历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

2018 年湖南省郴州市中考数学试卷

一、 （共

8 小 ，每小 3 分， 分

24 分）

） C． 2

1．（ 2014 年湖南郴州） 2 的 是（

A ．

B ． D． 2

剖析：依据 数的 等于它的相反数解答． 解： 2 的 是

点 ： 本 考 了 的性 ， 反数； 0 的 是 0．

2，即 | 2|=2．故 ： C．

一个正数的 是它自己；

一个 数的 是它的相

2．（ 2014 年湖南郴州）以下 数属于无理数的是（

A ． 0

B．π

）

C．

D．

必定要同 理解有理数的观点，有

而无穷不循 小数是无理

剖析： 无理数就是无穷不循 小数． 理解无理数的观点， 理数是整数与分数的 称． 数．由此即可判断 ． C、 点 ：

即有限小数和无穷循 小数是有理数，

解： A 、是整数，是有理数， ；

=3 是整数，是有理数，

；

B、正确；

D、是分数，是有理数， ．故 ： 开不尽的数；以及像

B ．

此 主要考 了无理数的定 ，此中初中范 内学 的无理数有：

0.1010010001 ⋯，等有 律的数．

）

235B． x?x=x

π，2π等；开方

3．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）以下运算正确的选项是（ A ． 22（ 2x） =2x 考点： 剖析：

3x x=3

235C． （ x） =x

D ．

的乘方与 的乘方；归并同 ；同底数 的乘法． 依据归并同 ，可判断

B ；

A ；

依据同底数 的乘法，可判断 依据 的乘方，可判断 依据 的乘方，可判断 解答：

C；

D．

解： A 、系数相减字母部分不 ，故

B 正确； C ；

A ；

B、底数不 指数相加，故 C、底数不 指数相乘，故 故 ： B． 点 ：

D、 得乘方等于每个因式分 乘方，再把所得的 相乘，故

D ；

本 考 了 的乘方与 的乘方， 的乘方底数不 指数相乘．

3，底面的半径

4．（ 3 分）（2014 年湖南郴州）已知 的母 （

） A ．

考点：

2， 的 面 是

4π B． 6π C． 10πD． 12π

的 算．

1

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

专题： 计算题．

剖析： 依据锥的侧面睁开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．

解答：

解：圆锥的侧面积 = ?2π?2?3=6π．

应选： B．

评论： 本题考察了圆锥的计算： 锥的侧面睁开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

5．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）以以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

A ． 形 考点： 剖析： 解答：

）

等腰三角形

B． 平行四边形

C．矩形 D． 等腰梯

中心对称图形；轴对称图形．

依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解． 解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形； C、是中心对称图形，也是轴对称图形； D、不是中心对称图形，是轴对称图形． 应选： C． 评论：

掌握好中心对称图形与轴对称 图形的观点． 判断轴对称图形的重点是找寻对称轴，

180

图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的重点是要找寻对称中心，旋转 度后与原图重合．

6．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）以下说法错误的选项是（

2

A ． 抛物线 y=﹣ x+x 的张口向下

B． 两点之间线段最短

）

C． 角均分线上的点到角两边的距离相等

D． 一次函数 y=﹣ x+1 的函数值随自变量的增大而增大

考点： 剖析：

二次函数的性质；一次函数的性质；线段的性质：两点之间线段最短；角的观点． 依据二次 函数的性质对 A 进行判断；

依据线段公义对 B 进行判断； 依据角均分线的性质对 依据一次函数的性质对 解答：

C 进行判断； D 进行判断．

解： A 、因为 a=﹣1＜ 0，则抛物线张口向下，因此

B 选项的说法正确；

A 选项的说法正确；

B、两点之间线段最短，因此

C、角均分线上的点到角两边的距离相等，因此 D、当 k=﹣ 1， y 随 x 的增大而减小，因此 应选： D． 评论：

C 选项的说法正确；

D 选项的说法错误．

本题考察了二次函数的性质：二次函数

y=ax+bx+c （a≠0）的极点坐标是（﹣

2，

），对称轴直线 x= ﹣

2

，二次函数 y=ax +bx+c（ a≠0）的图象拥有以下性质：当 a

2

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

2 2

＞0 时，抛物线 y=ax +bx+c （ a≠0）的张口向上；当 a＜ 0 时，抛物线 y=ax +bx+c （ a≠0）的 张口向下．也考察了一次函数的性质、角均分线的性质和线段的性质．

7．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都拥有的是（ ）

A ． 对角线相互均分 B． 对角线相互垂直

C．

考点： 专题： 剖析： 断．

解答： 解： A 、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都拥有的性质；B、对角线相互垂直是菱形、正方形拥有的性质；C、对角线相等是矩形和正方形拥有的性质；

D、对角线相互垂直且相等是正方形拥有的性质． 应选： A． 评论：

本题主要考察平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．

对角线相等

D ． 对角线相互垂直且相等

正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质． 证明题．

本题主要依照平行四边形、

矩形、 菱形、正方形都拥有对角线相互均分的性质来判

8．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）我市某中学举办了一次以 最后确立 7 名同学参加决赛， 他们的决赛成绩各不相同， 可否进前四名，他还一定清楚这七名同学成绩的（

A ．

差 考点： 剖析： 解答：

“我的 ”为主题的演讲竞赛， 此中李华已经知道自己的成绩， ）

但

众数

B．均匀数

C． 中位数

D． 方

统计量的选择．

7 人成绩的中位数是第

4 名的成绩．参赛选手要想知道自己能否能进入前

4 名，只

需要认识自己的成绩以及所有成绩的中位数，比较即可．

解：因为总合有 7 个人，且他们的分数互不相同，

第 5 的成绩是中位数，要判断是

否进入前 4 名，故应知道中位数的多少． 应选： C． 评论：

本题主要考察统计的有关知识，主要包含均匀数、中位数、众数、方差的意义．

3 分，满分 24 分）

二、填空题（共 8 小题，每题

9．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）依据有关部门统计，2014

6

9.39×10 ． 考， 9390000 用科学记数法表示为 考点：

科学记数法 —表示较大的数．

年我国共有

9390000 名学生参加高

剖析：

要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， 绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜

na×10 的形式， 此中 1≤|a|＜ 10，n 为整数． 确立 n 的值时， 科学记数法的表示形式为

n 的绝对值与小数点挪动的位数相同．当原数

1 时， n 是负数．

6

解： 9390000 用科学记数法表示为 9.39×10， 解答：

6

故答案为： 9.39×10． 评论：

本题考察了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a 的值以及 n 的值．

n

a×10 的形式，此中

1≤|a|＜ 10， n 为整数，表示时重点要正确确立

3

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

10．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）数据 0、1、 1、 2、 3、 5 的均匀数是 考点： 剖析： 解答：

算术均匀数．

依据算术均匀数的计算公式列出算式，再求出结果即可．

2 ．

解：数据 0、 1、 1、2、 3、 5 的均匀数是（ 0+1+1+2+3+5 ）÷6=12 ÷6=2；

故答案为： 2． 评论：

本题考察了算术均匀数， 用到的知识点是算术均匀数的计算公式，

重点是依据题意

列出算式．

11．（3 分）（ 2014 年湖南郴州）不等式组 的解集是 ﹣ 1＜ x＜ 5 ．

考点： 剖析： 集． 解答：

解一元一次不等式组．

先求出不等式组中每一个不等式的解集，

再求出它们的公共部分就是不等式组的解

解： ，

解① 得： x＞﹣ 1， 解② 得： x＜ 5，

则不等式组的解集是：﹣ 评论：

1＜x＜ 5．

本题主要考察了一元一次不等式解集的求法， 其简易求法就是用口诀求解， 求不等 ．

式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）

12．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州） 如图，已知 A 、B 、C 三点都在 ⊙ O 上，∠ AOB=60 °，∠ ACB=

30° ．

考点： 剖析： 解答：

圆周角定理．

由∠ ACB 是 ⊙ O 的圆周角， ∠ AOB 是圆心角，且 ∠AOB=60 °，依据圆周角定理， 解：如图， ∵ ∠ AOB=60 °，

即可求得圆周角 ∠ ACB 的度数．

∴∠ ACB= ∠ AOB=30 °．

故答案是： 30°．

评论：

本题考察了圆周角定理．本题比较简单，注意掌握数形联合思想的应用．

4

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

13．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）函数 的自变量 x 的取值范围是 x≥6 ．

考点： 剖析： 解答： 评论：

函数自变量的取值范围；二次根式存心义的条件．

二次根式存心义的条件是被开方数是非负数，列不等式求解． 解：依据题意得： x﹣ 6≥0，解得 x≥6．

本题考察的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

14．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）如图，在 △ ABC 中，若 E 是 AB 的中点， F 是 AC 的中点， ∠B=50 °，则 ∠ AEF= 50° ．

考点： 剖析： 解答：

三角形中位线定理．

依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半可得

∠AEF= ∠ B．

解： ∵E 是 AB 的中点， F 是 AC 的中点，

EF∥ BC，再依据两

直线平行，同位角相等可得 ∴ EF 是△ ABC 的中位线， ∴ EF∥BC，

∴∠ AEF= ∠ B=50 °． 故答案为： 50°．

评论： 本题考察了三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半，平行线的性质，熟记定理与性质并正确识图是解题的重点．

15．（ 3 分）（ 2014 年湖南郴州）若 ，则 = ．

考点： 剖析： 解答：

比率的性质．

先用 b 表示出 a，而后辈入比率式进行计算即可得解． 解：∵ = ，

∴ a= ，

∴ = ．

故答案为： ．

评论：

本题考察了比率的性质，用 b 表示出 a 是解题的重点，也是本题的难点．

5

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

16．（3 分）（ 2014 年湖南郴州）如图，在矩形 ABCD 中， AB=8 ，BC=10 ，E 是 AB 上一点，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，点 B 落在 AD 边的 F 点上，则 DF 的长为 6 ．

考点： 剖析： 解答：

翻折变换（折叠问题） ． 依据矩形的性质得出

CD=AB=8 ， ∠D=90 °，依据折叠性质得出 CF=BC=10 ，依据

勾股定理求出即可．

解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，

B 落在 AD 边的 F 点上，

∴ AB=DC=8 ， ∠D=90 °， ∵将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，点 ∴ CF=BC=10 ，

在 Rt△ CDF 中，由勾股定理得： DF= 故答案为： 6． 评论：

=

=6，

本题考察了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质的应用，解本题的重点是求出

CF

和 DC 的长，题目比较典型，难度适中． 三、解答题（共 6 小题，满分

36 分）

0

2014

﹣

17．（ 6 分）（ 2014 年湖南郴州）计算： （ 1﹣

） +（﹣ 1） ﹣tan30°+（ ）

2

．

考点： 专题： 剖析：

实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值． 计算题．

原式第一项利用零指数幂法例计算， 第二项利用乘方的意义化简， 第三项利用特别

角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法例计算即可获得结果． 解答： 评论：

解：原式 =1+1﹣ × +9=10．

本题考察了实数的运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．

18．（ 6 分）（ 2014 年湖南郴州） 先化简， 再求值：（ ﹣ ） ，此中 x=2 ．

考点： 剖析： 解答：

分式的化简求值．

先将括号内的部分因式分解，约分后再将除法转变为乘法，而后辈入求值． 解：原式 =[ +

）?

﹣

]?

=（

6

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

= =

? ．

=1．

当 x=2 时，原式 =

评论：

本题考察了分式的化简求值，熟习约分、通分因式分解是解题的重点．

19．（ 6 分）（ 2014 年湖南郴州）在 13×13 的网格图中，已知 △ ABC 和点 M （ 1， 2）． （ 1）以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ ABC 的位似图形 △ A′B′C′；（ 2）写出 △ A ′B′C′的各极点坐标．

考点： 作图 -位似变换．

剖析： （1）利用位似图形的性质即可位

似比为 2，从而得出各对应点地点；

（2）利用所绘图形得出对应点坐标即可．

解答：

解：（ 1）以下图： △ A ′B′C′即为所求；

（2） △ A ′B′C′的各极点坐标分别为：

A ′（ 3， 6）， B ′（ 5， 2）， C′（ 11，）．

7

4

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

评论： 本题主要考察了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题重点．

20．（ 6 分）（ 2014 年湖南郴州）已知直线 l 平行于直线 y=2x+1 ，并与反比率函数 象订交于点 A （ a， 1），求直线 l 的分析式． 考点： 专题： 剖析：

反比率函数与一次函数的交点问题． 计算题．

y= 的图

先依据反比率函数图象上点的坐标特点确立 A （ 1， 1），再设直线 l 的分析式为

y=kx+b ，利用两直线平行获得 的分析式． 解答：

k=2，而后把 A 点坐标代入 y=2x+b 求出 b，即可获得直线 l

解：把 A（ a， 1）代入 y= 得 a=1，则 A 点坐标为（ 1， 1）

设直线 l 的分析式为 y=kx+b ，

∵直线 l 平行于直线 ∴ k=2 ，

y=2x+1 ，

把 A （ 1， 1）代入 y=2x+b 得 2+b=1， 解得 b=﹣ 1， ∴直线 l 的分析式为

y=2x ﹣ 1．

评论： 本题考察了反比率函数与一次函数的交点问题： 反比率函数与一次函数图象的交点坐标知足两函数分析式．也考察了待定系数法求函数分析式．

21．（ 6 分）（ 2014 年湖南郴州） 我市党的民众路线教育实践活动不停推动并初见收效． 某县督导小组为认识民众对党员干手下基层、查民情、办实事的满意度（满意度分为四个等级：

A 、特别满意； B、满意； C、基本满意； D、不满意），在某社区随机抽样检查了若干户居民，并依据检查数据绘制成下边两个不完好的统计图．

请你联合图中供给的信息解答以下问题． （ 1）此次被检查的居民共有200 户； （ 2）请将条形统 计图增补完好．

（ 3）若该社区有 2000 户居民，请你预计这个社区大概有多少户居民对党员干部的满意度是“特别满意 ”．依据统计结果，对党员干部此后的工作有何建议？

考点：

条形统计图；用样本预计总 体；扇形统计图．

8

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

剖析： （1）利用 “特别满意 ”的人数除以它所占的百分比即可得此次被检查的居民户数；

（ 2）此次被检查的居民总户数减去特别满意、基本满意、不满意的人数求得满意的人数，再补全条形统计图即可；

（ 3）用该社区的居民总户数乘以 “特别满意 ”人数占的百分比即可得这个社区对党员干部的满意度是 “特别满意 ”的人数．建议答案不独一． 解答：

解：（ 1） 50÷25%=200 （户），

200 户，

答：此次被检查的居民共有 故答案为： 200；

（ 2） 200﹣50﹣ 20﹣10=120 （户），条形统计图以下：

（ 3） 2000 ×25%=500 （户）， 答：预计这个社区大概有 评论：

500 户居民对党员干部的满意度是

“特别满意 ”．

依据统计结果，看出本社区党员干手下基层、察民情、办实事状况不错，要持续保持．

本题考察扇形统计图与条形统计图的综合能力；

利用统计图获守信息时， 一定仔细

察看、剖析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．（6 分）（ 2014 年湖南郴州） 某日，正在我国南海海疆作业的一艘大型渔船忽然发生险情，有关部门接到求救信号后，立刻调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前去救

援．当飞机抵达距离海面 3000 米的高空 C 处，测得 A 处渔政船的俯角为 60°，测得 B 处发生险情渔船的俯角为 30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保存根号）

考点：

解直角三角形的应用 -仰角俯角问题． 应用题．

在 Rt△ CDB 中求出 BD ，在 Rt△ CDA 中求出 AD ，既而可得 解：在 Rt△CDA 中， ∠ ACD=30 °， CD=3000 米，

米，

AB ，也即此时渔政船

专题： 剖析： 解答：

和渔船的距离．

∴AD=CDtan ∠ ACD=1000

在 Rt△ CDB 中， ∠BCD=60 °，

9

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

∴BD=CDtan ∠ BCD=3000 ∴AB=BD ﹣ AD=2000 答：此时渔政船和渔船相距 评论：

米．

米，

2000 米．

本题考察认识直角三角形的应用， 解答本题的重点是娴熟锐角三角函数的定义，

能

利用已知线段及锐角三角函数值表示未知线段． 四、证明题（共 1 小题，满分

8 分）

23．（ 8 分）（ 2014 年湖南郴州）如图，已知四边形 在同向来线上，且 BE=DF ．求证： AE=CF ．

ABCD 是平行四边形 ，点 E、B 、 D、 F

考点： 专题： 剖析：

全等三角形的判断与性质；平行四边形的性质． 证明题．

依据平行四边形的对边相等可得

AB=CD ， AB ∥ CD ，再依据两直线平行，内错角

相等可得 ∠ABD= ∠ CDB ，而后求出 ∠ ABE= ∠ CDF ，再利用 “边角边 ”证明 △ ABE 和 △ CDF

全等，依据全等三角形对应边相等证明即可． 解答：

证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB=CD ， AB ∥CD ， ∴∠ ABD= ∠ CDB ，

∴ 180°﹣ ∠ ABD=180 °﹣ ∠CDB ，即∠ ABE= ∠CDF ， 在△ ABE 和 △ CDF 中，

，

∴△ ABE ≌△ CDF （ SAS）， ∴ AE=CF ．

评论： 本题考察了全等三角形的判断与性质， 平行四边形的性质， 熟记性质与三角形全等的判断方法求出全等的条件是解题的重点．

五。应用题。

24．（ 8 分）（ 2014 年湖南郴州）为推动郴州市创立国家丛林城市工作，赶快实现 “让丛林走 进城市，让城市拥抱丛林 ”的构思，今年三月份，某县园林办购置了甲、乙两种树苗共 1000 棵，此中甲种树 苗每棵 40 元，乙种树苗每棵 50 元，据有关资料表示：甲、乙两种树苗的成活

率分别为 85% 和 90%．

（ 1）若购置甲、乙两种树苗共用去了46500 元，则购置甲、乙两种树苗各多少棵？ （ 2）若要使这批树苗的成活率不低于88% ，则至多可购置甲种树苗多少棵？

10

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

考点： 剖析：

二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． （1）设购置甲、乙两种树苗各

x 棵和 y 棵，依据甲、乙两种树苗共

1000 颗和甲、

46500 元，列出方程组，进行求解即可；

乙两种树苗共用去了

（ 2）设至多可购置甲种树苗 x 棵，则购置乙种树苗为（ 1000﹣ x）棵，依据这批树苗的成活率不低于 88%，列出不等式，求解即可． 解答：

解：（ 1）设购置甲、乙两种树苗各

，

x 棵和 y 棵，依据题意得：

解得：

，

350 棵和 650 棵；

x 棵，则购置乙种树苗为（

1000﹣ x）棵，依据题意得，

答：购置甲、乙两种树苗各

（2）设至多可购置甲种树苗

≥88%，

解得 x≤400，

答：至多可购置甲种树苗 评论：

400 棵．

解题重点是弄清题意， 找

本题主要考察了二元一次方程组的应用和不等式的应用，

到适合的数目关系，列出方程组和不等式． 六。综合题（本大题

2 小题，每题 10 分，共 20 分）

25．（ 10 分）（2014 年湖南郴州）如图，在 Rt△ ABC 中， ∠BAC=90 °，∠ B=60 °，BC=16cm ， AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 运动，点 N 从点 E 出发，与点 t（ s）．

（1）当 t 为什么值时，点 G 恰好落在线段 AD 上？

（2）设正方形 MNGH 与 Rt△ABC 重叠部分的图形的面积为 形时，求出 S 对于 t 的函数关系式并写出自变量 （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 是等腰三角形？

S，当重叠部分的图形是正方

D， BE=1cm ．点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度 M 同时同方向以相同的速度运动，以

MN 为边在 BC 的上方

N 抵达点 C 时停止运动．设运动时间为

作正方形 MNGH ．点 M 抵达点 D 时停止运动，点

t 的取值范围．

AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为什么值时，△ CPD

考点： 剖析：

相像形综合题；勾股定理．

（1）求出 ED 的距离即可求出相对应的时间

t ；

（2）先求出 t 的取值范围， 分为 H 在 AB 上时，此时 BM 的距离， 从而求出相应的时间． 相同当 G 在 AC 上时，求出 MN 的长度，既而算出 EN 的长度即可求出时间，再经过正方形的面积公式求出正方形的面积；

11

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

（3）分两种状况，分别是 解答：

DP=PC 时和 DC=PC 时，分别 EN 的长度即可求出

cm， DC=12cm ， AD=4

cm．

t 的值．

解：由 ∠ BAC=90 °， ∠ B=60 °， BC=16cm

易知： AB=8cm ，BD=4cm ， AC=8

（ 1） ∵ 当 G 恰好落在线段 AD 上时， ED=BD ﹣ BE=3cm ∴ t= s=3s．

（2） ∵ 当 MH 没有抵达 AD 时，此时正方形 MNGH 是边长为 1 的正方形，令 H 点在 AB 上，则

∠HMB=90 °， ∠ B=60 °， MH=1

∴BM=

cm ∴t=

s

当 MH 抵达 AD 时，那么此时的正方形 MNGH 的边长跟着 N 点的持续运动而增大，令 G 点在 AC 上，

设 MN=xcm ，则 GH=DH=x ， AH=

x， ∵AD=AH+DH=

x+x= x=4

，

∴ x=3 ．

当

≤t≤4 时， SMNGN =1cm

2

当 4＜ t≤6 时， SMNGH =（ t﹣ 3）2cm 2

故 S 对于 t 的函数关系式为：

S= ．

（3）分两种状况：

① ∵当 DP=PC 时，易知此时 N 点为 DC 的中点，

∴MN=6cm

∴ EN=3cm+6cm=9cm ∴ t=9s

故当 t=9s 的时候， △ CPD 为等腰三角形；

② 当 DC=PC 时， DC=PC=12cm ∴NC=6

cm

∴EN=16cm ﹣ 1cm﹣ 6 cm=（ 15﹣ 6

） cm

∴t= （ 15﹣ 6 ） s

故当 t=（ 15﹣ 6 ） s 时， △ CPD 为等腰三角形．

综上所述，当 t=9s 或 t=（ 15﹣ 6

） s 时， △ CPD 为等腰三角形．

评论：

本题充足考察了学生对相像三角形和勾股定理的理解和运用， 本题波及到的知识点许多，有勾股定理．正方形的性质，相像三角形的判断与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．

12

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

2

26．（ 10 分）（ 2014 年湖南郴州）已知抛物线 y=ax+bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）、 B（ 2， 0）、

C （0， 2）三点．

（1）求这条抛物线的分析式；

（2）如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 形 ABPC 的面积最大？求出此时点 （3）如图二，设线段 不存在，请说明原因．

么在直线 DE 上能否存在一点

P 的坐标；

P 运动到什么地点时，四边

AC 的垂直均分线交 x 轴于点 E，垂足为 D， M 为抛物线的极点，那

G 的坐标；若

G，使 △ CMG 的周长最小？若存在，恳求出点

考点： 剖析：

二次函数综合题．

（1）利用待定系数法即可求得；

△ PBC 面积的表达式，而后利用二次函数性质求出最值；

（2）如答图 1，四边形 ABPC 由 △ABC 与 △PBC 构成， △ABC 面积固定，则只要要使得 △PBC 面积最大即可．求出

（3）如答图 2， DE 为线段 AC 的垂直均分线，则点 A、 C 对于直线 DE 对称．连结 AM ，与 DE

交于点 G，此时 △ CMG 的周长 =CM+CG+MG=CM+AM 最小，故点 G 为所求．分别

求出直线 DE 、AM 的分析式，联立后求出点 G 的坐标．

2解：（ 1） ∵抛物线 y=ax +bx+c 经过 A （﹣ 1， 0）、 B（ 2， 0）、C（ 0， 2）三点． 解答：

∴

解得 ，

∴这条抛物线的分析式为：

2

y=﹣ x+x+2 ．

（ 2）设直线 BC 的分析式为： y=kx+b ，将 B （ 2，0）、 C（ 0， 2）代入得：

，解得，

∴直线 BC 的分析式为： y= ﹣ x +2． 如答图 1，连结 BC ．

四边形 ABPC 由 △ ABC 与△ PBC 构成， △ABC 面积固定， 则只要要使得 △ PBC 面积最大即可．

2

设 P（ x，﹣ x+x+2 ），

过点 P 作 PF∥ y 轴，交 BC 于点 F，则 F（ x，﹣ x+2 ）．

13

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

2 2

∴PF=（﹣ x +x+2 ）﹣（﹣ x+2） =﹣ x +2x．

S△PBC=S△PFC+S△PFB= PF（ x ﹣ x ） + PF（ x ﹣ x ） = PF（ x ﹣ x ） =PF

2

F 2

C

B

F

B

C

∴S△PBC=﹣x +2x= ﹣（ x﹣ 1） +1

∴当 x=1 时， △ PBC 面积最大，即四边形

ABPC 面积最大．此时

P（ 1， 2）．

∴当点 P 坐标为（ 1， 2）时，四边形 ABPC 的面积最大．

（3）存在．

∵∠ CAO+ ∠ ACO=90 °， ∠ CAO+ ∠ AED=90 °， ∴∠ ACO= ∠ AED ，又 ∵ ∠CAO= ∠CAO ， ∴△ AOC∽△ADE ，

∴

= ，即 = ，解得AE= ，

∴E（

， 0）．

∵DE 为线段 AC 的垂直均分线，

∴点 D 为 AC 的中点， ∴ D（﹣

， 1）．

可求得直线 DE 的分析式为： y=﹣ x+

① ．

∵y= ﹣ x2+x+2= ﹣（ x﹣ ）2

+ ，∴ M （ ，

）．

又 A （﹣ 1， 0），则可求得直线 AM 的分析式为： y= x+

② ．

∵DE 为线段 AC 的垂直均分线， ∴点 A 、C 对于直线 DE 对称．

如答图 2，连结 AM ，与 DE 交于点 G， 此时 △ CMG 的周长 =CM+CG+MG=CM+AM 最小，故点 G 为所求． 联立 ①② 式，可求得交点 G 的坐标为（﹣

，

）．

∴在直线 DE 上存在一点 G，使 △ CMG 的周长最小，点

G 的坐标为（﹣，

）．

14

历年中考数学模拟试题(含答案).(77)

评论：析式、相像三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点． 本题是二次函数综合题， 难度适中， 综合考察了二次函数的图象与性质、

待定系数法求分15