 一 （１—２） 说明２：方程的解为 ： （ｔ）：∑Ａ ｃｏｓ ｔ，由于非线性项正比于 ，对正负是对称的，所以谐波中 不会出现偶次谐频的谐波【 ，即Ａ ０，（ ＝２，４，６）。因而谐波中前几项是三次的、五次的、等等。 在参考文献【１】中，已经求得方程（１—２）的解为 ＝Ａｃ。ｓｎＪ‘＋ 主等ｃ。ｓ３ ￡ （２—１） 参考文献（ 认为。用逐次近似法无法求下一级近似解。本文通过讨论认为可以用逐次近似法求解五 次谐波项。即： ＝Ａｃｏ ｔ＋ ｃｏ ｔ＋ＸＡｃｏｓ５∞ｆ （２—２） 式中＇７＜＜１，ｘ＜＜１其中参考文献［１］给出了三次谐波项的系数７７＝筹Ｊ厶Ｕ，ｎ 。本文求解五次谐波项的系数ｘ， 这样对解的精度要求显然更高。 ２逐次近似法的具体求解过程 方程（１—２）可以变形为 收稿日期：２ｏｏ８—０８—３Ｏ 作者简介：何敏（１９７５一），男，安徽巢湖人。安庆师范学院数学与计算科学学院研究生。 ：一土 一麟 ｍ （１—３） ｄ 其中 ＝ ２０，ｃ￡，。为简谐振动的圆频率。 ２．１要使用的数学公式： ２．１．１代数多项式运算公式 （口＋６＋ｃ） ＝ ＋６ ＋ｃ ＋３ ＋３ｎ６ ＋３６ ｃ＋３６ｃ ＋３（ ＋３ｃｚｃ ＋６ａ６ｃ 其中口＝Ａｃｏ ｔ，６＝ ｃｏｓ３ ｔ，和ｃ＝ＸＡｃｏｓ５ ，６和ｃ中分别含有无穷小量叼和ｘ。 在上式中忽略高阶无穷小量矿，ｘ。，叼 ，叼２Ｘ，７７ｘ ，ｘ ，叼ｘ，得：（叶６＋ｃ） ＝＋３ ＋３ （Ａｃｏｓ ￡＋７ ｃｏｓ３∞ｔ＋ｘＡｃｏｓ５∞ｔ） ｃｏｓ３∞ｔ＋３ ｃ０ｓ５ ｔ） ＸＡｃｏｓ５∞￡ ＋ｃｏｓ ＋３ ３ｃｏｓ： ｃ０ｓ３ ￡＋３Ｘ以 ｃｏｓ ｃｏｓ５ ≈（Ａｃｏ ｔ）。＋３ ｃｏ蚴ｔ） ＝ 即 ＝（Ａｃｏ鲫￡＋ ｃｏｓ３∞ｔ＋ＸＡｃｏｓ５∞￡） Ａ ｃｏｓ ￡＋３ ３ｃｏｓ ｃｏｓ３∞￡＋３ＸＡ ｏｓ ｃｏｓ５∞￡ （３） ２．１．２三角函数公式 ｃｏｓ３ ＝４ ｃｏｓ 一３ｃｏ ｃｏｓ ＝（４） （５） （６） 寻…＋｛ｃｏｓ３ ｃｏｓ ｃ０ｓ３ ＝｛［ｃｏ麟＋２ｃｏｓ３ ＋ｃｏｓ５ 】 ｃｏｓ ｃ０ｓ５ 专［ｃｏｓ３ ２ｃ０ｓ５ ｃ０ｓ７ ］ ２．２解法 — （７） ｄ ｝＝．Ａ ２‘ ｃ０ｓ∞ｔ一９ｃｃＪ ｃｏｓ３ 一２５ｃ【Ｊ ｘＡ ｃｏｓ５ （１＋ ） ２０，则方程 其中， ＝ 。＋跏。＝（１硒） ０，式中６＜＜１，忽略二级以上小量， ＝（１ ） （１—３）左端求导 ｝＝ （１＋ ） 。蚴ｆ一９（１＋ ）∞ ｃ。ｓ３∞￡一２５（１＋ ） ＝— ｃ０ ￡一２ 一 ｃ。ｓ５ ￡ ｃｏ蚴ｔ一９∞２０ ｃｏｓ３ 一１ ８ ２０ ｃ０ｓ３ 一２５ ２０ＸＡ ｃｏｓ５ 一５０ ２０ＸＡ ｃｏｓ５ ￡ ｃｏ洲￡一２跏 ｃｏ 一９ Ａ ｃｏｓ３∞ｔ一２ ２０ｘＡ ｃｏｓ５ ｔ 上式中忽略了高阶无穷小量卸和６ｘ项。 方程（１—３）右端 一— 一 ， ＝一ｃＤ ｏ［Ａ ｃｏｓｃＤｚ＋ ，４ ｃ０ｓ３ Ｄ￡＋ｘＡ ｃｏｓ５ｃ ］＋［＿ （Ａ ｃｏｓｃ ｔ＋７ ｃｏｓ３ ｆ＋ｘＡ ｃｏｓ５ ￡） ］ ≈一 ０［Ａ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ３ ￡＋ｘ ｃｏｓ５∞￡］ 一 【Ａ ｃｏｓ ￡＋３ ，４ ｃｏｓ： ｃ０ｓ３６ ＋３Ｘ４。ｃｏｓ ￡ｃｏｓ５ ，￡］ ２０ ｃｏ洲￡＋ ｃｏｓ３ ＋ ｃｏｓ５ ＝一 一 （÷ｃ。ｓ∞ ＋丢ｃ。ｓ３ ）十３ ÷（ｃ。鲫 ＋２ｃ。ｓ３∞ ＋ｃ。ｓ５∞￡） ＋３ ÷（ｃｏｓ３ ＋２ｃｏｓ５ ＋ｃ０ｓ７∞ ）】 其中使用了（３）式、（５）式、（６）式、（７）式的结果。 将左端和右端相等，并合并同类项有 ２８ 【（１＋ ）∞‘０ Ｊｃｏｓ∞ ＋【 ‘ Ｊｃｏｓ＿ｊ ＋【ｚ ‘０）（Ｊｃｏｓ ２０［ｃ。驯 ＋ ｃ。ｓ３ Ｈ ｘｃ。ｓ５ ＋ （÷ｃ。 ￡＋｛ｃ。ｓ３ ￡） ＋３ ÷（ｃ。 ｚ＋２ｃ。ｓ３∞ ＋ｃ。ｓ５ ）＋３ＸＡ 丢（ｃ。ｓ３（ｃＪ ＋２ｃ。ｓ５ ＋ｃ。ｓ７∞ ）】 ＝【 ＋寻 ＋寻 】ｃ０鲫 ＋［ ＋｛ 丢 ＋寻ｘ 】ｃ。ｓ３∞ｔ ＝ ＋［ ｚ０＋｝ ＋吾 ２］ｃ。ｓ５ 根据参考文献［１］， ＝ ，在这里把它看成已知量，叼＜＜１，即 ＜＜１。式中忽略了ｃｏｓ７ 项， ｊＺ ｊ ．ｎ 这里把它的系数ｘ妻 看成高阶无穷小量。＾＾，ｎ 下面分别对ｃｏ鲫ｆ．ｃｏｓ３ ￡．ｃｏｓ５ ｔ项比较系数．得关于变量占．钾．Ｙ三元一次方程组： （１＋ ） ２０＝ ＋寻 ＋寻７７ （８—１） ９＇７ ２０＝ ２０＋丢 。＋寻叼 ＋寻ｘ鲥 （８—２） ２５ｘ ２０＝ ２０＋丢叼 ＋吾ｘ （８—３） 即 ２０＝（寻 ＋寻 Ａ ６＝ ８叼 ＝（÷占＋寻 ＋寻ｘ占）Ａ 解得 ，７： ７ （９） ２４ ２０＝（丢叼 ＋寻 ）Ａ ｘ 这个方程组的求解与初等代数中三元一次方程组的求解有所不同，方程的分量式不是严格相等的。 ３归纳和总结 本文采用的近似计算中，在解方程组之前，代数式的化简部分，全都是忽略二阶、三阶等高阶无穷 小量，所以是比较严格的。 仿照本文的做法，可以继续求解ｃ０ｓ（２儿＋１） ￡（ｎ＝３，４，…）的系数（远远小于１），只是按照数学归纳 法，方程组中方程的个数依次变为ｎ＋１个，包括６，２ｎ＋１（ １，２，…）次谐波项的系数（ ，Ｘ，…）。本文不再详 细探讨。用逐次近似解法，由于级次的升高、变量的增加和方程组方程个数的增加，过程变得越来越复杂。 参考文献： ［１］孙国耀，黄适本．非线性振动方程的格林函数解【Ｊ］．中山大学学报（自然科学版），２ｏｏ３，４２：ｌ６５一ｌ６７ ［２】ＨＡＵＳＥＲ Ｗ．Ｉｎｔｌ＿０ｄｕｃｔｉ０ｎ ｔ０ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ０ｆ ｍｅｃｈａｎｉｃ［Ｍ】．１９７８． ＲＥＳＥＡＲＣＨ ｏＮ ＴＨＥ ＳｏＬＵＴＩＯＮ ＯＦ ｏＮＥ ｌ【ＩＮＤ ｏＦ ＮｏＮＬＤ’『ＥＡＲ ＯＳＣＩＬＬＡＴＩｏＮ ＥＱＵＡＴＩＯＮ ＨＥ Ｍｉｎ ＺＨＵ Ｓ０ｎｇ—ｗｅｎ ＷＡＮＧ Ｑｉ—ｓｈｅｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ０ｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａ１ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｎ０ｒｒｎａｌ Ｃ０ｌｌｅｇｅ，Ａｎｑｉｎｇ Ａｎｈｕｉ ２４６０５２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｌｌｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔ｜ｌｅ ｓ０ｌｕｔｉ０ｎ ｏｆ ｏｎｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｎ０ｎｌｉｎｅａｒ ０ｓｃｉｌ１ａｔｉ０ｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ０ｎｅ ｇｉｖｅ ａ ｎｏｎ１ｉｎｅａｒ ｄｉｆｌｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｃ０ｎｄｉｔｉｏｎ ０ｆ ０ｎｅ ｄｊｍｅｎｓｉｏｎ． Ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔＩｌａｔ ｐ０ｔｅｎｔｉａ１ ｅｎｅｒｇｙ ｆｕｎｃｔｉ０ｎ ｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａ１ ｔｏ ｂａｌａｎｃｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｗｅ ｕｓｅｄ ｓｔｅｐ印ｐｒ０ｘｉｍａｔｉ０ｎ ｓ０ｌｕｔｊｏｎ ｔ０ ｓ０１ｖｅ ｔ｝ｌｅ ｅｑｕａｔｊｏｎ ａｎｄ ｇｅｔ ｔｌ１ｅ ｃｏｅｍｃｉｅｎｔ ０ｆ ｔｌｌｅ ｔｌｌ ｃｅ ｈａｍ０ｎｉｃ ｔｅｒｒｎ．Ｏｎ ｔｌｌｉｓ ｆ０ｕｎｄａ ｏｎ ｗｅ ｃ０ｎｔｉｎｕｅｄ ｔ０ ｕ８ｅ出ｅ ｍｅｍｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔ｝ｌｅ ｃｏｅｍｃｉｅｎｔ ０ｆ ｔｈｅ ｑｕｉｎｔｉｃ ｈａｍｏｎｉｃ ｔｅｎｎ ａｎｄ ｕｓｅｄ山ｉｓ ｅｘｅｍｐｌｅ ｔ０ ｅｘｐ１ａｉｎ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｃ０ｎｔｉｎｕｅ ｔｏ ｓ０１ｖｅ山ｅ ｃ０ｅｍｃｉｅｎｔ ０ｆ ｈｉ 一１ｅｖｅ１ ｈａｍ０ｎｉｃ ｔｅｎｎ，ｔｌｌｅｒｅｂｙ ｗｅ ｃａｎ ｇａｉｎ ｍｏｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｓ０１ｕｔｉ ． １【ｅｙ ｗ０ｒｄｓ：ｎ０ｎｌｉｎｅａｒ ０ｓｃｉｌ１ａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉ０ｎ； ｓｔｅｐ ａｐｐｒ０ｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉ０ｎ 责任编辑：宏彬 ２９
