二次函数-专题(完整版-可打印)

二次函数y=ax(a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数y=ax(a≠0) 与yax2ca0的图象，并结合图象理解抛物线、对

2

22

称轴、顶点、开口方向等概念；

3. 掌握二次函数y=ax(a≠0) 与yax2ca0的图象的性质，掌握二次函数yax2a0与

2

（上加下减）. yax2ca0之间的关系；

【要点梳理】

要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念

2

一般地，形如y=ax+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax+c； 若c=0，则y=ax+bx； 若b=c=0，则y=ax.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①

（a≠0）；②

（a≠0）；③

（a≠0）；④

2

2

2

2

（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：

如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点诠释：

2

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

要点二、二次函数y=ax（a≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x有最低点，所以函数y=x有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点诠释：

二次函数y=ax(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

3.二次函数y=ax(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax（a≠0）的图象的性质，见下表：

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2

函数 y=ax a>0 2图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，x增大而增大； y最小=0 x<0时，y随x增大而减小. y=ax a<0 2向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，x增大而减小； y最大=0 x<0时，y随x增大而增大.

要点诠释：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，•图象两边越靠近x轴. 要点三、二次函数y=ax+c(a≠0)的图象及性质 1.二次函数y=ax+c(a≠0)的图象 （1）a0

（2）a0 2

2

yjyjyax2cc0

cyax2cc0

OxOxcyjcyjOOxc x yaxcc0

2 yax2cc0

2.二次函数y=ax+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数yaxc(a0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

函数 22

yax2c(a0,c0) yax2c(a0,c0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值

3.二次函数yax2a0与yax2ca0之间的关系；（上加下减）.

【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到yax2ca0的yax2a0的图象向上（c＞0）图象.

要点诠释：

抛物线yaxc(a0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线yax(a0)的形状相同．

函数yaxc(a0)的图象是由函数yax(a0)的图象向上（或向下）平移|c|个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．

2

抛物线y＝ax(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】

2222 向下 (0，c) y轴 当x0时，y随x的增大而减小； 当x0时，y随x的增大而增大. 当x0时，y最大值c 向上 (0，c) y轴 当x0时，y随x的增大而增大； 当x0时，y随x的增大而减小. 当x0时，y最小值c 类型一、二次函数的概念

1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）．

A. y=3x﹣1 B. y=ax+bx+c C. s=2t﹣2t+1 D．y=x+ 【答案】C；

222

【解析】A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；

B、y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；

2

C、s=2t﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x+不是二次函数，故D错误； 故选：C．

【总结升华】本题考查了二次函数的定义，y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．

举一反三：

【变式】如果函数y(m3)xm22

2

2

3m2mx1是二次函数，求m的值．

m23m22,【答案】 根据题意，得 解得m＝0．

m30,

类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

2．函数y＝x的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，

2

1)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”4或“＝”号)． 【答案】＜.

【解析】解法一：将A(a，15)，Bb,∴ a15；

122分别代入y＝x中得：15a， 41b2， 41， 2 又A、B在抛物线对称轴左侧，∴ a＜0，b＜0，即a15，b ∴ ab1510 22

解法二：画函数y＝x的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，

又∵ 151，a＜b，即a-b＜0． 4【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用

了数形结合的思想．

举一反三：

【高清课堂：二次函数y=ax (a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质 高清ID号： 391918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】

【变式1】二次函数yax与y2x的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a ． 【答案】2；

【高清课堂：二次函数y=ax (a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质 高清ID号： 391918 关联的位置名称（播放点名称）：练习题1】 【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x不具有的性质是（ ）． A.开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点 【答案】A.

2

222222类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

3．求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线y12x3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线． 【答案与解析】

（1）由于待求抛物线y121x3形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为， 2212又顶点坐标是（0，-5），故常数项k5，所以所求抛物线为yx5．

22（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为yax1，

又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ 9a12，解得a． ∴ 所求抛物线为y1312x1． 3【总结升华】抛物线形状相同则|a|相同，再由开口方向可确定a的符号，由顶点坐标可确定k的值，

从而确定抛物线的解析式yaxk．

24．在同一直角坐标系中，画出

yx2和yx21的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问

题．

(1)抛物线yx1向________平移________个单位得到抛物线yx；

(2)抛物线，yx1开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线yx1，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．

(1)抛物线yx1向 下 平移 1__个单位得到抛物线yx；

(2)抛物线，yx1开口方向是 向下 ，对称轴为___ y轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；

(3)抛物线yx1，当x ＞0时，y随x的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y有最 大 值，其最 大__值是 1 ．

【总结升华】本例题把函数yx1与函数yx的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出

2二次函数yaxk(a0)与yax(a0)的图象形状相同，只是位置上下平移的结

222222222222论．yaxk(a0)可以看作是把yax(a0)的图象向上(k0)或向下(k0)平移

2|k|个单位得到的．

二次函数y=ax(a≠0)与y=ax+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题 1．（2014秋•石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）.

①y=x+；②y=3（x﹣1）+2；③y=（x+3）﹣2x；④y=A．4个 B．3个 C.2个 D．1个 2．函数y(m3)x|m|122

222

+x．

3x1是二次函数，则m的值是( )．

A．3 B．-3 C．±2 D．±3

3．把抛物线yx向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．

2 A．yx1 B．y(x1) C．yx1 D．y(x1)

22224．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的

函数关系式为( )．

222

A．y＝60(1-x) B．y＝60(1-x) C．y＝60-x D．y＝60(1+x) 5．在同一坐标系中，作出y2x，y2x，y2212． x的图象，它们的共同点是（ ）

2A．关于y轴对称，抛物线的开口向上 B．关于y轴对称，抛物线的开口向下 C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y12x(x0)，若汽车某次20的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为( )．

A．40 m/s B．20m/s C．10 m/s D．5 m/s 二、填空题

2

7．已知抛物线的解析式为y＝-3x，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，

当x＞0时，y随x的增大而________．

2

8．若函数y＝ax过点(2，9)，则a＝________．

2

9．已知抛物线y＝x上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，

则△AOB的面积为________． 10．函数yx，y212x、y3x2的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数2关系式是_____________________．

第10题 第12题

2

11．（2015•巴中模拟）对于二次函数y=ax，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是 ． 12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的边长

2

为x米，则菜园的面积y(单位：米)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(不要求写自变量的取值范围)．

三、解答题

13．已知y(m2)xm2m是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．

(1)求m的值；(2)画出函数的图象．

14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式．

15．（2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m） （1）求a，m的值；

（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

2

二次函数y=a（x-h)+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数ya(xh)k(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线ya(xh)k与yax图象之间的关系；

2.熟练掌握函数ya(xh)k的有关性质，并能用函数ya(xh)k的性质解决一些实际问题；

223.经历探索ya(xh)k的图象及性质的过程，体验ya(xh)k与yax、yaxk、

22222222

ya(xh)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【要点梳理】

2要点一、函数ya(xh)(a0)与函数ya(xh)k(a0)的图象与性质

21.函数ya(xh)(a0)的图象与性质

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，0 x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． a0

向下 h，0 x=h 2.函数ya(xh)k(a0)的图象与性质

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，k h，k x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． a0

要点诠释：

向下 x=h 二次函数ya(xh)+k(a≠0）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

2

要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：

k； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，2

2.平移规律：

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

22yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

【典型例题】

类型一、二次函数ya(xh)2k(a0)图象及性质

1．将抛物线y2(x1)3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；

(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向． 【答案与解析】

抛物线y2(x1)3的顶点为(1，3)．

(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，

所以a＝2，得到抛物线解析式为y2(x1)2x4x2． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则a2，

2222

所得抛物线解析式为y2(x1)32x4x1．

(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ a2．故所得抛物线解析式为y2(x1)32x4x5．

【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a的符号，故可利用移动

后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式． 举一反三：

【变式】将抛物线y3x向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式

为 ． 【答案】y3x12x7.

2．把抛物线求b，c的值. 【答案与解析】

根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以

向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

，

222222【总结升华】把抛物线

也就意味着把抛物线

.

举一反三：

【变式】二次函数y向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，

向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线

11(x3)24的图象可以看作是二次函数yx2的图象向 平移4个单位，22再向 平移3个单位得到的．

【答案】上；右.

类型二、二次函数ya(xh)2k(a0)性质的综合应用

23．已知y1a(xh)与y2kxb的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．

(1)确定此二次函数和直线的解析式； (2)当y1y2时，写出自变量x的取值范围．

【答案与解析】

2(1)∵ y1a(xh)，y2kxb的图象交于A、B两点，

1a(0h)kb0,∴ 且 2b1.0a(1h)2a1,k1,解得 且

h1,b1.∴ 二次函数的解析式为y(x1)，直线方程为yx1． (2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，y1y2．

【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．

4.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的 坐标．（注：抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=-22b）. 2a 2【思路点拨】（1）已知抛物线的顶点为A（2，1），设抛物线为顶点式y=a(x-h)+k，把点O（0，0）代入即可求解析式； （2）由抛物线的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），根据对称性得出与x轴的另一个交点B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积； （3）将点P（m，-m）代入y=-1122（x-2）+1，得出-m=-（m-2）+1，解方程求出m的值，44得到P点坐标，再根据对称性即可求出P关于抛物线对称轴对称点Q的坐标． 【答案与解析】 2解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）+1， 将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0， 解得a=-1． 412（x-2）+1； 4所以二次函数的解析式为y=-

（2）∵抛物线y=-12（x-2）+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0）， 4∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0）， ∴S△AOB =1×4×1=2； 212（x-2）+1上一点， 4（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-∴-m=-12（m-2）+1， 4解得m1=0（舍去），m2=8， ∴P点坐标为（8，-8）， ∵抛物线对称轴为直线x=2， ∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.

【总结升华】考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，难度适中．充分利用抛物线的对称性是解题的关键．

二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题

1.抛物线y(x2)3的顶点坐标是（ ）

A．(2，-3) B．(-2，3) C．(2，3) D．(-2，-3)

2122

x+2x+1写成y=a(x－h)+k的形式是（ ） 2111122122

A.y=(x－1)+2 B.y=(x－1)+ C.y=(x－1)－3 D.y=(x+2)－1

2222212

3．抛物线y=x向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )

211112222

A.y=(x+3)－2 B.y=(x－3)+2 C.y=(x－3)－2 D.y=(x+3)+2

22222.函数y=

4．把二次函数yx2x1配方成顶点式为（ ）

2A．y(x1) B． y(x1)2 C．y(x1)1

222 D．y(x1)2

25．由二次函数y2(x3)1，可知（ ）

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x3 C．其最小值为1 D．当x3时，y随x的增大而增大

22

6．在同一坐标系中，一次函数yax1与二次函数yxa的图象可能是（ ）

二、填空题

7. 抛物线y=-2（•x+•3）•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．

2

8．已知抛物线y=－2(x+1)－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____. 9．抛物线y=－3(2x－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.

10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．

11．将抛物线yx2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．

22

2

12．抛物线y2(x2)6的顶点为C，已知ykx3的图象经过点C，则这个一次函数的图象与

两坐标轴所围成的三角形面积为________．

三、解答题

13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．

14. 已知抛物线y212x向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 22抛物线ya(xh)k； （1）求出a，h，k的值；

（2）在同一直角坐标系中，画出ya(xh)k与y2212x的图象； 2（3）观察ya(xh)k的图象，当x________时，y随x的增大而增大；

当x________时，函数y有最________值，最________值是y________； （4）观察ya(xh)k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？

15．已知抛物线ya(x2)1的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且S△AOB3，

求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；

(2)x为何值时，y随x增大而减小?

22

二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 会用描点法画二次函数yaxbxc(a0)的图象；会用配方法将二次函数yaxbxc的解析式写成ya(xh)k的形式；

2.通过图象能熟练地掌握二次函数yaxbxc的性质；

3.经历探索yaxbxc与ya(xh)k的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．

【要点梳理】

要点一、二次函数yaxbxc(a0)与ya(xh)k(a0)之间的相互关系 1.顶点式化成一般式

从函数解析式ya(xh)k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称

2222222222

ya(xh)2k为顶点式，将顶点式ya(xh)2k去括号，合并同类项就可化成一般式yax2bxc．

2.一般式化成顶点式

22bbbb222yaxbxcaxxcaxxc

aa2a2ab4acb2 ax． 2a4a4acb2b对照ya(xh)k，可知h，k．

4a2a22b4acb2b,∴ 抛物线yaxbxc的对称轴是直线x，顶点坐标是．

2a4a2a2要点诠释：

b4acb2b,1．抛物线yaxbxc的对称轴是直线x，顶点坐标是，可以当作公

2a2a4a2式加以记忆和运用．

2．求抛物线yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数yaxbxc(a0)的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线yaxbxc与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数yaxbxc(a0)的图象与性质 1.二次函数yaxbxc(a0)图象与性质 函数 二次函数yaxbxc（a、b、c为常数，a≠0） 222222a0 图象 a0 开口方向 对称轴 向上 直线x向下 b 2a直线xb 2a顶点坐标 b4acb2, 2a4a在对称轴的左侧，即当xb4acb2, 2a4a增减性 bb时，y随x的增在对称轴的左侧，即当x时，y2a2ab随x的增大而增大；在对称轴的右侧，大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，b2a即当x时，y随x的增大而减y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当xbb时，y有最小值，抛物线有最高点，当x时，y有2a2a

y最小值

4acb2 4a最大值，y最大值4acb2 4a2.二次函数yaxbxc(a0)图象的特征与a、b、c及b-4ac的符号之间的关系

2

2

项目 字母 a b 字母的符号 a＞0 a＜0 ab＞0(a，b同号) ab＜0(a，b异号) c=0 c 2图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 c＞0 c＜0 b-4ac=0 b-4ac

2b-4ac＞0 b-4ac＜0 22要点四、求二次函数yaxbxc(a0)的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当x2b时，2ay最值4acb2．

4a要点诠释：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看b是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若2a4acb2b在此范围内，则当x时，y最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围

4a2a内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，y最大值ax2bx2c；当x＝x1时，y最小值ax1bx1c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，y最大值=ax1+bx1+c；当x＝x2时，y最小值=ax2+bx2+c，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，x时y值的情况．

2222b2a

【典型例题】

类型一、二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质

1．求抛物线y【答案与解析】

12xx4的对称轴和顶点坐标． 21211xx4(x22x)4(x22x11)4 222112 (x1)4

22172 (x1)．

22解法1（配方法）：y∴ 顶点坐标为1,解法2（公式法）：∵ a7，对称轴为直线x1． 21b，b1，c4，∴ x22a112()21，

14(4)1224acb72． 4a2142∴ 顶点坐标为1,解法3（代入法）：∵ a∴ x7，对称轴为直线x1． 21，b1，c4， 2b2a11． 122将x1代入解析式中得，y114∴ 顶点坐标为1,1227． 27，对称轴为直线x1． 2【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式

b4acb2化成顶点式；（2）用顶点公式（3）利用公式先求顶点的横坐,直接代入求解；

4a2a标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数yaxbxc(a0)的图象与性质 高清ID号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题1】 【变式】把一般式y2x8x6化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；

（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.

2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3，0)，则点A

的坐标是_______．

22

【答案】(23，0)．

【解析】由抛物线的对称性知，A、B两点关于直线x＝1对称，设点A的坐标是(x1，0)则有所以x123，即点A的坐标是(23，0)．

x131，2【总结升华】本题若由顶点(1，1)及B(3,0)求出抛物线解析式，再令y＝0求出A点坐标，则运算量

很大，而利用抛物线的对称性解题简捷得多．注意A、B关于直线x＝a对称，则

xAxBa． 2类型二、二次函数yax2bxc(a0)的最值

3．求二次函数y【答案与解析】

121x3x的最小值. 22

12111(x6x)(x26x329) 222212 (x3)4，

2解法1(配方法)：∵ y ∴ 当x＝-3时，y最小4．

110，b＝3，c 22b3∴ 当x3时，

12a221143224acb1922y最小4．

14a2421212 解法3(判别式法)：∵ yx3x，∴ x6x(12y)0．

22 解法2(公式法)：∵ a ∵ x是实数，∴ △＝6-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4． ∴ y有最小值-4，此时x6x90，即x＝-3．

【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程

度灵活去选择．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数yaxbxc(a0)的图象与性质 高清ID号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题2】

【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，

矩形场地的面积S最大？ 【答案】SL(30L)

22

2(L230L) (L15)2225

（0L15（m）时，场地的面积S最大，为225m2．

类型三、二次函数yax2bxc(a0)性质的综合应用

4．已知二次函数yxbxc1的图象过点P(2，1)． （1）求证：c2b4； （2）求bc的最大值．

2

【答案与解析】

（1）∵ yxbxc1的图象过点P(2，1)，

∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．

（2）bcb(2b4)2(b2b)2(b1)2．

∴ 当b1时，bc有最大值．最大值为2．

【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可．

（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解．

222二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）

【巩固练习】 一、选择题

1. 将二次函数yx2x3化为y(xh)k的形式，结果为（ ）．

A．y(x1)4 B．y(x1)4 C．y(x1)2 D．y(x1)2 2．已知二次函数yaxbxc的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．

2222222

A．a0 B．c0 C．b4ac0 D．abc0

3．若二次函数yxbx5配方后为y(x2)k，则b、k的值分别为（ ）． A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，1

4．抛物线yxbxc的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式

为yx2x3，则b、c的值为（ ）．

A.b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b= -2，c= -1 D. b= -3，c=2

5．已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值( )

A. 等于0 B.等于1 C. 等于-1 D. 不能确定

6．二次函数y=ax+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )

2

2

22222 二、填空题

7．二次函数y2x4x1的最小值是________．

2

8．已知二次函数yax2axc，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________． 9．二次函数yxbxc的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________． 10．二次函数yxmx3的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．

222

第10题 第11题

2

11．如图二次函数y=ax+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ；

第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.

2

12．已知二次函数y=x-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC

的面积等于10，则C点的坐标为__ __. 三、解答题

13．（1）用配方法把二次函数yx4x3变成y(xh)k的形式； （2）在直角坐标系中画出yx4x3的图象；

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)是函数yx4x3图象上的两点，且x1x21，

请比较y1、y2的大小关系．

14. 如图所示，抛物线yax5ax4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

22222

15.已知抛物线y125x3x： 22 (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减

小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？