偏微分方程答案

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x0,xl两点则相应的边界条件为

u(0,t)0,u(l,t)0.

ux|xl等于零，因此相应的边界条件

(2)若xl为自由端，则杆在xl的张力

u为 x|xl=0

T(l,t)E(x)u同理，若x0为自由端，则相应的边界条件为 x∣x00

(3)若xl端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出，则在xl端支承的伸长为u(l,t)v(t)。由虎克定律有

ux∣xlk[u(l,t)v(t)]

E其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件

1

(uku)E x∣xlf(t) 其中

特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)0,得边界条件

uu)x∣xl0。

(同理，若x0端固定在弹性支承上，则得边界条件

ux∣x0k[u(0,t)v(t)]

Euu)即 x∣x0f(t).

(x2ux22uE[(1)](1)hxht2 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 x其中h为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x

点处截面的半径l为：

xh

l12

xs(x)(1)2h。利用第1题，得 所以截面积

x22ux2u(x)(1)[E(1)]2htxhx

若E(x)E为常量，则得

x2ux22uE[(1)](1)xhxht2

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪

1. 证明方程

22xu1x2uh0常数1212xhxaht

的通解可以写成

FxatGxathx

u其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:

ux.t

t0:ux,解：令hxuv则

vhxuuv,hx2uhxuxxxx3

vu2v2u2u[(hx)(u)(hx)(hx)(hx)(u2)xxxxxx

2u2vhx22tt 又

代入原方程，得

2v12vhx22hx2xat 2v12v222at 即 x由波动方程通解表达式得

vx,tFxatGxat

FxatGxathx

所以

u为原方程的通解。

由初始条件得

1FxGxhxx(1)

x

1aF/xaG/xhx

4

x所以

1FxGxhdcax0(2)

由(1),(2)两式解出

11cFxhxxhd22ax2ox

11cGxhxxhd22ax2ox

所以

u(x,t)1[(hxat)(xat)(hxat)(xat)]2(hx)

xat1xat(h)()d.2a(hx)+

即为初值问题的解散。

２．问初始条件(x)与(x)满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？

解：波动方程的通解为

u=F(x-at)+G(x+at)

5

其中F，G由初始条件(x)与(x)决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对

于任何x,t有 G(x+at)常数.

即对任何x, G(x)C

011xC(x)()d2ax02a 又 G（x）=2所以(x),(x)应满足

1x()dC1x(x)0a （常数）

1(x)'或 (x)+a=0

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

22u2u2a2txuxat0(x)u(x).xat0 (0)(0)

解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 (x)=F（0）+G（2x）

6

令 x+at=0 得 (x)=F（2x）+G(0)

x2-G(0).

所以 F(x)=

()x() G（x）=2-F(0).

且 F（0）+G(0)=(0)(0).

xatxat)()(22-(0). 所以 u(x,t)=+

即为古尔沙问题的解。

6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题

utta2uxxut0x,utt00x0xu0,t0t0

解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：

11ux,txatxatdat22axxat。

由题意知x,x仅在0x上给出，为利用达朗贝尔解，必须将x,x开拓到

x0上，为此利用边值条件，得

7

at10atatd2at。

因此对任何t必须有

atat

atatd0

即x,x必须接奇函数开拓到x0上，记开拓后的函数为x,x；

x0x,xx,x0x0x,xx0 x,所以

11ux,txatxatd22axatxat11d,xatxat22axatxat112xatatx2ad,atxxatttx,x0ax,x0a 。

8．求解波动方程的初值问题

2u2ut2x2tsinxuu0,|t0sinxt0t

8

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

tx(t)

11u(x,t)sindsindd2xt20x(t)xt

t =

11[cos(xt)cos(xt)][cos(x(t))cos(x(t))]d220

t =

sinxsintsinxsin(t)d0

=

sinxsintsinx[cos(t)sin(t)]t0

=tsinx

即 u(x,t)tsinx 为所求的解。

§3混合问题的分离变量法

1. 用分离变量法求下列问题的解：

3a34l3u(x,t)costsinx4lla(1) 1(1)nannsintsinx4ll nn1(1)n2n12n1u(x,t)2cosatsinx22l2ln0(2n1)(2)

8h9

5．用分离变量法求下面问题的解

22u2ubshx2a2xtu|t00u|t0tu|x0u|xl0 

解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为

nxl

Xn(x)sin(n1,2,)

设

u(x,t)Tn(t)sinn1nxl

将非次项bshx按

{sinnx}l展开级数，得

bshxfn(t)sinn1nxl

其中

2bn(1)n1fn(t)shxsinxdx2222bnshlllnl0l

将

u(x,t)Tn(t)sinn1nxl代入原定解问题，得Tn(t)满足

an22bn)Tn(t)(1)n1222shlTn(t)(lnlTn(0)0,Tn(0)0

10

方程的通解为

ananl22bntBnsint()222(1)n1shlllannl

Tn(t)Ancos由Tn(0)0，得：

An(l22bn)222(1)n1shlannl

由Tn(0)0，得Bn0

所以

Tn(t)(122bnan)222(1)n1shl(1cost)annll

所求解为

2bl2(1)n1annu(x,t)2shl(1cost)sinx222ll an1n(nl)

§4 高维波动方程的柯西问题

2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。

解：三维波动方程的柯西问题

2utta(uxxuyyuzz)ut0(x,y,z),utt0(x,y,z)

当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：

11

ua2ttuzzut0(z),utt0(z)

利用泊松公式求解

u11 t{4ads}Mr4adsMrSatSat

因只与z有关，故

2ds(zatcos))2sinddMrSat00at(at2d(zatcos)atsind00

令z+atcos =,-atsin d =d 

zatds2()d得

MrSatzat

所以

zatzatu(z,t)1t2a()d1()dzat2azat

12

zat11{(zat)(zat)}at()d22az

即为达郎贝尔公式。

§5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性

1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程

2uauxxcut tt

证明其能量是减少的，并由此证明方程

utta2uxxcutf

的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。

证：1 首先证明能量是减少。

能量

E(t)(ut2a2ux2)dx0l

l0dE(t)(2ututt2a2uxuxt)dxdt0l

2ututtdx2a[uxut|utuxxdx]002ll

13

l02ut(uttauxx)dx2auxut|22l0

因弦的两端固定， u|x00,u|xl0,所以

ut|x00,ut|xl0

dE(t)2ut(utta2uxx)dxdt0l于是

2cut2dx00l (c0)

因此，随着t的增加，E(t)是减少的。

5）。证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程

（1）lnr和

证： 令ulnr,由第1题知,u为调和函数。

2vv2v令v,则显然20,0,20,故rr

2v1v12vu20rrr22r

14

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

1． 化下列方程为标准形式

（1）

uxx4uxy5uyyux2uy0

（2）

x2uxx2xyuxyy2uyy0

（3）

uxxyuyy0

（4）

uxx2cosxuxy(3sin2x)uyyyuy0

（5）

(1x2)uxx(1y2)uyyxuxyuy0

解：（1）

uxx4uxy5uyyux2uy0

因 4510，方程为椭圆型。

特征方程为

dydy450dxdx

dy2i,y(2i)xc1,y2xixc2解之得 dx

215

2xy因此引变换 x

uuu2 有 x2u2u2u2u2u2u2u2u2(22)2242422 xuu(1)y

2u2u2u(1)2(1)22y

2u2u2u2u2u22(1)(1)22xy 代入化简即得：

2u2uu202

(2)x2uxx2xyuyyy2uyy0

2222xyxy0,方程为抛物型. 因

特征方程为

x2(dy2dy)2xyy20dxdx

16

dyy,dxx解之得

ycx

yxx因此引变换 

uuyu(2) 有 xxuuy2uyu2y2uy2u2(4)(2)(2)223xxxxx

222uu1yx

2u2u1y22x22u2uy2u11u2(3)2xyxxx

x2u0代入化简即得

u0(x0)

(3)

uxxuyy0

因

0y00y0y0y0

17

dy2)y0dx当y<0为双曲型.特征方程为

(dyy,2yxcdx解之得

x2yx2y因此引变换 

有

uuux

2u2u2u2u2u2222 x11uuu2((y))(y)2y

2u2u2u2u111(y)2((y))(y)y222

33u1u1((y)2)(y)222

代入化简得

1(uu)02()

18

u

当y=0为抛物线型,已是标准形式.

dy2)y0当y>0为椭圆形.特征方程为dx,

(dyyi,2yxic,xi2yc1解之得 dx因此引变换 x2y

有

uux

2u2ux22

u12yuy

2u2u3y22y1u(12y2)

代入化简得

uu1u0

19

(4)

uxx2cosxuxy(3sin2x)uyyyuy0

22cosx(3sinx)40为双曲型.特征方程为 因

(dy2dy)2cosx(3sin2x)0dxdx

解之得

dycosx2dx

ysinx2xc1ysinx2xc2ysinx2xc1ysinx2xc2

2xsinxy因此引变换 2xsinxy

uuu(2cosx)(2cosx)x有

2u22uuu2u(2cosx)2(4cosx)(2cosx)sinxsinxx222

222uuuuy

2u2u2u2222y

2u20

2u2u2u2u(2cosx)2(2cosx)(2cosx)2xy

代入化简得

2uuu()032

(1x)2uxx(1y2)uyyxuxyuy0(5)

22因 (1x)(1y)0为椭圆形。特征方程为

dy21y2()02dx1x

dy1y2i2dx1x即

22ln(y1y)iln(x1x)c1 解之得

因此引变换

ln(x1x2)2ln(y1y)

1uu22(1x)有 x

21

2u12u3x2)2ux21x22(x(1)

uu1y(1y2)2

2u12u32y21y22(y(1y2))u

代入化简得

2u22u20

.

22