非线性中立双曲型偏微分方程的振动准则

２００７年１月　安徽大学学报（自然科学版）　Ｊａｎｕａｒｙ　２００７　第３ｌ卷第１期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｖｏｌ＿３ｌ　Ｎｏ．１　非线性中立双曲型偏微分方程的振动准则　罗李平　，彭白玉　，欧阳自根　（１．衡阳师范学院数学系，湖南衡阳４２１００８；２．南华大学数学系，湖南衡阳４２１００１）　摘要：考虑一类非线性中立双曲型时滞偏泛函微分方程的振动性，利用Ｇｒｅｅｎ定理和广义Ｒｉｃｃａｔｉ变　换获得了这类方程在两类不同边值条件下所有解振动的若干充分判据．所得结论充分表明振动是由时　滞量引起的，同时也揭示了其与普通双曲型偏微分方程质的差异．　关键词：非线性；中立型；时滞双曲型方程；振动性；广义Ｒｉｃｃａｔｉ变换　中图分类号：０１７５．２９　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—２１６２（２００７）Ｏ１—０００５—０４　近年来，对于应用相当广泛的时滞和中立型偏泛函微分方程解的振动理论的研究已有一些很好的　结果－卜　．本文将讨论下列一类特殊的非线性中立双曲型时滞偏泛函微分方程（１）在边值条件（２）及　非线性边值条件（３）下解的振动性质，获得了其所有解振动的充分条件．所得结果充分表明了时滞量　的决定性作用，同时也揭示了其与普通双曲型偏微分方程质的差异．　Ｏ－［Ｍ（　，￡）＋∑Ｐｉ（￡）Ｍ（　，￡一　（￡））］＝　０（￡）　（Ｍ）△Ｍ（　，￡）＋∑　（￡）　（Ｍ（　，ｔ一　（￡）））△Ｍ（　，ｔ一　（￡））一　∑６　（　，￡）　（Ｍ（　，ｔ一　（￡））），（　，￡）∈　ｘ　Ｒ＋兰Ｇ　（１）　Ｏｕ＝０，（　，￡）∈ａ力×Ｒ＋　（２）　Ｏｕ：ｇ（Ｍ，　，￡），（　，￡）∈ａ力×Ｒ＋　（３）　其中，力ｃ　吖是有界区域，ａ力逐片光滑，△ｕ（　＝耋　，Ｒ＋＝［。，∞），ｇ（ｕ，　连续．　本文总假定下列条件成立：　（／４　）。（￡），ａｊ（ｔ）∈ｃ（Ｒ＋，Ｒ＋），６　（　，￡）∈ｃ（ｏ　ｘ　Ｒ＋），６　（￡）＝ｍ　ｉｎ｛６　（　，￡）｝，ｐ　（　）∈ｃ　（Ｒ＋，　ｎＲ＋），且∑Ｐｉ（￡）≤１，ｉ∈　＝｛１，２，…，ｓ｝，　∈，　＝｛１，２，…，ｍ｝，　∈　＝｛１，２，…，ｎ｝；　（Ｈ２）　（￡），　（￡），Ｏ＂ｋ（￡）∈Ｃ（Ｒ＋，Ｒ＋），０＜　（￡）＜￡，　（￡）≤￡，　（￡）≤￡，　（￡）≤１，且　ｌｉｍ　（ｔ—　（ｔ））＝ｌｉａｒ（ｔ—Ｊｒ，（ｔ））＝ｌｉａｒ（ｔ一　（ｔ））＝∞，ｉ∈　，Ｊ∈Ｉｍ，　∈，　；　卜＋∞　卜＋∞　（　）　（　），　（　）　（　）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ），且对ｕ≠０有　≥ｃ　＝ｅｏｎｓｔ．＞０；ｕ　（ｕ）≥０；　ｕ　ｕ）≥０，　∈，ｍ，　∈，　一　定义　问题（１）、（２）（或（１）、（３））的古典解ｕ（　，ｔ）∈Ｃ　（Ｇ）ｎ　Ｃ　（Ｇ），若对任意的Ｖ　＞０，　３（　，ｔ。）∈力Ｘ［　，∞），使得ｕ（　，ｔ。）＝０，则称其在Ｇ内是振动的；否则称为非振动的．　以下是本文的基本定理：　收稿日期：２００６—０５—２６　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０４７１０８６）　作者简介：罗李平（１９６４一），男，湖南耒阳市人，衡阳师范学院副教授　维普资讯 http://www.cqvip.com

６　安徽大学学报（自然科学版）　第３１卷　定理１若存在函数　（ｔ）∈Ｃ　（［ｔ。，∞），Ｒ＋），使得　｛　（　）６　（　）ｃ　［１一塞ｐ　（　一　（　））］一　＿＿　）ｄ　＝∞，Ｉｉ｝∈，ｎ　（４）　则问题（１）、（２）的所有解在Ｇ内是振动的．　证明假设问题（１）、（２）有一个非振动解“（ｚ，ｔ），不失一般性，不妨设“（ｚ，ｔ）＞０，ｔ≥ｔ。，ｔ。为某一　正常数（“（ｚ，￡）＜０的情形，令　ｚ，￡）＝一“（ｚ，￡），可类似证明）．由（　）知，存在￡　≥ｔ。，使得对任意的　（戈，￡）∈　Ｘ［ｔｌ，∞），有“（戈，￡）＞０，“（ｔ一　（￡））　＞０，“（戈，ｔ一　（￡））＞０，“（戈，ｔ—ｏｒ＾（￡））＞０，　∈　，Ｊ∈ｌｍ，Ｉｉ｝∈，　．　将方程（１）两边同时对ｚ在　上积分，有　善［Ｌ“（ｚ，　）　＋塞ｐ。（　）Ｌ“（ｚ，　・　（　））　］＝　ｎ（￡）Ｊ力　（“）△“（ｚ，￡）ｄｚ＋　（￡）Ｊ力　（“（ｚ，￡一　（￡）））△“（ｚ，￡一　（￡））　一　（　）　（“（　（￡）））　，￡≥￡ｔ　（５）　由Ｇｒｅｅｎ公式、边值条件（２）及（Ｈ３），有　Ｌ　）　）　＝　）　ｄ．ｓ一　（“）Ｉｇｒａｄ　ｕｌ　＝　一　（“）Ｉ　ｇｒａｄ“Ｉ　≤０，￡≥　（６）　Ｉ，　ｈｎ　ｊ（“（ｚ，ｔ一下ｆ（ｔ）））△“（ｚ，ｔ一下ｆ（ｔ））ｄ　≤０，Ｊ∈ｌｍ，ｔ≥ｔ１　（７）　其中ｄＳ是ａ　上的面积元素．　由（日　）、（Ｈ３）有　６　（ｘ，ｔ）　（“（ｚ，￡一ｏｒｋ（￡）））ｄ　≥ｂｋ（￡）ｃ＾　“（ｚ，￡一ｏｒｋ（￡））ｄｚ，Ｉｉ｝∈，ｎ，￡≥￡・　（８）　令　（￡）＝Ｊ　“（ｘ，ｔ）　，显然，　（￡）＞０，￡≥￡ｔ．于是由（５）一（８）式可得　［　（￡）＋∑ｐ　（￡）　（ｔ一　（￡））］”＋∑６　（￡）ｃ＾（ｖ（ｔ—ｏｒｋ（￡））≤０，ｔ≥ｔ　（９）　令ｚ（￡）＝　（￡）＋∑Ｐ　（￡）　（ｔ一　（￡）），则根据（　）及（９）式知ｚ（￡）＞０，ｚ（￡）≥　（￡），ｔ≥ｔ　．　由此不难推得Ｚ　（ｔ）＞０，ｔ≥ｔ　．事实上，倘若不然，则必存在ｔ２≥ｔ　，使得Ｚ　（ｔ２）＜０，所以当ｔ≥ｔ２时，　由Ｚ　（￡）单调减少可得Ｚ（￡）一Ｚ（￡２）＝Ｊ　Ｚ　（ｓ）ｄｓ≤ｆ　Ｚ　（￡２）ｄｓ＝Ｚ　（￡２）（￡一￡２）．在此式中，令￡一∞，　可得ｌｉｍＺ（ｔ）：一∞，但这与Ｚ（ｔ）＞０矛盾，故Ｚ　（ｔ）＞０，ｔ≥ｔ　成立．于是由（９）式，有　（￡）＋∑６＾（￡）ｃ＾（ｖ（ｔ—ｏｒｋ（￡））≤０，ｔ≥ｔ１　注意到Ｚ（ｔ）≥Ｖ（ｔ），Ｚ　（ｔ）＞０，ｔ≥ｔ　及（　），由上式可得　０≥Ｚ”（ｔ）＋ｂ　（ｔ）Ｃ＾（Ｖ（ｔ—ｏｒ＾（ｔ））≥　ｚ”（￡）＋６　（￡）ｃ＾［ｚ（ｔ—ｏｒｋ（￡））一∑Ｐ　（￡一ｏｒｋ（￡））ｖ（ｔ—ｏｒｋ（￡）一　（￡））］≥　（￡）＋６＾（￡）ｃ＾［１一∑Ｐ　（￡一ｏｒｋ（￡））］ｚ（￡一ｏｒｋ（￡）），Ｉｉ｝∈，　，ｔ≥ｔ１　（１Ｏ）　令　（￡）＝　，　∈，ｎ，￡≥　则　（￡）＞０，且结合　）≤０及（１０）式，有　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　罗李平，等：非线性中立双曲型偏微分方程的振动准则　７　：　＋　一　！　：　！　墨：Ｚ　（ｔ—ｏ　！二　ｒ＾（￡））！　　二　：　！　≤　：　：＋　【　）　【　）一　ｚ（ｔ一　（￡））。ｚ（ｔ—ｏｒ　（￡））　！　［　：Ｚ　（￡一　＾（￡））　！　３：　！二　：　　！　＜　啪　）ｃ　一　（卜　］＋　一『【　ｚ（￡一　（￡））　一　２　可＿＝＿２　　１Ｊ‘≤　‘　一　啪　）ｃ　一　（ｔ　㈩）］一　∈　对上式从ｔ。到ｔ（≥ｔ。）积分，得　）≤　Ｉ）＿　）ｃ　一　（ｓ　㈤）一　］｝ｄｓ　在上式中，令￡一∞，并结合（４）式可得　（￡）＝一∞，而这与　（￡）＞０矛盾．从而，定理１得证．　推论１若将条件（４）换为微分不等式（９）无最终正解，则定理１的结论仍然成立．　在定理１中，若函数　（ｔ）恒为正常数，则有　推论２若将（４）式换为　Ｉ１　６　（￡）［１一∑Ｐ　（￡一ｏｒｋ（￡））］ｄｔ＝∞，ｋ∈，ｎ　则定理１的结论仍然成立．　定理２若ｕｈ（ｕ）ｇ（ｕ，　，￡）＜０，“　（“）ｇ（“，　，￡）＜０，－『∈ｌｍ，且存在函数　（ｆ）∈Ｃ　（Ｉｔ０，∞），　Ｒ＋），得　ｆ｛｜ｆ，（ｔ）６　（ｔ）ｃ　［１一骞ｐ　（ｔ一　（ｔ））］一　｛　）ｄｔ＝∞，．ｉｃ∈，　（１１）　则问题（１）、（３）的所有解在Ｇ内是振动的．　证明假设问题（１）、（３）有一个非振动解ｕ（ｘ，ｔ），则类似于定理１的证明可知，存在ｔ≥ｔ。，使得对　任意的（　，￡）∈　×［ｔｌ，∞），有ｕ（ｘ，￡）＞０，ｕ（ｘ，ｔ一　（￡））＞０，ｕ（ｘ，ｔ一　（ｆ））＞０，ｕ（ｘ，ｔ—ｏｒ　（￡））　＞０，ｉ∈　∈，ｍ，ｋ∈，ｎ．将方程（１）两边同时对　在　上积分，有　ｄ２［　“（　，￡）　＋　ｐ　（￡）　“（　，￡一　（ｆ））　］＝　口（￡）　（“）△“（　，￡）ｄｘ＋ｙ　（￡）　（“（　，￡一　（￡）））△“（　，￡一　（ｆ））　一　∑ｂ　（ｘ，ｔ）　（“（　，￡＿ｏｒｋ（￡）））ｄｘ，￡≥　（１２）　由Ｇｒｅｅｎ公式、边值条件（３）及（Ｈ３），有　）△ｕ（　）　＝　（“）　ｄ．ｓ—ｈ，（“）ｌｇｒａ　ｄｕＩ　＝　．　Ｊ　ｈ（“）ｇ（ｕ，ｘ，ｔ）ｄＳ—ｈ　（“）Ｉ　ｇｒａｄ“Ｉ　ｄｘ≤０，ｆ≥￡Ｉ　（１３）　（“（　，￡一　（￡）））△“（　，￡一　（￡））ｄ　≤０，－，∈，ｍ，ｆ≥ｔｌ　（１４）　由（Ｈ。）、（　），有　ｂ　（　，￡　（“（　，￡一ｏｒｋ（￡）））ｄｘ≥６　（￡）ｃ　“（　，￡一ｏｒｋ（ｆ））ｄｘ，ｋ∈，ｎ，￡≥￡Ｉ　（　５）　令　（￡）＝　“（ｘ，ｔ）　，显然，　（￡）＞０，￡≥￡　于是由（１２）一（１５）式可得　维普资讯 http://www.cqvip.com

８　安徽大学学报（自然科学版）　第３ｌ卷　［　（￡）＋　ｐ　（￡）　（￡一　（￡））］　＋∑６＾（￡）ｃ　（￡一　（￡））≤０，￡≥￡　（１６）　令ｚ（￡）：　（￡）＋∑ｐ　（￡一　（￡）），则当￡≥￡ｌ时，７ａ　ｚ（ｔ）＞ｏ，Ｚ　（￡）≤ｏ，Ｚ，（￡）＞０，且由（１６）　式，有　Ｚ”（ｔ）＋ｂ　（ｔ）Ｃ　Ｖ（ｔ—ｏｒ　（ｔ））≤０，ｋ∈，　，ｔ≥ｔｌ　以下证明同定理１的后半部分的证明．故略．　推论３若将条件（１　１）换为微分不等式（１６）无最终正解，且定理２中的其他条件成立则定理２　的结论仍然成立．　，在定理２中，若函数　（ｔ）恒为正常数，则有如下推论：　推论４若将（１　１）式换为　．∞　ｃｌ　ｂｋ（￡）［１一∑Ｐ　（￡一　（￡））］ｄ￡＝∞，后∈Ｌ　而定理２中的其他条件不变，则定理２的结论仍然成立．　参考文献：　‘　［１］Ｊｉ　Ｆａｊｕｎ，Ｆｅｎｇ　Ｂｉｎｌｕ，Ｙｕ　Ｙｕａｎｈｏｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｎｅｕｔｒｌａ　Ｔｙｐｅ［Ｊ］．Ａｎｎ　ｏｆ　Ｄｉｆ　Ｅｑｓ，２００３，１９（３）：２８７—２９１．　［２］　Ｌｉｕ　Ｔｉｎｇ，Ｘｉａｏ　Ｌｉ，“ｕ　Ａｎｐｉｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｎｅｕｔｒａｌ　Ｔｙｐｅ［Ｊ］．Ａｎｎ　ｏｆ　Ｄｉｆ　Ｅｑｓ，２００３，１９（３）：３６２—３６７．　［３］　刘安平，何猛省．非线性中立双曲型偏微分方程解的振动性质［Ｊ］．应用数学与力学，２００２，２３（６）：６０４—６１０．　［４］关新平，段广仁，杨军．非线性中立型偏微分方程解的振动性［Ｊ］．哈尔滨工业大学学报，１９９９，３１（１）：４３—４６．　［５］Ｃｈｅｎ　Ｗｅｎｄｅｎｇ，Ｙｕ　Ｙｕａｎｈｏｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｅｒｔａｉｎ　Ｐａｒｔｉｌａ　Ｒｅｔａｒｄｅｄ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｎｎ　ｏｆ　Ｄｉｆ　Ｅｑｓ，　１９９５，１１（１）：２０—２４．　［６］Ｈｅ　Ｍｅｎｇ—ｘｉｎｇ，Ｇａｏ　Ｓｈｕ—ｃｈｕｎ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｄｅｖｉａｔｉｎｇ　ａｒｇｕｍｅｎｔ　［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，１９９３，３８（１）：１Ｏ—ｌ４．　［７］Ｌａｌｌｉ　Ｂ　Ｓ，Ｙｕ　Ｙｕａｎｈｏｎｇ，Ｃｕｉ　Ｂａｏｔｏｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｅｒｔａｉｎ　Ｐａｒｔｉｌａ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｄｅｖｉａｔｉｎｇ　Ａｒｕｍｅｎｔｇｓ　［Ｊ］．Ｂｕｌｌ　Ａｕｓｔｒｌａ　Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ，１９９２，４６（２）：３７３—３８０．　Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＬＵＯ　Ｌｉ－ｐｉｎｇ　，ＰＥＮＧ　Ｂａｉ．ｙｕ　，ＯＵＹＡＮＧ　Ｚｉ．ｇｅｎ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　４２１００８，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ　４２１００１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎｅｕｔｒａｌ　ｄｅｌａｙ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｇｒｅｅｎ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｒｉｃｃａｔｉ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｓｏｍｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｕｃｈ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｔｗｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｃｏｎｄｉ－　ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｕｌｌｙ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｃａｕｓｅｄ　ｂｙ　ｄｅｌａｙ　ａｎｄ　ａｌｓｏ　ｒｅｖｅａｌ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｄｅｌａｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｎｅｕｔｒａｌ；ｄｅｌａｙ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｒｉｃｃａｔｉ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　责任编校：朱夜明