2021-2022学年度强化训练沪科版九年级数学下册第24章圆同步训练试卷(精选)

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（ ） A．60

B．90

C．120

D．180

2、如图，点A、B、C在O上，ACB50°，则OAB的度数是（ ）

A．100° B．50° C．40° D．25°

3、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离

B．相切

C．相交

D．相交或相切

4、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

5、下列语句判断正确的是（ ）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

6、如图，在Rt△ABC中，BAC90，B30，AB3，以AB边上一点O为圆心作O，恰与边AC，BC分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为（ ）

A．33 B．33 23C．332 23D．232 37、如图，在△ABC中，∠CAB=°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥

AB，则旋转角的度数为（ ）

A．° B．52° C．42° D．36°

8、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

9、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（ ）

A．10 B．62 C．65 D．12

10、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线

AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为_______．

2、如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将ADE绕点A旋转至△ABE，连接EE，若DE2，则EE的长等于______．

3、在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线

AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案

的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < 12122AB． 24、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点

C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点A0,2，B0,8，M为

△ABP的外接圆．

（1）点M的纵坐标为______；

（2）当APB最大时，点P的坐标为______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作

O的切线交AB的延长线于点E，EFAC于点F．

（1）求证：四边形CDEF是矩形；

（2）若CD210，DE2，求AC的长.．

2、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．

圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）

（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°． 求证：线段AB是⊙O的直径． 请你结合图①写出推论1的证明过程．

（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 ．

（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形

ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝22，则DE的长为 ．

3、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝2∠O．

已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联

3结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．

41

（1）求弦AC的长．

（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值． （3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）． 4、综合与实践

“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把MEN三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．

思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．

已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EBAC，垂足为点B，________，EN切半圆O于F．求证：________________．

探究解决：（2）请完成证明过程．

应用实践：（3）若半圆O的直径为12cm，MEN45，求BE的长度．

5、如图，在△ABC是⊙O的内接三角形，∠B＝45°，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于

D．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠OCB＝75°，求△ABC边AB的长．

-参-

一、单选题 1、C 【分析】

根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数． 【详解】

解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是故选C． 【点睛】

本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键． 2、C 【分析】

先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

360=120°． 3【详解】 ∵∠ACB=50°， ∴∠AOB=100°， ∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA= 40°， 故选：C． 【点睛】

本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3、B 【分析】

圆的半径为r, 圆心O到直线l的距离为d, 当dr时，直线与圆相切，当d当dr时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可. 【详解】

解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，

 ⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，  直线l与⊙O的位置关系为相切，

r时，直线与圆相离，

故选B 【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键. 4、C 【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转180能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案． 【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误． B、不是中心对称图形，故B错误． C、是中心对称图形，故C正确． D、不是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键． 5、A 【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可． 【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形， ∴B，C，D都不符合题意； 故选：A． 【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 6、A 【分析】

连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA=∠ACD=30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×331，利用三角形3，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=333121313面积公式求出SAOCOAAC，SDOCODDC，再求出扇形面积2222120121S扇形OAD==，利用割补法求即可．

3603【详解】 解：连结OC，

∵以AB边上一点O为圆心作O，恰与边AC，BC分别相切于点A, D， ∴DC=AC，OC平分∠ACD， ∵BAC90，B30， ∴∠ACD=90°-∠B=60°， ∴∠OCD=∠OCA=∠ACD=30°，

33， 331， 312在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=3∴OD=OA=1，DC=AC=3，

113113∴SAOCOAAC13，SDOCODDC13，

222222∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，

120121=， ∴S扇形OAD=3603S阴影=SAOCSDOCS扇形OAD=故选择A．

3311+=3． 2233

【点睛】

本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键． 7、B 【分析】

先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】 解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=°

∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C=°，

∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×°=52°， ∴旋转角为52°． 故选：B． 【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8、A 【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断． 【详解】

解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 共2个既是轴对称图形又是中心对称图形． 故选：A． 【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 9、D 【分析】

连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论． 【详解】

解：连接OB，OC，

∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=60°． ∵OB=OC，BC=6， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=6．

∴⊙O的直径等于12． 故选：D． 【点睛】

本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键． 10、C 【分析】

根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解． 【详解】

A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】

本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．

二、填空题 1、y3x4## 【分析】

先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案． 【详解】

解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点， ∴令x0，则y4；令y0，则x2， ∴点A为（2，0），点B为（0，4）， ∴OA2，OB4；

过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，

∴AEFAOB90，

∴FAEBAE90ABOBAE， ∴FAEABO， ∵ABE45，

∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF=AB，

∴△ABO≌△FAE（AAS），

∴AO=FE，BO=AE， ∴FE2，AE4， ∴OE422，

∴点F的坐标为（2，2）； 设直线BC为yaxb，则 2ab2a3，解得：， b4b4∴直线BC的函数表达式为y3x4； 故答案为：y3x4； 【点睛】

本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 2、45 【分析】

在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得

EE′的长即可．

【详解】

解：在正方形ABCD中，∠C＝90°， 由旋转得，BE′＝DE＝2， ∴E′C＝8，CE＝4， ∴在直角三角形E′CE中，

EE′＝EC2EC2＝8242＝45．

故答案为45． 【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质与勾股定理的知识，正确的利用旋转和正方形的性质得出直角三角形边长并正确的应用勾股定理是解题的关键． 3、②④ 【分析】

将所给四个条件逐一判断即可得出结论． 【详解】

解：在ΔABC中，ABAC

①当∠BAC > 60°时，若BAC90时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；

②当∠ABC45时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC60时，点E与点O不关于AD对称，当45ABC60时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，

所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件； ③当ABBD12122AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件； 22AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件； 2④当AB < DE < 所以，要使得O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < 故答案为②④ 【点睛】

本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键． 4、22.5 【分析】

122AB 2先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由

OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即

∠BDC=22.5°． 【详解】

解：∵BC是圆O的切线， ∴∠OBC=90°，

∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AO=BC， 又∵AO=BO， ∴BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO=45°， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，

∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键． 5、5 (4，0) 【分析】

（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，APB最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆， ∴点M在线段AB的垂直平分线上， ∵A(0，2)，B(0，8)， ∴点M的纵坐标为：故答案为：5；

（2）过点A0,2，B0,8，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，APB最大， 理由：

若点P是x轴正半轴上异于切点P的任意一点， 设AP交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB， ∵∠AEB是ΔAPE的外角， ∴∠AEB>∠APB，

∵∠APB>∠APB，即点P在切点处时，∠APB最大， ∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5， 而∠POD=90°，

∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD， 由勾股定理，得

12825， 2MD=BM2BD252324，

∴OP=MD=4，

∴点P的坐标为(4，0)， 故答案为：(4，0)．

【点睛】

本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键． 三、解答题

1、（1）见详解；（2）7 【分析】

（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解． 【详解】

（1）证明：∵AC，DE是O的两条切线，EFAC于点F ∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°， ∴四边形CDEF是矩形； （2）∵四边形CDEF是矩形，

∴EF=CD210，CF=DE2， ∵AB，AC，DE是O的两条切线， ∴AB=AC，BE=DE，

设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2， 在RtAEF中，x221022x2，

2解得：x=5， ∴AC=5+2=7． 【点睛】

本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．

2、【推论证明】见解析；【深入探究】3；【拓展应用】13． 【分析】

推论证明：根据圆周角定理求出AOB180，即可证明出线段AB是⊙O的直径；

深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出BCD30，然后根据同弧所对的圆周角相等得到BAD30，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；

拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出AEBC，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出CEDCAD45，EDCEAC30，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求

解即可． 【详解】

解：推论证明：∵C90 ∴AOB180，

∴A，B，O三点共线， 又∵点O是圆心， ∴AB是⊙O的直径；

深入探究：如图所示，连接AB，

∵∠ACB＝90° ∴AB是⊙O的直径 ∴ADB90 ∵∠ACD＝60°

∴BCDACBACD30 ∵DBDB

∴BADBCD30 ∴在RtABD中，BD1AB1 2∴ADAB2BD23；

拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，

∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点 ∴AEBC，CAEBAC30

又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD ∴ADC90，DAC45

∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上， ∵DCDC

∴CEDCAD45 ∵CF⊥DE ∴EFC是等腰直角三角形 ∴EFCF，EF2CF2EC2 ∴2EF2EC2 ∵ECBC121AB2 2212∴2EF2∴FC1

2，解得：EF1

∵ECEC

∴EDCEAC30 ∴在RtFCD中，CD2FC2 ∴DFDC2FC23 ∴DEEFDF13． 【点睛】

此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理． 3、 （1）8 （2）

18145． 2913（3）25或【分析】

（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝CH＝2AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解． （1）

如图2，过点O作OH⊥AC于点H，

1

由垂径定理得：AH＝CH＝2AC， 在Rt△OAH中，tanOAC∴设OH＝3x，AH＝4x， ∵OH2+AH2＝OA2，

OH3， AH41∴（3x）2+（4x）2＝52， 解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去）， ∴OH＝3，AH＝4， ∴AC＝2AH＝8； （2）

如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，

∵∠DEO＝∠AEC，

∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；

ADAD ACD1DOE， 2∴∠ACD≠∠DOE ∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况， ∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A， ∴OD∥AC， ∴

ODOE， ACAE∵OD＝OA＝5，AC＝8，

55AE∴， 8AE∴AE40， 13∵∠AGE＝∠AHO＝90°， ∴GE∥OH，

∴△AEG∽△AOH， ∴

AEEGAG， AOOHAH40EGAG∴1334， 5∴EG24， 13323272，CG8， 131313EG1； CG3∴AG在Rt△CEG中，tanDCA（3）

当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，

由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8， ∵OE＝1， ∴AE＝4，ME＝6， ∵EG∥OH， ∴△AEG∽△AOH， ∴

AEAGEG4， AOAHOH51612，EG＝，

5524， 5∴AG＝

∴GC＝

∴EC＝GC2EG2＝∵AM是直径，

576144125＝， 25255∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， ∴

ECEG， AMAD12512∴5，

510AD∴AD＝25；

当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，

同理可求EG＝

181624，AG＝，AE＝6，GC＝，

5553242562145＝， 25255∴EC＝GC2EG2＝∵AM是直径，

∴∠ADM＝90°＝∠EGC， 又∵∠M＝∠C， ∴△EGC∽△ADM， ∴

ECEG， AMAD214518∴5，

510AD∴AD＝18145， 2918145 29综上所述：AD的长是25或【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．

4、（1）ABBO，EB，EO将MEN三等分；（2）见解析；（3）(1263)cm 【分析】

（1）根据题意即可得；

（2）先证明ABE与OBE全等，然后根据全等的性质可得12，再由圆的切线的性质可得

23，可得三个角相等，即可证明结论；

（3）连OF，延长BC与EN相交于点H，由（2）结论可得12315，再由切线的性质

DHO60，FOH30，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得BH643cm，最后利

用相似三角形的判定和性质求解即可得． 【详解】

解：（1）ABBO，EB，EO将MEN三等分， 故答案为：ABBO；EB，EO将MEN三等分， （2）证明：在ABE与OBE中，

ABOBBEBE， ABEOBE90ABE≌OBESAS， 12． BEOB，

BE是O的切线．

BE、EN都是

O的切线，

23，

123，

EB，EO将MEN三等分．

（3）如图，连OF，延长BC与EN相交于点H，

由（2），知12315．

EH是O的切线，

HFO90，

DHO60，FOH30．

∵半径OF6cm，

∴由勾股定理得，在RtFOH中，

FH23cm，OH43cm，

BHBOOH643cm．

∵BHEFHO， EBHHFO90，

BEH∽FOH，

BEBHBE643，即， FOFH623BE(1263)cm．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，

理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键． 5、（1）见解析；（2）23 【分析】

（1）如图所示，连接OA，由圆周角定理可得∠COA=90°，再由平行线的性质得到∠OAD+∠COA=180°，则∠OAD=90°，由此即可证明；

（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠COB =30°，则∠AOB=120°，可以得到∠OAB=∠OBA=30°，由勾股定理可得，求出

AEOA2OE23，则AB=23．

【详解】

解：（1）如图所示，连接OA， ∵∠CBA=45°， ∴∠COA=90°， ∵AD∥OC，

∴∠OAD+∠COA=180°， ∴∠OAD=90°，

又∵点A在圆O上， ∴AD是⊙O的切线；

（2）连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，

∵∠OCB=75°，OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=75°，

∴∠COB=180°-∠OCB-∠OBC=30°， 由（1）证可得∠AOC=90°，

∴∠AOB=120°， ∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°， 又∵OE⊥AB， ∴AE=BE，

在Rt△AOE中，AO=2，∠OAE=30°， ∴OE=2AO=1， 由勾股定理可得，AEOA2OE23，

1∴AB=23．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．