学幢学活学深 ——徐斌、施银燕《“鸡兔同笼”问题》教学赏析 厦门市思明区教师进修学校吴伟华 厦门市湖明小学 张 嫦 徐斌老师在二年级执教“鸡兔同笼”问题，施银燕 问题，然而绝大多数学生长大以后忘记了该法，习惯 老师在五年级执教“鸡兔同笼”问题，不同年龄段的学 用方程法。而尝试方法是解决“鸡兔同笼”问题的数学 生背景，必然导致他们对教材的处理方式不同，教学 方法之“根”，有广泛的迁移性和生长性。在充分了解 的切入点也不同。两位教师都基于自己对学情的了解 学情的基础上，施老师简单介绍了“鸡兔同笼”问题 和分析，根据自己的教育理念以及对数学本质的理 后，就开门见山地说：“今天，我们学习另外一种方 解，关注学生的学习起点和成长体验，有效地把握了 法——尝试。”她提供表格让学生合作探究，不断猜 教学的起点与方向，使学生学“懂”，学“活”，学“深”。 测、尝试，寻找解决问题的策略。在此基础上，她从列 表的枚举法入手，帮助学生从无序猜测到有序寻找 、尊重认知差异，使学生学懂 答案，通过逐一尝试、中间尝试、跳跃尝试，逐步找出 两位教师从文本的数学教育价值出发，侧重于不 解决问题的方法。在这样的学习过程中，每一个学生 同的解题方法，这不是随意的，而是将解法的难易程 都能用不同的方法尝试，都能尝到成功的乐趣，真正 度与学生的接受水平结合起来考虑，充分尊重学生的 学“懂”。 认知水平。 充分尊重学生认知发展水平的差异，是两位老师在 徐斌老师针对二年级学生，呈现数据较小的问 不同年级执教同一内容，都能让学生学“懂”的根本原因。 题：“鸡和兔关在同一个笼里，数它们的头共有５个， 数它们的腿共有１４条。那么笼里共有几只鸡、几只 ■、精选策略指导，使学生学活 兔？”他还根据二年级学生的特点，引导学生交流：“鸡 画“数学画”和“尝试”的方法都很简单，学生也很 和兔关在同一个笼里”是什么意思？“数它们的头共有 容易掌握，但如何让学生学“活”？两位教师都花了一 ５个”是什么意思？“数它们的腿共有１４条”是什么意 番工夫。 思？这道题问的是什么？接着，他让学生动手画数学 在徐斌老师的课上，学生呈现了７种不同画法。 图，激发学生的学习兴趣，使抽象的数学问题直观化、 生．：我先画１只鸡１只兔，再画１只鸡１只兔， 生动化，化难为易。他没有让学生用任何解题套路解 再画１只鸡，一数正好是１４条腿。笼子里共有３只鸡 决问题，而是采用了符合二年级学生的画图策略：用 ２只兔。 。表示头，用ｆ表示脚，用 和 表示鸡和兔。画图策 生：：我先画２只鸡，再画２只兔，一数有了ｌ２条 略让初次接触此类问题的二年级学生学得有兴趣、学 腿，还差２条，我就又画了１只鸡，正好１４条腿。笼子 得简单，更学得明白。 里也有３只鸡２只兔。 施银燕老师在课前询问了曾经经过自己辅导、参 生 ：我先画１只兔１只鸡，再画１只兔１只鸡， 加数学竞赛的学生，他们几乎不约而同地选择了列方 再画１只兔，一数有ｌ６条腿，多了２条，就擦掉２条 程。有更好的方法，为什么要回归“原始”呢？施老师通 腿。这样就有３只鸡２只兔。 过调查发现：五年级有相当一部分学生已接触过“鸡 生 ：我先全部画鸡，二五一十，一算还少４条腿， 兔同笼”问题。大部分学生原本会用假设法解决这个 我就２条２条地添上，总共有２只兔３只鸡。 １ １６福 ２０１２，ｌ、２ 生 ：我先全部画兔，四五二十，多了６条腿，我就 ２条２条地擦去，这样也得到３只鸡２只兔。 生 ：我先不急着画！我想１只鸡和１只兔共有６ 条腿，画２次，二六十二，还少２条腿，就再画１只鸡。 我是先知道了有３只鸡２只兔，再画下来的。 的创新意识。在参与观察、猜测、实验、推理等数学活 动中，发展合情推理能力，感悟演绎推理思想，学会独 立思考，应成为这一载体的教学目标。”正是基于这样 的目标价值取向，“鸡兔同笼”的教学应该主要体现在 过程性目标上，让学生体验知识的形成过程和感悟数 生 ：我的画法和他们的都不一样Ｊ我先把１４条 腿全部画好，再用头去套，套２条腿的就是鸡，套４条 腿的就是兔，也能知道笼子里有３只鸡２只兔。 这种“数学画”既是形象思维的运用，也是形象思 维过渡到抽象思维的一种具体表现。学生猜想、画图、 学思想方法，促进学生养成“数学地思考”的良好习惯， 提高学生运用数学策略分析和解决问题的能力。 徐斌老师把“鸡兔同笼”问题作为培养和发展学 生数学思维的载体，引导学生经历由具体到概括、由 形象到抽象的过程，实现了发展学生思维的教学目 凑数的过程正是尝试寻找解决问题策略的过程。在这 一过程中策略意识逐渐建立，逐渐清晰。在看到学生 利用“数学画”解决问题的多样化方法后，徐老师没有 味地任由学生说，而是重点讲解生 和生 的方法， 因为这两种方法实际上就是假设法的数学模型，掌握 了这两种有效的方法，在用画画的方法解决日常生活 中遇到的问题时，学生就能活学活用。 施银燕老师让学生利用表格，尝试合作解决问 题ｏ，Ｊ、组１认为，逐一尝试简单，适合全体学生，而且 哪种情况都不会漏掉，都不会重复。他们还发现，鸡增 加１只，兔子就减少１只，腿就减少２条。有了这个规 律就不用死算了，他们可以根据这个规律去找，每次 减少２条腿就行了。小组２从鸡兔各占一半开始尝 试……尽管方法不相同，但都对问题和尝试的结果进 行了分析，又作出调整，从而使尝试的过程变得简便。 施老师将教学重点放在分析如何调整，更快尝试出结 论上，使学生灵活掌握了尝试的方法和技巧。 不管是徐斌老师画“数学画”的方法，还是施银燕 老师“尝试”的方法，都适合他们执教学生的特点。他 们利用画图和列表尝试为学生从形象思维过渡到抽 象思维搭了一座“桥”，摈弃了一些人为的繁琐分析。 正因为有了这座“桥”，学生领悟“假设法”就变得非常 简单，构建数学模型也容易多了。这样，列表、画图就 与假设法相辅相成，不分彼此，使“鸡兔同笼”的学习 回归简单。 三、渗透思想方法，使学生学深 这里的“深”不是一般意义上的“难”，而是深入到 数学思想方法。正如人民教育出版社王永春老师所 言，‘鸡兔同笼’问题作为渗透数学思想方法的载体之 一，它在教材中的地位应是‘锦上添花’的，感悟重要 的数学思想方法，运用数学的思维方式进行思考，增 强分析和解决问题的能力，提高学习数学的兴趣，增 强学好数学的信心，培养良好的学习习惯，具有初步 标。在教学中，徐老师与学生一起画“数学画”，忽略了 鸡和兔子的躯体，只提取了与数学问题有关的“头”与 “脚”，建立鸡和兔的模型，直观地解决问题。假设全部 是鸡或全部是兔，对二年级的学生而言有一定难度， 需要教师引导和帮助。徐老师重点讲评和利用课件重 现生 和生 解决问题的方法，使学生真正理解并掌 握“假设法”的雏形。这样的学习使不同层次的学生都 得到了不同的发展，真正做到了知识能力和思维水平 的双丰收。 施银燕老师让学生经历尝试、列举（填表）、调整、 发现的过程，培养学生对尝试起点的敏感性，引导学 生有序思考，强化有序思考的习惯，渗透对假设法的 体验（假设全是鸡或兔）。在学生展示的跳跃列表法、 取中列表法中都不难找到假设法的影子。如果说第一 次列举被视为假设的前提，那么接下来根据腿的数量 差异，计算应该将多少只兔（鸡）“变成”多少只鸡 （兔），从而解决共有多少只鸡和兔的问题，显然就是 人教版教材呈现的假设法了。王尚志教授在评课时谈 到：“从数学的角度看，我们的教学要思考什么方法更 有潜能，适用范围更广泛。从这个角度看，本节课中学 生的穷举法就显得非常有意义。穷举在数学上可以说 是最朴素也最广泛的方法，是我们分类思考的必然结 果。比如，这节课中学生所举的逼近的方法：‘６只鸡６ 只兔，一共３６条腿，腿多了；ｌ０只鸡２只兔，２８条腿， 腿少了。因此，结果一定在这个范围之内。’这里体现 的逼近思想在整个高等数学中都占有十分重要的地 位。”这样教学，列表枚举法就成了学生分析、解决问 题的工具，不只是寻求“鸡兔同笼”问题结果的方法， 更是发展思维能力的载体。 数学思想方法是数学学科的精髓，渗透数学思想 方法应该成为数学学科教学的不懈追求。两位教师在 显性数学知识传授的基础上注重对数学思想方法的 渗透，使学生除了增长知识、提高技能，还有了思考方 法的领悟、思想精神的启迪。Ｅ曼三 ２０１２．１、２辐ＪＬ舨 １ １７
