2018-2019学年甘肃省兰州一中高一(下)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年甘肃省兰州一中高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若角420°的终边上所在直线上有一点（-4，a），则a的值是（ ）

10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面

积小于32cm2的概率为（ ）

A. 6

1

B. 3

1

C. 3

2

D. 5

4

A. 4√3 A. 9

4

B. −4√3 B. 3

1

C. ±4√3 C. 9

2

D. √3 D. 9

1

3. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）

11. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次

命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 9

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）

4. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，

若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）

A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15

A. 0 B. 2 C. 4 D. 14

5. 圆x2+y2-4x=0在点P（1，√3）处的切线方程是（ ）

A. 𝑥+√3𝑦−2=0 B. 𝑥−√3𝑦+2=0 C. 𝑥−√3𝑦+4=0 D. 𝑥+√3𝑦−4=0

3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横6. 设计一个计算1×

线①上不能填入的数是（ ） A. 13 B. 13.5 C. 14 D. 14.5

7. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、

5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2XY=1的概率为（ ）

A. 6

1

B. 36

5

C. 12

1

D. 2

1

8. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，

^=0.85x-85.71，yi）2，n）（i=1，…，，用最小二乘法建立的回归方程为𝑦则下列结论中不正确的是（ ）

A. y与x具有正的线性相关关系

−−

B. 回归直线过样本点的中心(𝑥,𝑦)

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85𝑘𝑔

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79𝑘𝑔

9. 点P（4，-2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）

12. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后

在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 15 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个

球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有______个．

14. 已知图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随同地措施1000颗黄豆，数

得落在阴影部分的黄豆数为550颗．则可以估计出阴影部分的面积约为______． 15. 如果执行如图的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，aN，输出A，

B，若输入的N为20，a1，a2，…，aN依次为87，76，，98，68，76，，94，83，86，68，79，95，93，，87，76，77，84，96，则A-B=______．

kx-2）+4有两个交点，16. 曲线y=1+√4−𝑥2与直线y=（则实数k的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中

抽取6所学校对学生进行视力调查．

（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析． （ⅰ）列出所有可能的抽取结果；

（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．

18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元） 销量y（件） 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 −

8.8 75 −

9 68 A. (𝑥−2)2+(𝑦+1)2=1 B. (𝑥−2)2+(𝑦+1)2=4 C. (𝑥+4)2+(𝑦−

2)2=1 D. (𝑥+2)2+(𝑦−1)2=1

（1）求回归直线方程=x+，其中=-20，=𝑦-𝑥

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工

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厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

19. 某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的分组及各组的频数如下：

[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2． （1）列出样本的频率分布表；

（2）画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；

（3）当地制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？

20. 已知圆C：（x+2）2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点，

（1）求𝑥−1的最大、最小值；

（2）求x-2y的最大、最小值．

21. 已知函数f（x）=-x2+ax-b．

（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率． （2）若a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，求f（1）＞0成立时的概率．

22. 已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； （2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

𝑦−2

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】

本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数 4.【答案】B

【解析】

解：∵点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限， ∴sinθcosθ＜0 2cosθ＜0， ∴sinθ＞0， cosθ＜0

∴θ是第二象限的角． 故选：B．

根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值大于0，余弦值小于0，得到角是第二象限的角．

本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围． 2.【答案】B

【解析】

解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18

满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2 不满足条件a≠b，输出a的值为2． 故选：B．

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．

本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题． 5.【答案】B

【解析】

终边在第一象限，而点（-4，a）在420°终边所在直线上，所以（-4，a）在第三象限； 解：420°

-180°所以有：tan（420°）=得到a=-4

，故选B．

；

终边所在直线，进而确定所求点坐标． 先确定420°

本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题．属基础题． 3.【答案】D

【解析】

解：圆的标准方程为（x-2）2+y2=4， ∴圆心C（2，0）， ∵直线和圆相切于点P（1，∴CP的斜率k=则切线斜率k=故切线方程为y-， =

（x-1）， =-）， ，

解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有

=45

记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个

由古典概率的求解公式可得，P（A）=故选：D．

先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求

即x-y+2=0，

故选：B．

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根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．

本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键． 6.【答案】A

【解析】

8.【答案】D

【解析】

解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确； 对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；

对于C，∵回归方程为=0.85x-85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；

对于D，x=170cm时，=0.85×170-85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确 故选：D．

根据回归方程为=0.85x-85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．

本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．

解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 3，i=5， 第1圈：S=1×

3×5，i=7， 第2圈：S=1×3×5×7，i=9， 第3圈：S=1×

第4圈：S=1×3×5×…×9，i=11， 第5圈：S=1×3×5×…×11，i=13， 第6圈：S=1×3×5×…×13，i=15， 退出循环

其中判断框内应填入的数要大于13且小于等于15， 则在横线①上不能填入的数是选A， 故选：A．

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．

本题考查循环语句．解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出

9.【答案】A

【解析】

解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），

则

代入x2+y2=4得（2x-4）2+（2y+2）2=4，化简得（x-2）2+（y+1）2=1．

规律，属于基础题． 7.【答案】C

【解析】

故选：A．

解：∵log2XY=1

∴Y=2X，满足条件的X、Y有3对

设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则

，由此能够轨迹方程．

本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．

而骰子朝上的点数X、Y共有36对 ∴概率为故选：C．

若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4

先转化出X、Y之间的关系，计算出各种情况的概率，然后比较即可．

即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件

故该矩形面积小于32cm2的概率为P=

A的概率P（A）=

．

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10.【答案】C

【解析】

=

解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12

=

故选：C．

设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比

本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题 11.【答案】B

【解析】

13.【答案】15

【解析】

解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的 摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28， ∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3， ∵红球有21个， ∴黑球有0.3×故答案为：15．

=15，

解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．

在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，

共5组随机数，

摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28，得到结

∴所求概率为故选：B．

由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果． 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用． 12.【答案】C

【解析】

=0.25．

果．

本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目． 14.【答案】33

【解析】

解：∵矩形的长为12，宽为5，则S矩形=60 ∴

=

=

，

∴S阴=33， 故答案：33．

由已知中矩形的长为12，宽为5，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们

32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差解：960÷

数列的通项公式为an=9+（n-1）30=30n-21． 由 451≤30n-21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．

再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10， 故选：C．

由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750 求得正整数n的个数． 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．

易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S

阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．

本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影的方程，是解答本题的关键． 15.【答案】30

【解析】

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解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是求出a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数， 其中A为a1，a2，…，aN中最大的数，B为a1，a2，…，aN中最小的数， 可得：A-B=98-68=30． 故答案为：30．

{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种

（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种， ∴P（B）=15=5 【解析】

3

1

（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目； （2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有

=15种，按规律列举即可；

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，

（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得

a2，…，aN中最大的数A和最小的数B，即可计算得解．

结果

本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的

本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基

数学模型，属于基础题． 16.【答案】(12，4]

【解析】

5

3

础题

18.【答案】解：（1）由题意，𝑥=6（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，

可化为x2+（y-1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，

𝑦=6（90+84+83+80+75+68）=80； ∵y=x+，=-20 8.5+， ∴80=-20×

∴=250 ∴=-20x+250．

（2）设工厂获得的利润为L元，则 L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20(𝑥−

332

)+361.25， 4

−1

−1

解：

1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．

直线y=k（x-2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（-2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个． 且kAP=

=，由直线与圆相切得d=

=2，解得k=

则实数k的取值范围为故答案为：

∴该产品的单价应定为4元时，工厂获得的利润最大． 【解析】

33

（1）利用回归直线过样本的中心点（，），即可求出回归直线方程；

先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值

（2）设工厂获得利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数关系，用配方法求出工厂获得

范围．

的最大利润．

本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题． 17.【答案】解：（I）抽样比为21+14+7=7，

=3，14×=2，7×=1 故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×777

（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A

则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，

1

1

1

6

1

本题考查了回归分析，考查了二次函数的应用问题，是基础题目． 19.【答案】解：（1）作出频数分布表，如下： 分组 频数 频率 [0，0.5） [0.5，1） 4 8 0.04 0.08 第6页，共8页

[1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5） [3.5，4） [4，4.5] 合计 15 22 25 14 6 4 2 100 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1.00 20.【答案】解：（1）设k=𝑥−1，则y-2=kx-k，即直线方程为kx-y+2-k=0，

∵P（x，y）为圆C上任一点， ∴则圆心（-2，0）到直线的距离d=即|2-3k|≤√1+𝑘2， 平方得8k2-12k+3≤0， 解得

3−√34

|−2𝑘+2−𝑘||2−3𝑘|√1+𝑘2𝑦−2

=√1+𝑘2≤1，

≤k≤3+√3，

4

3+√34

（2）由频率分布表画出频率分布直方图，如下：

故𝑥−1的最大值为

𝑦−2

，最小值为

3−√34

；

（2）设b=x-2y，j即x-2y-b=0， ∵P（x，y）为圆C上任一点，

∴则圆心（-2，0）到直线的距离d=√1+22=

|−2−𝑏||𝑏+2|√5≤1，

即|b+2|≤√5，

则-2-√5≤b≤√5-2，

即x-2y的最大值为√5-2，最小值为-2-√5． 【解析】

由频率分布直方图得这组数据的平均数为： −

0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02． 𝑥=0.25×

∵[0，2）的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49， [2，2.5）的频率为0.25， ∴中位数为：2+众数为：

2+2.52

0.5−0.490.25

（1）设k=，利用直线和圆的位置关系即可得到结论；

（2）设z=x-2y，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆心到直线的距离d≤r是解决本题的关键． 21.【答案】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的

5=25个 基本事件总数为N=5×

函数有零点的条件为△=a2-4b≥0，即a2≥4b

∵事件“a2≥4b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），

（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1）， （4，2），（4，3），（4，4） ∴事件“a2≥4b”的概率为𝑝=25；

（2）f（1）=-1+a-b＞0，∴a-b＞1

则a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，有f（1）＞0， 0≤𝑎≤4

即满足条件：{0≤𝑏≤4

𝑎−𝑏＞1转化为几何概率如图所示， ∴事件“f（1）＞0”的概率为𝑝=2【解析】

1

×0.5=2.02，

=2.25．

（3）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，

即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下， 因此，的解释是正确的． 【解析】

（1）由100位居民的人均月用水量（单位：t）的分组及各组的频数能作出频数分布表． （2）由频率分布表能画出频率分布直方图，由频率分布直方图能求出这组数据的平均数、中位数、众数．

（3）大约有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，的解释是正确的．

本题考查频率分布表、频率分布直方图的作法，考查平均数、中位数、众数的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布表、频率分布直方图的性质的合理运用．

12

×3×34×4

=32

9

（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的

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5个，函数有零点的条件为△=a2-4b≥0，即a2≥4b，列举出所有事件的结果数，基本事件总数为5×得到概率．

（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值．

古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．

22.【答案】解：（1）由{(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=12，消去y得到（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，

∵△=（2-4k）2+28k2+28＞0，

∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； （2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

4𝑘+3

=2则直线l被圆C截得的弦长|AB|=√1+𝑘2|x1-x2|=2√8−4𝑘+11𝑘， √11−22

1+𝑘

1+𝑘

2

𝑦=𝑘𝑥+1

令t=1+𝑘2，则有tk2-4k+（t-3）=0， 当t=0时，k=-4；

当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，

解得：-1≤t≤4，且t≠0，

则t=1+𝑘2的最大值为4，此时|AB|最小值为2√7， 则直线l被圆C截得的最短弦长为2√7． 【解析】

4𝑘+3

3

4𝑘+3

（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0，得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直线l被圆C截得的弦长，设t=论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题．

，讨

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