湖南省2020-2021学年高三数学上学期期末模拟试题2套(含答案)

含答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的

1.已知集合Myyx2x2,x(2,4),Nxy2x1,则M∩N=( )

A. x3x1 B. x1x6 C. x3x6 D. x2x6 2.若复数Z满足i(z1)1i(i为虚数单位),则Z=( ) A. 1+i B.1-i C. i D.-i

3.已知a(1,1),b(1,0),c(1,2),若a与bmc平行,则m=( ) A.-1 B.1 C.2 D.3

4xx)4.若函数f(x)log(5在区间(a-1,a+1)上递增,且blg0.9,c20.920.9,则( )

A. c5.日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是:反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N=6，则输出

A.6 B.7 C.8 D.9

6.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边,若2sinCsinAsinB,cosC且S=4，则c=( ) A.

3 54626 B. 4 C. D. 5 337.设、β是空间两个平面，m、n、l是空间三条直线，则下列四个命题中，逆命题成立的个数是( )

①.当n时，若n⊥β，则⊥β ②.当l⊥时，若l⊥β，则∥

③.当n，且l时，若l∥,则n∥l ④.当n,且l是m在内的射影时，若n⊥l则m⊥n

A.1 B.2 C.3 D.4

xy10xy28.若实数x、y满足不等式组xy10，则目标函数z的最大值是( )

x32xy40A. 1 B.  C. 1313 D. 259.已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是等 腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为( )

A.

105205 B. 55 C. D. 105 33x2y210.已知点P为双曲线221(ab0)右支上一点F1、F2分别为双曲线的左右焦点，点

abI为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有SIPF1SIPF2心率取值范围为( )

A.(1，2] B.(1， 2) C.(0，3] D.(1，3]

11.若P是面积为3的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x、y、z，则

1SIF1F2成立,则双曲线的离3yz1的最小值是( ) xyz321 C. D.3 33A.

231 B. 312.定义函数(x)f(x),xa,f(x)x,g(x)x22x4,若存在实数b，使得方程

g(x),xa(x)b0无实数根，则实数a的取值范围是( )

A.(-∞，-1)U(4，+∞) B.(-1，4) C.(-∞，-5)U(4，+∞) D.(4，+∞) 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等比数列an的前n项和是Sn，若S2、S6、S4成等差数列，则

2a2a4的值为_____。 a614.已知函数f(x)xaxb，若a、b都是从区间[0，3]内任取的实数，则不等式f(2)0 成立的概率是___________。

15.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(4x)f(x4)，当x[0,2]时，

f(x)3xx1，则函数g(x)f(x)log(2x1)|的零点个数为_________。

16.在△ABC中，AB=3AC=9，ACABAC，点P是△ABC所在平面内一点，则当

2PAPBPC取得最小值时，PABC_______

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. )必考题:共60分

17.(12分)设数列an的前n项积是Tn，满足TnTn12TnTn1(nN,n2)，且

222an0,a12 3(1)求数列an的通项公式an (2)若数列bn满足bnan

18.(12分)如图，在四棱锥中P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点。 (1)证明:BE⊥PD;

(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-D的余弦值.

1.求数列bn的前n项和Sn的最值。 an

19.(12分)1999年3月24日，在以美国为首的北约的推动下，引发了科索沃战争.科索 沃战争以大规模空袭为作战方式.美军派甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲 机投弹一次命中目标的概率为

32，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，43每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响.

(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

x2y220.(12分)已知椭圆C: 221(ab0)的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，

ab以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线xy20相切. (1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过椭圆右焦点的动直线(x轴除外)与椭园C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存 在定点E，使得EAEB为定值?若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.

21.(12分)已知函数f(x)e(xa)ln(xa)x,aR (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上为单调增函数. ①求a最大整数值；

②证明: ln2(ln3ln2)2(ln4ln3)

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多，做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

已知在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为 (1)求曲线C的普通方程；

(2)经过点P(1,) (平面直角坐标系xoy中的点)作直线l交曲线C于A、B两点，若P恰 好为线段AB的中点，求直线l的方程.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)x1

(1)求不等式f(x)2x11的解集；

(2)关于x的不等式f(x2)f(x3)a的解集不是空集，求实数a的取值范围.

3x(ln(n1)lnn)n11 e1x2cos(为参数）

sin12高三期末考试数学参

一、选择题 题号 答案

1 B 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C 二、填空题

13.2 14.

715.512 16.24 12

三、解答题

17.(1)由TnTn12Tn2Tn1

111131n12n1Tn……4分 TnTn12Tn222n2Tnn13n1…………………………………6分n2,n1,a1anTn1n22n2

an（2）由（1）知，ann11n2n111bnan=2n2ann1n2n1n2111111Snb1b2…+bn(2)(2)…+(2)2334n1n2

112n……………………………………………………………………10分 2n21113显然Sn2n在nN*上单调递增，当n1时，Sn的最小值为,无最大值.2n26………………………………………………………………………………………………12分

18.依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），

DzPEyC可得B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2.

A由E为棱PC的中点，得E1,1,1.………………………………2分

Bx（1）向量BE0,1,1，PD(0,2,2)，

，

所以BEPD.………5分

故BEPD(0,1,1)(0,2,2)0（2）向量BC1,2,0，CP2,2,2，AC2,2,0，AB1,0,0.

由点F在棱PC上，设CFCP,01.

故BFBCCFBCCP(12,22,2).…………………………………6分 由BFAC，得BFAC=0,3113因此，2(12）+2（22）=0，解得=，即BF=（，，）.………………8分

4222设n1

x0nAB0 x,y,z为平面FAB的法向量，则1,即113xyz0.n1BF0222不妨令z1，可得n10,3,1为平面FAB的一个法向量.…………………………10分

n1n2n1n2110， 10110取平面ABD的法向量n2(0,0,1)，则cosn1,n2所以二面角FABD的余弦值为

10.………………………………………………12分 1019.设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，

则Ak，Bl．由重复试验中事件发生的概率公式有

k3P(Ak)C24k142kl2,P(Bl)C23l132l，

据此算得P(A0)＝

169，P(A1)＝，P(A2)＝. 161616144P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.…………………………………………………2分

999(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝

1114611331…………4分

169169169144(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，………………………………………………………5分 且P(X＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝

111， 169144P(X＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝

146110， 169169144P(X＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝

8分

149137…………………169169169144P(X＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(X＝4)＝P(A2B2)＝

10分

9460， 1691691449436.………………………………………………………………169144综上知，X的分布列如下：

X P 从而X的期望为E(X)＝0×

分

0 1 2 3 4 36144 110 37 60 144144144144137＋1×10＋2×＋3×60＋4×36＝17.……121441441441441446bca200220.（1）由题意知， a，解得 b1，…………………………3分

2c1222bcax2y21.……………………………………………………4分 则椭圆C的方程为2（2）①当直线的斜率存在时，设直线ykx1k0,

x22y1联立2，得12k2x24k2x2k220,8k280，

ykx14k22k22,xAxB∴xAxB.………………………………………………………6分 2212k12k假设x轴上存在定点Ex0,0，使得EAEB为定值，

∴EAEBxAx0,yAxBx0,yBxAxBx0xAxBx0yAyB

2xAxBx0xAxBx02k2xA1xB1

1k2xAxBx0k2xAxBx02k2

2x204x01k2x02212k2.…………………………………………………………8分

要使EAEB为定值，则EAEB的值与k无关，∴2x024x012x022， 解得x0575，此时EAEB为定值，定点为,0.……………………………10分 4164227),B(1,),EAEB也成立. 2216②当直线的斜率不存在时，A(1,所以，综上可知，在x轴上存在定点Ex75…………12分,0，使得EAEB为定值16.4

21.（1）当a1时， fxex1lnx1x，∴f01， 又fxelnx1，∴f01，

x则所求切线方程为y1x，即xy10.…………………………………………4分 （2）由题意知， fxelnxa，

x若函数fx在定义域上为单调增函数，则fx0恒成立. ①先证明exx1.设gxex1，则gxe1，

xx则函数gx在,0上单调递减，在0,上单调递增， ∴gxg00，即exx1.

同理可证lnxx1，∴lnx2x1,∴ex1lnx2.

x当a2时， fx0恒成立.

x当a3时， f01lna0，即fxelnxa0不恒成立.

综上所述， a的最大整数值为2. ………………………………………………………8分 ②由①知， elnx2，令xxt1， tt∴et1tt1t1t1t1ln2ln，∴eln.

ttt3由此可知，当t1时， eln2.当t2时， eln，

20214当t3时， e2ln，

3累加得eee0123n1，当tn时， en1ln.

n34ln2lnln23nn23en1n1ln.………10分

nn又eee012111eeen1，

11e111ee334ln2lnln2322en1lnne13n即ln2ln3ln2ln4ln3ln(n1)lnn1n1…………12分e1.

xcosx222222.（1）由曲线C的参数方程，得2，所以cossin()y1,

2sinyx2y21．……………………………………………………5分 所以曲线C的普通方程为4x1tcos1（2）设直线l的倾斜角为1，则直线的参数方程为（t为参数）， 1ytsin12代入曲线C的直角坐标方程，得cos214sin21t22cos14sin1t20， 所以t1t22cos14sin1，由题意可知t1t2．

cos214sin21所以2cos14sin10，得k1，所以直线l的方程为x2y20．………10分 223.（1）∵fx2x11，∴x12x110.

当x1时，不等式可化为x12x110，解得x1，∴x1； 当1x1,不等式可化为x12x110，解得x1， 无解； 2当x1时，不等式可化为x12x110，解得x1，∴x1. 2综上所述， A{xx1 或x1.………………………………………………………5分 （2）∵f(x2)f(x3)=x1x2x1x21， 且f(x2)f(x3)a的解集不是空集，

∴a1，即a的取值范围是1,.……………………………………………………10分

湖南省高三上学期期未质量检测试题含答案

数学

第I卷(共60分)

一、选择题;本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的

设集合Ax2xx20,Bx1x3:则AB（ ）

A.x2x3 B.x1x2 C.x0x3 B.x0x2

2.已知复数Z满足(34i)z5,则复数Z的虚部为( )

4444A. B.i C. D.i 55553.把函数ysin2x3cos2x的图象向左平移

个单位,所得图象的函数表达式是（ ） 125A.2sin(2x) B.y2sin(2x) C.y2sin(2x) D.y2sin(2x)

4126224抛物线y2x的焦点坐标为( )

1111A.(,0) B.(,0) C.(0,) D.(0,)

28285.执行如图所示的程序框图输出的n为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

6,在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则AEBD（ ）

1133A. B. C. D.

22227.在如图所示的勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边 长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角为

现在向该大正方形区域内随机地投掷 6一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )

A. 132 B.32 C.134 D.34 x3y8.已知实数x、y满足10xy0，则x2y2的最小值是( )

x0A.322 B.92 C.113 D.9 9.一个几何体的三视图如图2所示其表面积为62,则该几何体的体积为(

)

A.4 B.2 C.11 D.3 310.△ABC中,∠B=45°°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为( )

A.52 B.36 C.56 D.43 211.在各项均为正数的等比数列an中,若a22,则a12a3的最小值是( )

A.7 B.8 C.4 D.42 12.对于定义在D上的函数yf(x),若同时满足:①存在区间[a,b]D,使得x1[a,b], 都有f(x1)c (c是常数);②对于D内x2[a,b]时,总有f(x2)c.则称函数yf(x)是“平底型”函数若函数F(x)mxx22xn,x[2.)是“平底型”函数,则mn( )

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上

13.双曲线2xym(m0)的渐近线方程为________________。 14.若2223,sin,则sin(2)____________。 25615.已知三棱锥A-BCD的三条棱AB、BC、BD所在的直线两两垂直且长度分别为4、2、3,顶点A、B、C、D都在球O的表面上则球O的表面积为___________。

a2,g(x)xlnx,若对任意x1,x2[1,e],都有f(x1)g(x2),则16.设a>0,函数f(x)xx实数a的取值范围是__________________。

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知等差数列an和等比数列bn,若a11,b11,a2b23,a3b37. (1)求an和bn的通项公式 (2)求数列

1的前n项和Tn aann2

18.如图,在四棱锥中P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AD∥BC,CD=2,AB+AD=3, ∠CDA=45°,

(1)求证:平面PAC⊥平面PCD (2)若四棱锥 p-ABCD的体积为

19.某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得 到这M名学生参加社区服务的次数根据此份数据作出的频数、频率统计表如下

3,求点A到平面PCD的距离 2(1)

求出表中M、p、n的值

(2)若该校高三共有1200人,试估计该校高三学生中参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数

(3)从所取样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求参加社区服务次数在区间[25,30)内至多只有1人的概率

x2y220.已知椭圆C：221(ab0)的两个焦点分别为F12,0,F2(2,0),点M(1,0)

ab与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 (1)求椭圆C的方程;

(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点,设点N(3,2),记直线AN、BN的斜率分别 为k1、k2,求证:k1+k2为定值

21.设函数f(x)2lnxmx1

2(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当f(x)有极值时,若存在x0使得f(x0)m1成立,求实数m的取值范围

请考生在22~23题中任选一题作答,如果多选,则按所选的题中第一题计分 22在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x25cos(为参数),在以坐标原

y2sin2点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:4cos2sin40 (1)写出曲线C1、C2的普通方程 (2过曲线C1的左焦点且倾斜角为

23,设函数f(x)2x3

(1)求不等式f(x)5x2的解集

(2)若g(x)f(xm)f(xm)的最小值为4,求实数m的值

的直线l交曲线C2于A、B两点,求AB 4 高三文科数学参

一．选择题：

1-6：B A C D C C 7-12：A B D C D A 二．填空题： 13.y2x 14.三．解答题：

n117.(1)an2n3 bn2 ………………6分

7243 15.29 16.ae2 50(2)

11111(), ………………8分

anan2(2n3)(2n1)42n32n111111111111()………10分 41315372n52n12n32n1111n =( ……………12分 )242n12n14n1Tn

18.(1)证明：过点C作CE垂直AD于E,

CD2,CDA45,CEDE1. ABAD,AD∥BC ABCD是矩形,

又ABAD3， AB1，AD2，BCAE1. AC2.

在ACD中，ACCDAD，CDAC. 又PA平面ABCD,CDPA,

222 ACPAA, CD平面PAC;

CD平面PCD,平面PCD平面PAC.……………6分

(2)由（1）知平面PAC平面PCD,过点A在平面PAC内作AF垂直PC于F, 则AF平面PCD, AF的长就是点A到平面PCD的距离. …………8分 四边形ABCD的面积S133(12)13,PA3. , VPABCDPA32222PC5, AFPAAC3230. PC5530.………………12分 5即点A到平面PCD的距离为

19(1)由分组10,15内的频数是10，频率是0.25，所以M=40, m=4. 于是pm4240.10; n0.60.…………4分 M4040（2）因为该校高三学生共有1200人，分组区间10,15内的频率是0.25，所以估计 该校高三学生中参加社区服务的次数在此区间内的人数为12000.25=300. …………6分

(3)样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间20,25内的4人为a1,a2,a3,a4,在区间25,30内的2人为b1,b2.…………8分

则任选2人共有a1,a2,a1,a3,a1,a4,a2,a3,a2,a4,a3,a4,a1,b1,a1,b2,

a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2,a4,b1,a4,b2,b1,b2这15种情况，而两人都在

25,30内的只有b1,b2一种情况，所以所求概率为P1

20.(1)依题意， c114.…………12分 15152,a2b22,由已知得b=OM=1,解得a3,

x2y21. …………3分 所以椭圆的方程为3x1,6. （2）①当直线l的斜率不存在时，由x2解得x1,y2y1,33设A(1,66),B(1,),则k1k2332662332为定值；…………6分 22x2y21, ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1),代入3化简整理得(3k1)x6kx3k30.

依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设Ax1,y1,B(x2,y2),则

22226k23k23x1x22,x1x22. …………8分

3k13k1又y1k(x11),y2k(x21), 故k1k22y12y2(2y1)(3x2)(2y2)(3x1)

3x13x2(3x1)(3x2)93(x1x2)x1x2

=

2(k(x11)3x22k(x21)(3x1)122(x1x2)k2x1x24(x1x2)6

93(x1x2)x1x2 =

=

3k236k26k21222k224263k13k13k1936k3k33k213k2122

12(2k21) =2为定值. 26(2k1)综上，k1k2为定值2. …………12分

22(mx21)21.（1）函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)2mx，

xx当m0时，f(x)0， ∴f(x)在(0,)上单调递增； 当m0时，解f(x)0得0x1， m∴f(x)在(0,mm)上单调递增，在(,)上单调递减. ………………6分 mm（2）由（1）知，当f(x)有极值时，m0，且f(x)在(0,上单调递减. ∴f(x)maxf(mm)上单调递增，在(,)mmmm1)2lnm1lnm， mmm若存在x0，使得f(x0)m1成立，则f(x)maxm1成立. 即lnmm1成立， 令g(x)xlnx1，

∵g(x)在(0,)上单调递增，且g(1)0， ∴0m1. ∴实数m的取值范围是(0,1).………………12分

x25cos,x2y22. （1）()()2cos2sin21

225 y2sin,2xy即C1的普通方程为1.

20422x2y2,xcos,ysin,

C2可化化为 x2y24x2y40， C2:(x2)2(y1)21. ……4分

（2）曲线C1左焦点为（- 4，0）， 直线l的斜率为ktan直线l的普通方程为yx4. 即xy40

41,

由(Ⅰ)知圆C2圆心为(2，1)，半径r1. 到直线l的距离d2221412122. 2故AB2rd21

12. ………………10分 223.（1）∵f(x)5|x2|可化为|2x3||x2|5，

3时，原不等式化为(2x3)(x2)5，解得x2，∴x2； 23当2x时，原不等式化为(32x)(x2)5，解得x0，∴2x0；

2∴当x当x2时，原不等式化为(32x)(x2)5，解得x综上，不等式f(x)5|x2|的解集为(,0)4，∴x2. 3(2,).………………5分

（2）∵f(x)|2x3|，∴g(x)f(xm)f(xm)|2x2m3||2x2m3| |(2x2m3)(2x2m3)||4m|， ∴依题设有4|m|4，解得m1.………………10分