圆锥曲线的切线方程总结(附证明)

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

222现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆xyr上

2一点M(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr；当M(x0,y0)在圆外时,过M点引切2线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0xy0yr.那么，在圆锥曲线中，又

将如何？我们不妨进行几个联想。

x2y2联想一:（1)过椭圆221(ab0)上一点M(x0,y0)切线方程为

abx0xy0yx2y221；（2）当M(x0,y0)在椭圆221的外部时，过M引切线有两条，2ababxxyy过两切点的弦所在直线方程为：02021

abx2y22x2yyx1证明：（1）2的两边对求导，得220，得y2ababb2x0,由点xx02ay0x0xy0yx02y02b2x0斜式得切线方程为yy02(xx0)，即22221 。

ababay0x2y2（2)设过椭圆221(ab0)外一点M(x0,y0)引两条切线,切点分别为

abxxyyA(x1,y1)、B(x2,y2)。由（1)可知过A、B两点的切线方程分别为:12121、

abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)121、。又因是两条切线的交点，所以有00a2b2a2bx2x0y2y021。观察以上两个等式，发现A(x1,y1)、B(x2,y2)满足直线a2bx0xy0yx0xy0y121。 ，所以过两切点、两点的直线方程为AB222abab22xy评注:因M(x0,y0)在椭圆221(ab0)上的位置(在椭圆上或椭圆外)

abxxyy的不同，同一方程02021表示直线的几何意义亦不同。

abx2y2联想二：（1）过双曲线221(a0,b0)上一点M(x0,y0)切线方程为

abx0xy0yx2y221；(2）当M(x0,y0)在双曲线221的外部时,过M引切线有两条，2ababxxyy过两切点的弦所在直线方程为：02021.（证明同上）

ab联想三：(1)过圆锥曲线AxCyDxEyF0(A，C不全为零）上的点

22M(x0,y0)的切线方程为Ax0xCy0yDxx0yy0EF0;(2）当22M(x0,y0)在圆锥曲线Ax2Cy2DxEyF0（A,C不全为零）的外部时，过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为：Ax0xCy0yD证明：（1）两边对x求导，得2Ax2CyyDEy0 得yxx0yy0EF0 22

xx02Ax0D2Ax0D(xx0) ,由点斜式得切线方程为yy02Cy0E2Cy0E22化简得2Cy0y2Cy0EyEy02Ax0xDx2Ax0Dx00…………………。① 22因为Ax0Cy0Dx0Ey0F0………………………………………………… ②

由①－②×2可求得切线方程为:Ax0xCy0yD（2)同联想一（2）可证.结论亦成立。

xx0yy0EF0 22根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点M(x0,y0)的切线方程为：把原方程中的x用x0x代换,y用y0y代换。若原方程中含有x或y的一次项，把

22xx0yy0代换，y用代换,得到的方程即为过该点的切线方程。当点M(x0,y0)22在曲线外部时，过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程

xx0yy0为:Ax0xCy0yDEF0

22x用

通过以上联想可得出以下几个推论：

2推论1:(1）过抛物线y2px(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

y0yp(xx0);（2)过抛物线y22px(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条切

线，过两切点的弦所在直线方程为：y0yp(xx0)

2推论2：（1）过抛物线y2px(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为2y0yp(xx0)（;2)过抛物线y2px(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条切

线，过两切点的弦所在直线方程为：y0yp(xx0)。

2推论3：（1）过抛物线x2py(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为

x0xp(yy0);（2）过抛物线x22py(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条

切线,过两切点的弦所在直线方程为:x0xp(yy0).

2推论4：（1)过抛物线x2py(p0)上一点M(x0,y0)切线方程为2x0xp(yy0)；（2）过抛物线x2py(p0)的外部一点M(x0,y0)引两条

切线，过两切点的弦所在直线方程为：x0xp(yy0).

在以上的研究中,我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通,实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。