名校考试试题(1)9.24

名校考试试题

1．已知y=ax2+k的图象上有三点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3），且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是（ ） A．a＞0

B．a＜0

C．a≥0

D．a≤0

2．对于二次函数y=x2﹣2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=

﹣2x1，y2=

﹣2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个

交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 ． 4．已知两个变量x，y之间的关系式为y=（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3． （1）当 时，x，y之间是二次函数关系； （2）当 时，x，y之间是一次函数关系． 5．若函数y=（1﹣m）

+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则

m的值为 ．

6．如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线L1向上平移得到L2，过点A作AB⊥x轴交抛物线L2于点B，如果由抛物线L1、L2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线L2的函数表达式为 ．

如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．

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7．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，

8．如图，直线y1=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）求当y1≥y2时x的值．

9．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

11．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，3）且对称轴是直线x=2．（1）求该函数的表达式；（2）在抛物线上找点，使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．

10．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．

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12．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．（1）底面的长AB= cm；（用含x的代数式表示）（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积； （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式； （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

14．小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x； ②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10．已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；

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（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售单价﹣平均成本）

15．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 乙 6 20 a 10 20 40+0.05x2 200 80 其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由 ．

16．如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．

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2018年09月06日135的初中数学组卷

参与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．已知y=ax2+k的图象上有三点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3），且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是（ ） A．a＞0

B．a＜0

C．a≥0

D．a≤0

【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）在抛物线y=ax2+k上， ∴y1=a•（﹣3）2+k=9a+k，y2=a•12+k=a+k，y3=a•22+k=4a+k， ∵y2＜y3＜y1， ∴a+k＜4a+k＜9a+k， ∴a＞0． 故选：A．

2．对于二次函数y=x2﹣2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=

﹣2x1，y2=

﹣2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个

交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：①∵二次函数解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， ∴二次函数y=x2﹣2x的对称轴是直线x=1，①正确； ②∵a=1＞0，

∴当x＜1时，y值随x值的增大而减小， ∴当1＞x2＞x1时，有y2＜y1，②错误； ③∵x2﹣2x=x（x﹣2）=0， ∴x1=0，x2=2，

∴二次函数y=x2﹣2x的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=1＞0，

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∴二次函数y=x2﹣2x的图象开口向上， ∴当0＜x＜2时，y＜0，④错误． 综上所述：正确的结论有①③． 故选：B．

二．填空题（共4小题）

3．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 （2，5） ． 【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，

∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5， ∴抛物线的顶点坐标是（2，5）． 故答案为：（2，5）．

4．已知两个变量x，y之间的关系式为y=（a﹣2）x2+（b+2）x﹣3． （1）当 a≠2 时，x，y之间是二次函数关系；

（2）当 a=2且b≠﹣2 时，x，y之间是一次函数关系．

【解答】解：（1）当x，y之间是二次函数关系时，a﹣2≠0即a≠2； 故答案是：a≠2；

（2）当x，y之间是一次次函数关系时，a﹣2=0且b+2≠0，即a=2且b≠﹣2； 故答案是：a=2且b≠﹣2．

5．若函数y=（1﹣m）

+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则

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m的值为 ﹣2 ．

【解答】解：由题意：∴1﹣m≠1， 1﹣m＞0， m＜1， m 2﹣2=2， 解得：m=±2， ∴m=﹣2． 故答案为：﹣2．

6．如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线L1向上平移得到L2，过点A作AB⊥x轴交抛物线L2于点B，如果由抛物线L1、L2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线L2的函数表达式为 y=（x﹣2）2+2 ．

【解答】解：当y=0时，有（x﹣2）2﹣2=0， 解得：x1=0，x2=4， ∴OA=4．

∵S阴影=OA•AB=16， ∴AB=4，

∴抛物线L2的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣2+4=（x﹣2）2+2． 故答案为：y=（x﹣2）2+2．

三．解答题（共10小题）

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7．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．

【解答】解：∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1， ∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2， ∴令x=0，得y=﹣2， ∴G（0，﹣2），

∵y=ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1=a×1，解得a=﹣1， ∴二次函数表达式为y=﹣x2， 由一次函数与二次函数联立可得

，

解得，，

∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3．

8．如图，直线y1=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）求当y1≥y2时x的值．

第8页（共19页）

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣2） ∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A， 设抛物线为y=a（x+2）2， ∵抛物线过点B（0，﹣2） ∴﹣2=4a，a=∴

，

．

（2）x≤﹣2或x≥0．（注：可直接写答案）

9．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，

∴令y=0，可得x=或x=，

第9页（共19页）

∴A（，0），B（，0）； 令x=0，则y=， ∴C点坐标为（0，），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=

x；

（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，∴E点的坐标为（m，设DE的长度为d，

∵点D是直线BC下方抛物线上一点， 则d=

m+﹣（m2﹣3m+），

m

），

），

整理得，d=﹣m2+m， ∵a=﹣1＜0， ∴当m=﹣

=时，d最大=

）．

=

=

，

∴D点的坐标为（，﹣

10．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．

（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的

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坐标．

【解答】解：（1）由题意得，﹣1+5+n=0， 解得，n=﹣4，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4； （2）y=﹣x2+5x﹣4=﹣（x﹣）2+， 抛物线对称轴为：x=， 顶点坐标为 （，）；

（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣4）， ∴OA=1，OB=4， 在Rt△OAB中，AB=①当PB=PA时，PB=∴OP=PB﹣OB=

，

=

，

﹣4，

﹣4），

此时点P的坐标为（0，②当PA=AB时，OP=OB=4

此时点P的坐标为（0，4）．

11．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，3）且对称轴是直线x=2． （1）求该函数的表达式；

（2）在抛物线上找点，使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标．

第11页（共19页）

【解答】解：（1）将点A（0，3）代入y=x2+bx+c，得：c=3， ∵抛物线对称轴为x=2， ∴﹣=2，得：b=﹣4，

∴该二次函数解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令y=0，得：x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3，

∴点B（1，0）、C（3，0）， 则S△ABC=×2×3=3， 设点P（a，a2﹣4a+3），

则S△PBC=×2×|a2﹣4a+3|=|a2﹣4a+3|， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴二次函数的最小值为﹣1， 根据题意可得a2﹣4a+3=6， 解得：a=2

，

，6）或（2﹣

，6）．

∴点P的坐标为（2+

12．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB= 50﹣2x cm；（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积；

（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．

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【解答】解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为xcm， ∴底面的长AB=（50﹣2x）cm， 故答案为：50﹣2x；

（2）依题意，得： （50﹣2x）（30﹣2x）=300 整理，得：x2﹣40x+300=0

解得：x1=10，x2=30（不符合题意，舍去）

当x1=10时，盒子容积=（50﹣20）（30﹣20）×10=3000（cm3）；

（3）盒子的侧面积为： S=2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x） =100x﹣4x2+60x﹣4x2 =﹣8x2+160x=﹣8（x2﹣20x） =﹣8[（x﹣10）2﹣100] =﹣8（x﹣10）2+800 ∵﹣8（x﹣10）2≤0， ∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，

∴当x=10时，S有最大值，最大值为800．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

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（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）． ∴a﹣3=﹣，解得：a=， ∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0， ∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l边AD相交与点M1时，则S∴×3×（﹣y∴y

）=3

=

×10=3，

=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线

l的解析式为y=2x+2．

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②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣． 综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣．

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b， ∴﹣k+b=0， ∴b=k， ∴y=kx+k． 由∴

，

+（﹣k）x﹣﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2， ∵点M是线段PQ的中点， 根据中点坐标公式的M（∴点M（k﹣1，k2）．

假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3 由

，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

，

），

∵四边形DMPN是菱形， ∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（

）2+（

）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0， ∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4=0， 解得k=±∵k＜0， ∴k=﹣

，

，

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∴P（﹣3∴PM=DN=2

﹣1，6），M（﹣，

﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形， ∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣21）．

﹣1，

14．小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x；

②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10．

已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；

（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售单价﹣平均成本） 【解答】解：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10， 得：

，

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解得：，

∴y=x2﹣3x+10；

（2）根据题意，知L=P﹣y=9﹣x﹣（x2﹣3x+10）=﹣（x﹣4）2+3， ∴当x=4时，L取得最大值，最大值为3，

答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克．

15．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品 每件售价（万元） 每件成本（万每年其他费用（万元） 甲 乙 6 20 a 10 元） 20 40+0.05x2 每年最大产销量（件） 200 80 其中a为常数，且3≤a≤5

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【解答】解：（1）y1=（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200） y2=10x﹣40﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）． （2）对于y1=（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0， ∴x=200时，y1的值最大=（1180﹣200a）万元． 对于y2=﹣0.05（x﹣100）2+460， ∵0＜x≤80，

∴x=80时，y2最大值=440万元． （3）①1180﹣200a=440，解得a=3.7， ②1180﹣200a＞440，解得a＜3.7，

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③1180﹣200a＜440，解得a＞3.7， ∵3≤a≤5，

∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同． 当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高． 当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．

16．如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P． （1）求点A、B的坐标；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．

【解答】解：（1）令y=0，则x2+x﹣=0， 解得x1=﹣3，x2=1，

∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x=﹣1，令x=﹣1，则y=﹣1﹣=﹣2， ∴P点坐标为（﹣1，﹣2）， ∵△ABP的面积等于△ABE的面积， ∴点E到AB的距离等于2， 设E（a，2），

把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2

或﹣1+2

，

第18页（共19页）

∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2

，2）或（﹣1+2，2）．

（3）所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．

第19页（共19页）