清远市第三中学2017届高三上学期第十次周考
数学（文科）
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1．已知全集U=R，集合A={x|x≥}，集合B={x|x≤1}，那么∁U（A∩B）=（ ） A．{x|x≤或x≥1} 2.复数z满足zB．{x|x＜或x＞1} C．{x|x＜＜1}
D．{x|x≤＜≤1}
2i，则z对应的点位于复平面的（ ） 1iA.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知fx满足对xR，fxfx0，且x0时，fxem（m为常
x数），则fln5的值为（ ）
A.4 B.-4 C.6 D.-6
4.如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边
AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A.若AE:BECF:BF，则AC平面EFGH
B.若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形 C. 若E，F，G，H分别为各边中点且ACBD，则四边形EFGH为矩形 D. 若E，F，G，H分别为各边中点且ACBD，则四边形EFGH为矩形
5.已知正项数列{an}为等比数列，且a4是2a2与3a3的等差中项，若a2=2，则该数列的前5项的和为（ ）
1
A． B．31
2C． D．以上都不正确
6.设a,bR,则 “aba0”是“ab”的（ ）
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 7．△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，若则△ABC的形状为（ ） A．等边三角形 C．直角三角形
=，（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，
B．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
x1，y1，8.已知x，y满足约束条件目标函数满足zmxy，若z的最大值为fm，
4xy9，xy3，则当m2,4时，fm的最大值和最小值知和是（ ） A.4 B.10 C.13 D.14
9.在边长为1的正ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），ADAE等于（ ） A.
12131 B. C. D. 6918310.已知函数fxsinx（0）的图像关于直线x32对称且f0，32如果存在实数x0，使得对任意的x都有fx0fxfx0（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
，则的最小值是811.已知边长为23的菱形ABCD中，A60,现沿对角线BD折起，使得AC33，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.20 B.24 C.28 D.32
12.已知方程lnxkx1在0,e3上有三个不等实根，则实数k的取值范围是 A.0,
2322121 B. C. D.,,,2 323233eeeeeee2
二、填空题（20分，每题5分） 13．（5分）已知函数f（x）=
+6，则f（f（9））= ．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2=3，a3+a4=12，则数列{an}的通项公式an= ． 15．（5分）某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x（℃） 月销售量y（件） 17 24 13 33 8 40 2 55 由表中数据算出线性回归方程中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为
6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为 件．
（参考公式：b=）
16．（5分）若函数f（x）=2x﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}， （Ⅰ）若A⊆B，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若A∩B=（﹣1，n），求实数m，n的值．
18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
3
2
b．
19．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2． （1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F． ①试证：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．
20．（12分）已知正项数列{an}满足a1=2且（n+1）an+anan+1﹣nan+1=0（n∈N） （Ⅰ）证明数列{an}为等差数列； （Ⅱ）若记bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn．
2
2
*
21．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
南方学生 北方学生 合计 喜欢甜品 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：K=P（K＞k0） 22
0.10 0.05 0.01 0.005 4
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
22．（10分）设函数f（x）=lnx+ax+x+1． （I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=2时，证明xe≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．
x
2
5
数学（文科）参
一、1-5: CDBCB 6-10:BADCC 11、12：CC 二、13、9 14、2n﹣1． 15、46 16、[1，） 三、
17、解：（Ⅰ）A={x∈R||x+2|＜3}={x|﹣5＜x＜1}，B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}={x|m＜x＜2}（m＜2）
若A⊆B，应满足：m≤﹣5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当m≥2时，A∩B=∅，要使A∩B=（﹣1，n），应满足：m=﹣1，n=1．
18、解：（Ⅰ）由2asinB=∵sinB≠0，∴sinA=又A为锐角， 则A=
；
2
2
2
2
2
2
，故
b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
，
（Ⅱ）由余弦定理得：a=b+c﹣2bc•cosA，即36=b+c﹣bc=（b+c）﹣3bc=﹣3bc， ∴bc=
，又sinA=
， ．
则S△ABC=bcsinA=
19、（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD ∴BC⊥平面ABE
∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE ∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE ∴AE⊥面BCE
∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC； （2）①证明：设面ABE∩面CED=EF ∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED， ∴AB∥面CED，
6
∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF ∴AB∥EF；
②取AB中点O，EF的中点O′， 在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=∵BC⊥面ABE，AD∥BC ∴AD⊥平面ABE ∴VE﹣ADF=VD﹣AEF=
=
=
20、（I）证明：由（n+1）an+anan+1﹣nan+1=0（n∈N）， 变形得：（an+an+1）[（n+1）an﹣nan+1]=0， 由于{an}为正项数列，∴利用累乘法得：列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：从而
=
．
21.解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式，计算得 x=
因为4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；
2
2
2
*
，
从而得知：数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数
，
=≈4.762，
7
（2）这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B， 其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，
则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为
ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种； 3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是
Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种； 所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=
22.解：（Ⅰ）由题意得：x∈（0，+∞）， f′（x）=﹣2x+1=
，
．
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1， ∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴x=1是f（x）的极大值点，无极小值点；
（Ⅱ）证明：令F（x）=xe﹣f（x）=xe﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0）， 则F′（x）=
x
x
x
•（xe﹣1），
x
x
令G（x）=xe﹣1，则∵G′（x）=（x+1）e＞0，（x＞0），
∴函数G（x）在（0，+∞）递增，G（x）在（0，+∞）最多一个零点， ∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0， ∴F（x）在（0，c）递减，在（c，+∞）递增， 故F（x）≥F（c）=c•e﹣lnc﹣c﹣1， 由G（c）=0，得：c•e﹣1=0，得lnc+c=0， ∴F（c）=0，F（x）≥F（c）=0， 从而证得xe≥f（x）．
x
cc
8
