衡水市八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测题(答案解析)

一、选择题

1．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（ ）

A．75 C．55

B．57 D．77

2．如图，ABAD,CBCD,AC、BD相交于点O，则下列说法中正确的个数是（ ） ①ODOB；②点O到CB、CD的距离相等；③BDABDC；④BDAC

A．4 B．3 C．2 D．1

3．如图，AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

4．如图所示，已知AB∥CD，BAC与ACD的平分线交于点O，OEAC于点E，且OE3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（ ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

5．下列四个命题中，真命题是（ ） A．如果 ab＝0，那么a＝0 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．直角三角形的两个锐角互余 D．不是对顶角的两个角不相等 6．下列命题中，真命题是（ ）

A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

7．如图，ABAC，ADAE，A55，C35，则DOE的度数是（ ）

A．105 B．115 C．125 D．130

8．下列说法不正确的是（ ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．有两角及一边对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

9．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）

A．AE=CE；SAS C．∠D=∠B；AAS

B．DE=BE；SAS D．∠A=∠C；ASA

10．如图，ABBC，CDBC，ACBD，则能证明ABCDCB的判定法是(

)

A．SAS B．AAS C．SSS D．HL

11．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（ ）

B．3对

C．4对

D．5对

A．2对

12．如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是BAC的平分线，且AECE．若

ACa,BDb，则四边形ABDC的周长为（ ）

A．1.5(ab) B．2ab C．3ab D．a2b

二、填空题

13．如图，四边形ABCD中，ACBC，ACBADC90，CD10，则

BCD的面积为______．

14．如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌

ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．

15．如图，在Rt△ABC中，C90，AC10，BC5，线段PQAB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AD上运动，当AQ______时，

ABC和△PQA全等．

16．如图，已知ABC的周长是8，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于

D，且OD3，ABC的面积是______．

17．如图所示，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，DEAB，

DFAC，垂足分别是E，F．则下面结论中（1）DA平分EDF；（2）AEAF，DEDF；（3）AD上的点到B，C两点的距离相等；（4）图有3对全等三角形．正确的有________ ．

18．如图，在RtABC中，C90，

B26，则AECADAC，DEAB，交BC于点E．若

______．

19．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边分别为3，m，n，△DEF的三边分别为5，p，q．若△ABC的三边均为整数，则m+n+p+q的最大值为________．

20．如图，在ABC中，ABAC，BDCD，点E，F是AD上的任意两点、若

BC8，AD6，则图中阴影部分的面积为__________．

三、解答题

21．如图，ADCB，ABCD．求证：ABCCDA．

22．如图，直角梯形ABCD中，AD//BC,ABBC,E是AB上的点，且

DECE,DECE，

（1）证明：ABADBC．

（2）若已知ABa，求梯形ABCD的面积．

23．如图，BD//GE，AFG150，AQ平分FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，Q15，求CAQ的度数．

24．作图：已知ABC和线段r，请在ABC内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）

25．如图，已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且CECD，BD的延长线与AE交于点F．求证：BFAE．

26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC

（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．

已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC 求证：AB∥CD

证明：如图2，过点E，作EF∥AB， ∴∠B＝∠

∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知） ∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换） ∴∠ ＝∠ （等式性质） ∴EF∥ ∵EF∥AB

∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝

∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．

（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数． 【详解】

解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠D=28°，

又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°， ∴∠DAE=180°-28°-95°=57°， ∵∠EAB=20°，

∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°． 故选：D． 【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．

2．B

解析：B 【分析】

先根据全等三角形的判定定理得出△ACD≌△ACB，△ABO≌△ADO，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】

解：在△ABC和△ADC中，

AB＝AD∵BC＝CD， AC＝AC∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∠DCA=∠BCA ∴点O到CB、CD的距离相等．故②正确 在△ABO与△ADO中

AB＝ADBAC＝DAC， OA＝OA∴△ABO≌△ADO（SAS）， ∴BO=DO，∠BOA=∠DOA ∵∠BOA+∠DOA=180°

∴∠BOA=∠DOA=90°，即BDAC 故①④正确； ∵AD≠CD

∴BDABDC，故③错误 所以，正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

3．B

解析：B 【分析】

根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD，BC=BD，OC=OD，然后根据”HL”可判断Rt△AOC≌Rt△AOD，Rt△BOC≌Rt△BOD；根据“SSS”可判断△ABC≌△ABD． 【详解】

解：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴AC=AD，BC=BD，OC=OD，

∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），Rt△BOC≌Rt△BOD（HL），△ABC≌△ABD（SSS）． 故选：B． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．

4．B

解析：B 【分析】

过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可． 【详解】

如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB∥CD， ∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm， ∴OM＝OE＝3cm，

∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD， ∴ON＝OE＝3cm， ∴MN＝OM＋ON＝6cm， 即AB与CD之间的距离是6cm， 故选B 【点睛】

此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．

5．C

解析：C 【分析】

根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可． 【详解】

解：A、如果 ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；

B、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意； C、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意； D、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

6．D

解析：D 【分析】

根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．

【详解】

A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误； B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误； C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误； D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】

本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．

7．C

解析：C 【分析】

先判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35，由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】

在△ABE和△ACD中，

ABACBAECAD， AEAD∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C， ∵∠C=35， ∴∠B=35，

∴∠OEC=∠B+∠A=355590， ∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125， 故选：C． 【点睛】

本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．

8．B

解析：B 【分析】

直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的. 【详解】

解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；

B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正

确；

D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．

故选：B 【点睛】

此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、

ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全

等．

9．C

解析：C 【分析】

根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断． 【详解】

解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；

B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；

C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意； D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意； 故选：C 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．

10．D

解析：D 【分析】

直接证明全等三角形，即可确定判断方法. 【详解】

解：∵ABBC，CDBC，

ABC与△DCB均为直角三角形， 又ACDB，BCCB，

∴∴

ABCDCBHL,

故选：D. 【点睛】

本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.

11．C

解析：C 【分析】

认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，

仔细寻找． 【详解】

AD平分BAC， BADCAD，

解：

在ABD与ACD中，

ABACBADCAD， ADADABDACD(SAS)，

BDCD，BC，ADBADC， 又EDBFDC， ADEADF，

AEDAFD，BDECDF，ABFACE． AEDAFD，ABDACD，BDECDF，ABFACE，共4对． 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键．

12．B

解析：B 【分析】

在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长． 【详解】

解：在线段AC上作AF=AB，

∵AE是BAC的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE，

∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，

∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵AECE，

∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中

DCFE∵CEFCED, CECE∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CE=CF，

∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2ab， 故选：B． 【点睛】

本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．

二、填空题

13．50【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E先证明∠CBE=∠ACD从∆CBE进而即可求解【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点而证明∆ACD≅

E∵BE⊥CE∴∠BEC=∠CDA=90°

解析：50 【分析】

∆ CBE，进过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明∆ ACD≅而即可求解． 【详解】

过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠CBE+∠BCE=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD， 在∆ ACD与∆ CBE中，

CBEACD∵CEBADC， BCAC∴∆ ACD≅∆ CBE（AAS）， ∴BE=CD=10， ∴BCD的面积=故答案是50． 【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．

11CD∙BE=×10×10=50， 2214．∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠

解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC） 【分析】

根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌【详解】

∵∠A=∠A，AD=AE，

∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌【点睛】

此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．

ACD；

ACD； ACD； ACD．

故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．

15．5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时∵∴AQ=BC∵AD⊥AC∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ∴≌△PQA（

解析：5或10 【分析】

分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．

【详解】 分两种情况： 当AQ=5时， ∵BC5， ∴AQ=BC， ∵AD⊥AC，

∴∠QAP=∠ACB=90， ∵AB=PQ，

ABC≌△PQA（HL）； 当AQ=10时， ∵AC10， ∴AQ=AC， ∵AD⊥AC，

∴∠QAP=∠ACB=90， ∵AB=PQ，

∴△ABC≌△QPA， 故答案为：5或10． 【点睛】

∴

此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．

16．12【分析】连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA过O作OE⊥AB于EOF⊥AC于F∵OBOC分别平分

解析：12 【分析】

连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】

解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB， OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD=3， ∴OE=OD=3，OF=OD=3， ∵△ABC的周长是8， ∴AB+BC+AC=8，

∴△ABC的面积S=S△ABO+S△BCO+S△ACO ====

111×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF 222111×AB×3+×BC×3+×AC×3 2221×3×（AB+BC+AC） 21×3×8 2=12， 故答案为：12． 【点睛】

本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．

17．（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC中AB=ACAD是△ABC的平分线可知直线AD为△ABC的对称轴再根据图形的对称性逐一判断【详解】解：（1）∵在中是的角平分线∴∵∴∴∴平分故（1）正确；（

解析：（1）（2）（3）（4） 【分析】

在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，可知直线AD为△ABC的对称轴，再根据图形的对称性，逐一判断． 【详解】

解：（1）∵在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线， ∴BADCAD． ∵DEAB，DFAC，

ADE90BAD，ADF90CAD， ∴ADEADF，

∴

∴DA平分EDF，故（1）正确； （2）由（1）可知，ADEADF， 在AED和AFD中，

EADFAD,ADAD, ADEADF,∴

AEDAFDASA，

∴AEAF，DEDF，故（2）正确； （3）在AD上取一点M，连结BM，CM．

在ABM和ACM中，

ABACBADCAD AMAM∴

ABMACMSAS，

∴BMCM，故（3）正确； （4）在ABD和ACD中，

ABACBADCAD ADAD∴

ABDACDSAS．

∵DEAB，DFAC， ∴∠AED=∠AFD=90° 在ADE和ADF中，

AED=AFDBADCAD ADAD∴∵

ADEADFAAS． ABDACD

∴∠ABC=∠ACB，BD=CD， ∵DEAB，DFAC， ∴∠BED=∠CFD 在

BED和△CFD中，

EBDFCDBEDCFD BDCD∴

BEDCFDAAS，

∴图有3对全等三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形全等是正确解答本题的关键．

18．58【分析】根据∠C=90°AD=AC证明

Rt△CAE≌Rt△DAE∠CAE=∠DAE=∠CAB再由∠C=90°∠B=26°求出∠CAB的度数然后即可求出∠AEC的度数【详解】解：∵在△ABC中∠C

解析：58 【分析】

根据∠C=90°，AD=AC证明Rt△CAE≌Rt△DAE，∠CAE=∠DAE=∠B=26°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数． 【详解】

解：∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB交BC于点E， ∴∠ADE=∠C=90°， 在Rt△ACE和Rt△ADE中，

1∠CAB，再由∠C=90°，2AC＝AD∵，

AE＝AE∴Rt△CAE≌Rt△DAE， ∴∠CAE=∠DAE=

1∠CAB， 2∵∠B+∠CAB=90°，∠B=26°， ∴∠CAB=90°-26°=°， ∵∠AEC=90°-

1∠CAB=90°-32°=58°． 2故答案为：58． 【点睛】

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证Rt△CAE≌Rt△DAE．

19．22【分析】由三角形全等性质可得mn中有一边为5pq中有一边为3mn与pq中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE

解析：22 【分析】

由三角形全等性质可得m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m、n与p、q中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q的最大值． 【详解】 ∵△ABC≌△DEF，

∴m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等， ∵3+5=8，

∴两三角形剩余两边最大为7， ∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7=22． 【点睛】

本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键 ．

20．12【分析】利用SSS证明△ADC≌△ADB可得△ABD的面积=△ACD的面积通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD的面积再利用三角形的面积公式可求解【详解】解：∵AB=ACBD=CDAD=AD∴△A

解析：12 【分析】

利用SSS证明△ADC≌△ADB，可得△ABD的面积=△ACD的面积，通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解． 【详解】

解：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ADC≌△ADB（SSS）， ∴S△ADC=S△ADB， ∵BC=8， ∴BD=4， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∴EB=EC，FB=FC， ∵EF=EF，

∴△BEF≌△CEF（SSS） ∴S△BEF=S△CEF， ∵AD=6， ∴S阴影=S△ADB=

11BD•AD＝×4×6＝12． 22故答案为：12． 【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解S阴影=S△ADB是解题的关键．

三、解答题

21．见解析 【分析】

根据SSS可证明△ABD≌△CDB，即可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，进而可证明结论． 【详解】

在ABD和CDB中

ABCDADCB BDDBABDCDB(SSS)

ABDCDB

ADBCBD

ABCABDCBD

CDACDBADB ABCCDA 【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS证明△ABD≌△CDB是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）【分析】

（1）由DE垂直于EC，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，又三角形BEC为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及DE＝CE，利用AAS可得出三角形AED与三角形BCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝EB，AE＝BC，由AB＝AE+EB，等量代换可得证；

（2）由第一问的结论AB＝AD+BC，根据AB＝a，得出此直角梯形的上下底之和为a，高为a，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积． 【详解】

解：（1）证明：∵DE⊥EC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠AED+∠BEC＝90°， 又AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠BCE+∠BEC＝90°， ∴∠AED＝∠BCE， 又AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝∠B＝90°，

12

a 2在△AED和△CBE中，

AB ， AEDBCE EDCE ∴△AED≌△CBE（AAS）， ∴AD＝EB，AE＝BC， 则AB＝AE+EB＝BC+AD；

（2）由AB＝a，及（1）得：AB＝BC+AD＝a， 则S直角梯形ABCD＝【点睛】

此题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，以及梯形的面积公式，利用了转化的思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键，本题在做第二问时注意运用第一问的结论． 23．∠CAQ＝65° 【分析】

先根据三角形外角和定理求出∠EHQ的度数，再根据平行的性质和判定证明DE∥AF，可以求出∠FAQ的度数，再由角平分线的性质即可得出结果． 【详解】

解：∵∠EHQ是△DHQ的外角， ∴∠EHQ＝∠1+∠Q＝65°， ∵BD∥GE， ∴∠E＝∠1＝50°， ∵∠AFG＝∠1＝50°， ∴∠E＝∠AFG， ∴DE∥AF，

∴∠FAQ＝∠EHQ＝65° ， ∵AQ平分∠FAC， ∴ ∠CAQ＝∠FAQ＝65°． 【点睛】

本题考查角平分线的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解． 24．图见解析． 【分析】

根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在ACB的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可． 【详解】

如图，先作ACB的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与ACB角平分线的交点即为点P．

11AB•（BC+AD）＝a2． 22

【点睛】

本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键． 25．证明见解析 【分析】

根据题意可以得到△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立． 【详解】

证明：∵ACB90 ∴ACEBCD90 在△ACE和△BCD中，

CACBACEBCD CECD∴

ACEBCD(SAS)

∴CAECBD

∵Rt△ACE中，CAEE90， ∴CBDE90， ∴BFE90 ∴BFAE 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答．

26．（1）BEF，C，CEF，CD；（2）证明见解析；（3）∠E＝2∠F 【分析】

（1）过点E，作EF∥AB，根据内错角性质即可得出∠B＝∠BEF，利用等量代换即可证出∠C＝∠CEF，进而得出EF∥CD．

（2）如图3，过点N作NG∥AB，交BM于点G，可以知道NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，进而得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．

（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质

和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】

（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，

∴∠B＝∠BEF，

∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）， ∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）， ∴∠C＝∠CEF（等式性质）， ∴EF∥CD， ∵EF∥AB，

∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）； 故答案为：BEF，C，CEF，CD；

（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G， 则NG∥AB∥CD， ∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD， ∵∠BMN是△BCM的一个外角， ∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，

又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC， ∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC， ∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD， ∵CN平分∠BCD， ∴∠BCM＝∠NCD， ∴∠CBM＝∠ABN．

（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD， ∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE， 同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF， ∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F， ∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF， ∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．

【点睛】

本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．