高考数学经典题解--“不等式”题

1.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么

A.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一 B.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一 C.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一 D.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一 解答： 由平均值不等式知. 答案A .

【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a,b,c,d取值唯一. 更多免费 2．不等式

x2≤0的解集是（ ） x11)A．(，(1，2] ，2] B．[11)C．(，[2，) ，2] D．(1解答： 原不等式可化为x2x10x101x2,故选D.

3.命题“对任意的xR，x3x21≤0”的否定是（ ） A．不存在xR，x3x21≤0

32B．存在xR，xx1≤0

32C．存在xR，xx10

32D．对任意的xR，xx10

解答： 全称命题的否定是存在性命题.答案为C.

【说明】 命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)xy≤1，且x≥0，y≥0，则平面区域B(xy，xy)(x，y)A的面积为（ ） Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

1 2Ｄ．

1 4解答： 令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t）|s≤1,s+t≥0,s-t≥0}.画出可行域可得.SAOB

5. 不等式:

1211.答案为B. 2x1>0的解集为 2x4(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

解答： 令x0，原不等式成立，即可排除B、D，再令x3，原不等式仍成立，故再排除A，所以选C.

【说明】 本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.

116.设a，b，c均为正数，且2alog1a，log1b，log2c．则（ ）

2222Ａ．abc

Ｂ．cba

Ｃ．cab

Ｄ．bac

bc解答： 2alog1a0a2b1; 211log1bb1;2221log2cc12故有ac

27.命题“若x1，则1x1”的逆否命题是（ ）

Ａ．若x≥1，则x≥1或x≤1 Ｃ．若x1或x1，则x1

222Ｂ．若1x1，则x1

Ｄ．若x≥1或x≤1，则x≥1

2解答： A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知.答案为D.

8.已知f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是（ ） (01)，

1)D．(，(1，)

， A．(11)

1) B．(0，

，0)C．(1解答： 因为f (x)为R上的减函数. 所以

1111•,•1解得或1，即-19.（已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；

11m1（Ⅱ）对于n≥6，已知1，求证1，m=1,1,2…，n；

2n3n32nnm（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.

【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.

本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？

解题实践证明：这个猜想是对的. 解答：（Ⅰ）略

（Ⅱ）∵n6,且m1,2,∴0n,知mn.令1x,则1n3x0.

1x1，即01m11（注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）

n3m根据（Ⅰ），1x1m1mx,即110n3n3n.

mnmnmmm10,1，但mn.时，仍有111n3n3n3（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）

（Ⅲ）当0n6时，直接验算：

22显然n=2符合条件：3423

2121. 2n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.

34444n=4时，左边=3456，而右边=437.

3注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.

355555n=5时，左边=34567，而右边=538.

3注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.

故当0n6时，n=2或3.

（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）

当n≥6时，假定存在n0,使得3040nnn020n030成立，则有：

nn34n3n300n0n0n0n201n30n0n01

n034但是：n03n03n01n0=11n3n300nn1n0n0n20 n0311.

n30n00011根据（Ⅱ），右式22111n02212

（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.

（注：当0n6时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.） 综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.