高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题10-2 复数 教师版

练基础

1．（2020·全国高考真题（理））复数A．

复数

1的虚部是（13i）D．310B．

110C．110310【答案】D【解析】因为z

113i13

i，13i(13i)(13i)101013的虚部为.13i104

所以复数z故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i）=（A．–4C．–4i【答案】A【解析】）B．4D．4i(1i)4[(1i)2]2(12ii2)2(2i)24.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z满足(1i)z2，则z（A．1i【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：z故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知z2i，则zzi（A．62i【答案】C【分析】B．42i

C．62i

）D．42i

B．1i

C．1iD．1i

）21i21i2

1i.1i1i1i2利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】2因为z2i，故z2i，故zzi2i22i=4+4i2i2i62i

故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知(1i)2z32i，则z（3A．1i

23

B．1i

2）3C．i

23D．i

2【答案】B【分析】由已知得z【详解】(1i)2z2iz32i，32i

，根据复数除法运算法则，即可求解.2iz

32i(32i)i23i3

1i.2i2ii22故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设2zz3zz46i，则z（A．12i【答案】C【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi，则2zz3zz4a6bi46i，B．12i

C．1i

）D．1i4a4所以，，解得ab1，因此，z1i.6b6

故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设iz43i，则z（A．–34i【答案】C【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】B．34i

C．34i

）D．34i

由题意可得：z故选：C.43i43ii4i3

34i.2ii18．（2021·浙江·高考真题）已知aR，1aii3i，(i为虚数单位)，则a（A．1【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.【详解】B．1C．3

D．3）1aiii+ai2=iaai3i，利用复数相等的充分必要条件可得：a3,a3.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z=2+i，则zz（A．3【答案】D【解析】∵z2i,zz(2i)(2i)5故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设zA．2【答案】C【解析】因为zC．B．3B．5C．3）D．53i

，则z=（12iC．2）D．1(3i)(12i)173i17i，所以z()2()22，故选，所以z

(12i)(12i)5512i55练提升

a2i

a,bR，bi，1．（2010·山东高考真题（文））已知其中i为虚数单位，则a+b=i（）B．1C．2D．3A．-1【答案】B【解析】a2iai2i2

因为2aibi，a,bR，2ii2bb2

所以，则a+b1，故选B.a1a1

2．（全国高考真题（理））复数2i

的共轭复数是(12iC．i

)D．i

A．i【答案】A【解析】B．ｉ35352i12i5ii

，故其共轭复数为i.所以选A.12i12i53．（2018·全国高考真题（理））设zA．0【答案】C【解析】1i

2i，则|z|（1iC．1

）D．2B．12z

1i1i2i1i

2i1i1i1ii2ii，则z1，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数z的实部为1，虚部为2，则A．2i【答案】B【解析】由题意得：B．2i

C．2i

5i

的共轭复数是（zD．2i

）所以，共轭负数为2+i故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知aR，i是虚数单位，若za3i，zz4，则a（）A．1或1【答案】A【解析】B．7或7C．3D．3由za3i,zz4得a234，所以a1，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z满足z2i34i（其中i为虚数单位），则复数z（A．2i【答案】C【分析】根据复数除法运算求出z，即可得出答案.【详解】）B．2i

C．2i

D．2i

z2i34i32425，z

52i5

2i，则z2i.2i2i2i故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式eixcosxisinx(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e3i表示的复数位于复平面中的（A．第一象限C．第三象限【答案】A【分析】先由欧拉公式计算可得e【详解】i3）B．第二象限D．第四象限13i，然后根据复数的几何意义作出判断即可.221313,根据题意ecosxisinx，故ecosisini，对应点，在第一象限.223322

ix

i3故选：A.8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z1sin6i1sin6（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数z在复平面内对应的点坐标为sin3cos3,sin3cos3B．z的虚部为i1sin6C．zz2D．z

1sin6i1sin6为纯虚数【答案】CD【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数因zsin23cos232sin3cos3isin23cos232sin3cos3sin3cos3isin3cos3．为33，所以sin3cos32sin30，sin3cos30，所以原式44sin3cos3isin3cos3，所以选项A错误；复数z的虚部为1sin6，所以选项B错误；zz

2，所以选项C正确；z1sin6i1sin6

1sin6i1sin61sin6i1sin61sin61sin1sin6

1sin6222

26i1sin61sin62i，所以选项D正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数zcosisin（其中i为虚数单位），下列说法正确的是（A．zz1

）1

B．z为实数zC．若

8，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限3D．若(0,)，复数z是纯虚数，则【答案】ABD【分析】2对选项A，根据计算zz1即可判断A正确，对选项B，根据z对选项C，根据zcos

1

2cos即可判断B正确，z

88isin在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C错误，对33选项D，根据z是纯虚数得到【详解】2即可判断D正确.对选项A，zzcosisincosisincos2isincos2sin21，2

故A正确.对选项B，因为zcosisin

11cosisinzcosisincosisincosisincosisincosisincosisin2cos，1

所以z为实数.故B正确.z对选项C，因为所以zcos故C错误.8880，sin0，为第二象限角，所以cos

33388isin在复平面对应的点落在第二象限.33cos0

对选项D，复数z是纯虚数，则，sin0

又因为(0,)，所以故选：ABD2，故D正确.10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数zabi(a,bR)对应向量OZ（O为坐标原点），设|OZ|r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则zr(cosisin)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则

z1z2rr12[cos(12)isin(12)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn)，已知z(3i)4，则|z|______；若复数满足n10nN*，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且R，请写出一个满足条件的______．【答案】16【分析】由已知可得3i2(cosisin)，则z24(cosisin)，再由|z||z|求解，由题意知66cos

2k2kisink1,2,4,566232361，设cosisin，即可取一个符合题意的，即可得解．【详解】解：3i2(cosisin)，66z(3i)424(cosisin)，2323则|z||z|2416．sin60

由题意知1，设cosisin，则cos6isin61，所以，又R，cos61

66所以sin0，故可取故答案为：16，cos

3，则cos

3isin

33isin

3（答案不唯一）．练真题

1．（2021·江苏·高考真题）若复数z满足1iz3i，则z的虚部等于（A．4【答案】C【分析】利用复数的运算性质，化简得出z12i.【详解】若复数z满足1iz3i，则B．2C．-2D．-4）z

3i3i1i12i，1i1i1i所以z的虚部等于2.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数A．第一象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简【详解】2i

，从而可求对应的点的位置.13i2i

在复平面内对应的点所在的象限为（13i）B．第二象限C．第三象限D．第四象限112i2i13i55i1i

，所以该复数对应的点为,，

2213i10102该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i，则|z–2z|=（A．0B．1C．22

）D．2【答案】D【解析】由题意可得：z21i2i，则z故z2z22.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若z12ii3，则|z|=（A．0C．2【答案】C【解析】因为z1+2ii31+2ii1i，所以z1212故选：C．5.（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于（A．第一象限C．第三象限【答案】C【解析】由z32i,得z32i,则z32i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．6.（2018·江苏高考真题）若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．【答案】2【解析】因为iz12i，则z

B．第二象限D．第四象限）B．1D．2）2

2

2

2z2i21i2.2．12i

2i，则z的实部为2.i