山东省聊城市莘县一中2014届高三下学期第十五周综合练习数学(文)试题

第十五周综合练习(文)2014-05-28

一．选择题

x2y21 的焦点坐标是( ) 1.双曲线2A.(1,0),(-1,0) B.(0,1),(0,-1) C.(3,0),(3,0) D.(0,3),(0,3) 2.复数z3 (i为虚数单位)的模为( ) A.2

B.3

C.10 1i D.4

3.下列推理是归纳推理的是( )

A. A、B为定点,动点P满足PAPB2aAB,则P点的轨迹为椭圆 B.由a11,an3n1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2C.由圆xyr的面积r,猜想出椭圆221的面积Sab

ab2222D.以上均不正确

y2x21的一个焦点重合,则该抛物线的标准方4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线

54程可能是( ) A.x=4y C.y=-12x

22

B.x=-4y D.x=-12y

22

2

5. 直线yx3与抛物线y=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为( ) A.48 B.56 C. D.72

y21交于A、B两点,线段AB6.过点M(2,0)作斜率为k1 (k10)的直线与双曲线x32的中点为P，O 为坐标原点,OP的斜率为k2,则k1k2等于( )

1 B.3 31C. D.-3

3A.

x2y27. 点P在双曲线221上,F1、F2是这条双曲线的两个焦点，且F1PF2F1PF2=90，

ab的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( ) A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)f(2)1，f'(x) 为f(x)的导函数,且导函数yf'(x)的图象如图所示,则不等式f(x)1的解集是( ) A.(-2,0)

B.(-2,4) C.(0,4)

D.(-∞,-2)∪(4,+∞)

9.函数y2x31的图象与函数y3x2b的图象有三个不相同的交点,则实数b的取值范围是( ) A.(-2,-1)

B.(-1,0) C.(0,1)

2

D.(1,2)

10.如图,某农场要修建3个养鱼塘,每个面积为10000米,鱼塘前面要留4米的运料通道,其余各边为2米宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长、宽分别为( )

A.长102米,宽

5000米 51

B.长150米,宽66米

C.长、宽均为100米

二．填空题

D.长150米,宽

200米 311.在复平面内，表示复数z(m3)2m i的点位于直线yx上，则实数m .

x2y21相交于A、B两点,若12.抛物线x2py (p0)的焦点为F,其准线与双曲线

332ABF为等边三角形,则p .

13.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y量最小,则其速度应定为 .

13392xx40x (x0),为使耗电32314.已知函数f(x)ax3x1对x0,1总有f(x)0成立,则实数a的取值范围

是 .

15.已知函数f(x)axlnx,g(x)x22x2.若对任意x1(0,),存在x2[0,1],使得f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是 . 三．解答题

16．(1) 已知椭圆过点P(0,3)且a3b,求椭圆的标准方程.

(2) 焦点在x轴上的双曲线过点P(42,3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线相互垂直，求此双曲线的方程.

17．求下列函数的导数

7(1) yx (2) y1 (3) yln3 x

18.已知复数zbi (bR),(1)求复数z；

(2)若复数(mz)所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.

19.旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0x1).那么月平均销售量减少的百分率为x.改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的平均利润是y (元). (1)写出y与x的函数关系式.

2z2是实数,i是虚数单位. 1i2

(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

20.f(x)alnx(a1)x12x (a0) . 2(1)若直线l与曲线yf(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程. (2)讨论f(x)的单调性.

x2221.设双曲线C:2y1 (a0)与l:xy1相交于两个不同的点A、B.

a（Ⅰ）求双曲线C 的离心率e的取值范围；

5PB，求a的值。 （Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且PA12第十五周练习参(文)

1.【解析】选C.c=a+b=2+1=3,所以c=3，由焦点在x轴上.所以焦点坐标为(3，0),(3，2

2

2

0).

2.【解析】选C.由z=3-=3-

1i1=3+i. i23.【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.

4.【解析】选D.由题意,得c=54=3.所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). 所以抛物线的标准方程为x=12y或x=-12y. 5.【解析】选A.

2

2

y24x2如图所示.由得x-10x+9=0,所以x1=1,x2=9.

yx3当x1=1时,y1=-2.当x2=9时,y2=6.

不妨令A(9,6),B(1,-2).因为焦点F(1,0),由抛物线定义知

|BF|=|BQ|=2,|AF|=|AP|=10, 所以S梯形APQB=

210(62) =48. 2y1y2yy22，因为点A,B在双曲线上,6.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=1，k2=

x1x2x1x222x1则有x22y1212y2y123两式相减化简得:23,即k1k2=3. 22x2x1y2137. 【解析】选D因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以设,,成等差数列,且设

PFd,PFx1F2Fx2=x1,x2cd,ad. 22

2

d，则

xd2,cx(x)d，d即a 又∠F1PF2=90°,所以(x-d)+x=(x+d),解得x=4d,即c=

2

5d,所以双曲线的离心率为2ec5,选D. a8.【解析】选B.由图可知当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)满足f(4)=f(-2)=1,故不等式f(x)<1的解集为(-2,4). 9.【解析】选B.由题意知方程2x+1=3x-b, 即2x-3x+1=-b有三个不相同的实数根,

令f(x)=2x-3x+1,即函数y=f(x)=2x-3x+1的图象与直线y=-b有三个交点.

由f′(x)=6x-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x-3x+1与直线y=-b有三个交点,则f(1)<-b10.【解析】选D.设鱼塘长、宽分别为y米、x米,依题意xy=10000. 设占地面积为S,则S=(3x+8)(y+6)=18x++30048, 令S′=18-11. 9

12.【解析】答案:6 由题意知△ABF的高为p,将y=3

2

23

2

3

2

3

2

3

2

80000200=0,得x=.此时y=150. x23p代入双曲线方程得A,B两点的横坐标2

p2为x3,因为△ABF为等边三角形,所以4pp234tan60,从而解得p2=36,即p=6.

13.【思路点拨】欲求使耗电量最小时其速度应定为多少,即求出函数取最小值时的x值即可.对函数求导,利用导数研究函数的单调性,算出结果.

【解析】答案:40 由题设知y′=x-39x-40,令y′>0,解得x>40,或x<-1(舍去), 故函数y2

13392xx40x (x0)在[40,+∞)上单调递增,在(0,40]上单调递减, 32当x=40时,y取得最小值.

由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.

14.【解析】答案:[4,+∞) 由已知得不等式ax-3x+1≥0在(0,1]上恒成立,即:a≥(0,1]上恒成立, 令

3

31 在x2x31t1,，g(t)=3t2-t3,g′(t)=3t(2-t), xt∈[1,2)时,g′(t)>0,所以g(t)在[1,2)上为增函数, 当当t∈(2,+∞)时,g′(t)<0,g(t)在(2,+∞)上为减函数, 所以g(t)在t=2时取最大值,g(t)max=g(2)=4.所以a≥4.

1) 只需满足f(x)maxxx15.【解析】答案: (,①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意. ②当a<0时,由f′(x)=0,得x1 a1a1,),故f(x)的极大值即为a1 e3所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(最大值,

所以f(x)maxf()1ln()1ln(a) 所以-1-ln(-a)<2,所以a1a1ay2x2x2y2x221 y1或1 (2) 16. (1)

8191699'6'17. (1) y7x (2) y2 (3) y0

x'118.【解析】(1)因为z=bi(b∈R),所以

z2bi2(bi2)(1i)b2b2i 1i1i(1i)(1i)22

又因为

z2b2是实数,所以,所以b=-2,即z=-2i. 1i22

2

2

2

2

(2)因为z=-2i,m∈R,所以(m+z)=(m-2i)=m-4mi+4i=(m-4)-4mi,

4m0又因为复数(m+z)所表示的点在第一象限,所以2解得m<-2,即m∈(-∞,-2).

m402

19. (1) 改进工艺后,每件产品的销售价为20(1x)，月平均销售量为a(1x)， 则月平均利润ya(1x)[20(1x)15]，

所以y与x的函数关系式为y5a(14xx4x) (0x1)

232212，x2(舍) 2311''当0x时，y0，函数是增函数；当x1时y0，函数是减函数.

22123所以函数y5a(14xx4x) (0x1)在x时取得最大值.

21故改进工艺后，每件产品的销售价为20(1)30元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润

2'2(2) 由y5a(42x12x)0得x1最大.

20.【解析】(1)因为P(2,0)在函数f(x)的图象上,所以f(2)=0, 所以aln2-2(a+1)+2=0,即(ln2-2)a=0, 因为ln2-2≠0,所以a=0.所以 f(x)所以f′(x)=x-1,所以f′(2)=1, 所以直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0. (2)f(x)的定义域为{x|x>0}. f(x)'12xx 2a(x1)(xa)(a1)x xx由f′(x)=0得x=1或x=a,

①当a=1时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,

当且仅当x=1时,f′(x)=0,所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞); ②当a=0时,f′(x)>0⇒x>1,f′(x)<0⇒0所以f(x)的单调递增区间是(1,+∞),f(x)的单调递减区间是(0,1); ③当00⇒01,f′(x)<0⇒a所以f(x)的单调递增区间是(0,a)和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是(a,1); ④当a>1时,f′(x)>0⇒0a,f′(x)<0⇒1所以f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a,+∞),f(x)的单调递减区间是(1,a). 21.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

x222y1, axy1.有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①

21a0.所以4224a8a(1a)0.

解得0a2且a1.双曲线的离心率

1a2ea11.a2

0a2且a1,6e且e22即离心率e的取值范围为(6,2)(2,).2（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)

x22

联立－y＝1与x＋y＝1,消去y整理得 2a2a22a2,x1x22 ① (1a)x2ax2a0, 从而x1x22a1a155PB，即(x1,y11)(x2,y21) 由PA1212172a2522a25,x22, x2代入①式消去x1得x22有x11212a112a12a2217再消去x2得 2 , 结合条件a＞0及满足△＞0得a.

13a160555PB，即(x1,y11)(x2,y21) 得x1x2， 另解：设法同上，由PA12121252(x)2575272y1y2，由于点A在双曲线上，故有122((y2)1，又点B在

12121212a2212x252双曲线上，故有2y21，将该式两端同乘，与上式相减得y2，又点B在直

5a1217171217线xy1上，所以x2，故点B的坐标为(,)，将其代入双曲线方程得a。

135552222