整式的乘除竞赛题

初二上加深提高部分

整式的乘除复习题

1、阅读解答题：

有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题． 例：若x=1234567×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小． 解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a . ∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y

看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！ 问题：计算1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452 解：设1.345=x，那么：原式=x（x-1）•2x-x3-x（x-1）2， =（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x， =-1.345．

4、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时，

n!=n•（n-1）（n-2）…2•1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720． •

又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”． 按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ； （3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？

12. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，

小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”， 小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”

小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍” 小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系” …

亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ （1）能否用字母表示你所发现的规律？ （2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）吗？

2、一个单项式加上多项式9（x-1）2-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式． 3、化简： （1）；

（2）多项式x2-xy与另一个整式的和是2x2+xy+3y2，求这一个整式解： （1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab； （2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）

=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2． ∴这个整式是x2+2xy+3y2．点评：（1）关键是去括号．①按 5、设

，求整式

的值．

6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）的值． 解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7， 因为它们的差与字母x的取值无关，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=1． 2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）

.

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=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=7．

8。在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母． （1）求能组成分式的概率；

（2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式． 解：（1）四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母共有4×3=12种结果，其中以“2” 作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式，能组成分式的概率为=（2）答案不唯一． 如，

=

，

；

9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2-9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解： 设第二个多项中的x的系数为Z， ∴（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10， ∴Z=1，

∴第二个多项中的x的系数是1， ∴（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10， ∴2b+a=-9，ab=10， ∴b=-2，a=-5， ∴（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；

13. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a2+2b2+3c2误以为是加上-4a2+2b2+3c2，结果得出的答案是

a2-4b2-2c2，求原题的正确答案．

解：设原来的整式为A

则A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2 ∴A=5a2-6b2-5c2

∴A-（-4a2+2b2+3c2）=5a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2） =9a2-8b2-8c2．

∴原题的正确答案为9a2-8b2-8c2．

10. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式． （1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？

（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？

（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？ 解：（1）根据题意得，

售价为：75%x，是整式，是单项式；

（2）根据题意，t=

，，

∴不是整式；

（3）根据题意得，现在人数为：（1-25%）m+3，是整式，是多项式．

11. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍． （1）玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m； （2）当a=102亩时，求m的值． 解：（1）m=3a-（a+5），

.

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=3a-a-5， =2a-5；

（2）当a=102时， m=2×102-5， =199（亩）

14. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30

元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元． （1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润．（注：利润=销售总额-成本-其他费用） （2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润多？

（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？ 解：（1）厂家直销的利润为（30-20）x-1200； 委托商场销售的利润为（24-20）x；

（2）当x=300时，厂家直销的利润为10×300-1200=1800（元）； 委托商场销售的利润为（24-20）×300=1200（元）； ∴采取厂家直销的利润大；

（3）当x=200时，厂家直销的利润为10×200-1200=800（元）； 委托商场销售的利润为4×200=800（元）； ∴两种销售方式一样．

16、探究应用： （1）计算（a-2）（a2+2a+4）= （2x-y）（4x2+2xy+y2）= ．（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： （请用含a．b的字母表示）．

（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是． A．（a-3）（a2-3a+9）B．（2m-n）（2m2+2mn+n2） C．（4-x）（16+4x+x2） D．（m-n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）= （2m-3）（4m2+6m+9）= 17. 阅读下面学习材料：

已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得：，解得，所以m=0.5 解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）．由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-0.5， 得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5 根据上面学习材料，解答下面问题：

已知多项式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值． 解：解法1：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），…（1分）

则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b…（2分）

比较系数得：，

解得，

所以m=-5，n=20． …（4分）

.

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18. （1）化简：3x2y-[2xy-（xy-x2y+2xy）]

（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一个整式，且A+B+C=0，求C． 解：（1）原式=3x2y-[2xy-3xy+x2y]，（2分） =3x2y-x2y+xy， =x2y+xy； 解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2 =3x2+5y2（2分），

A+B+C=0，C=-（A+B）， =-3x2-5y2．（4分）

19、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 =（200-5）（200+5）① =2002-52② =39975

（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：9×11×101×10001．

问题2：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有： x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2 =（x+a）2-（2a）2 =（x+3a）（x-a）．

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12．

问题3：若x-y=5，xy=3，求：①x2+y2；②x4+y4的值．

15.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决． 例：若x=1234567×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小． 解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，

∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0，∴x＜y．

看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562．

解：设3.456为a，则2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得： 3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562 =a×（a-1）×（a+2）-a3-（a-2）2 =a3+a2-2a-a3-a2+4a-4 =2a-4， ∵a=3.456，

∴原式=2a-4=2×3.456-4=2.912．

20.计算： （1）（-8a4b5c）÷（4ab5）（3a3b2） •

.

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（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3） （3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2 （4）运用整式乘法公式计算1232-124×122 （5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），其中x=10，y=-． 解：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）（3a3b2）•， =-2a3c•（3a3b2）， =-6a6b2c；

（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3）， =[2a6x3-9ax5]÷（3ax3）， =；

（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2， =（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4）， =9m2n2-1-9m2n2+12mn-4， =12mn-5；

（4）1232-124×122，

=1232-（123+1）×（123-1）， =1232-（1232-1）， =1232-1232+1， =1；

（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy）， =[x2y2-4-2x2y2+4]÷（xy）， =（-x2y2）÷（xy）， =-xy；

当x=10，y=-时，原式=-10×（-）=．

21、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？

(这个角是45°)

22、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值．

23、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．(60)

先化简后求值：[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.5．（1.5）． （2001•宁夏）设a-b=-2，求计算：

的值．（2）

解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，

于是分母变为n2-（n-1）（n+1）． 应用平方差公式化简得 .

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n2-（n2-12）=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1， 所以原式=24690．

（2007•淄博）根据以下10个乘积，回答问题： 11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明 分析：（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可． （2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．

（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．解答：解：（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72； 14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42； 17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12； 20×20=202-02 …（4分） 例如，11×29；假设11×29=□2-○2， 因为□2-○2=（□+○）（□-○）； 所以，可以令□-○=11，□+○=29． 解得，□=20，○=9．故11×29=202-92． （或11×29=（20-9）（20+9）=202-92

（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20

.

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整式的乘除复习题

一．学新知识应用

1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．

例：若x=1234567×123456786，y=123456788×123456787，比较x、y的大小．

22解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a-a2，y=a（a-1）=aa .

22∵x-y=a-a2-（aa）=-2＜0∴x＜y

看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！ 问题：计算1.345×0.345×2.69-1.345-1.345×0.345

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32精品文档

计算3.456×2.456×5.456-3.456-1.456．

2、我们把符号“n!”读作“n的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时， n!=n•（n-1）（n-2）…2•1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720． •

又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”．按照以上的定义和运算顺序，计算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ；（3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？

3. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：

332233（x-1）x+x+1=x-1，（2a+b）（4a-2ab+b）=8a+b，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个

32三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ （1）能否用字母表示你所发现的规律？

22（2）你能利用上面的规律来计算（-x-2y）x-2xy4y吗？

（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．

222A．（a-3）（a3a9）B．（2m-n）（2m2mnn）

222C．（4-x）（16+4x+x） D．（m-n）（m2mnn）

22（4）直接用公式计算：（3x-2y）（9x6xy4y）=

2（2m-3）（4m6m+9）=

4、问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面

材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205 =（200-5）（200+5）① =2002-52② =39975

（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）； （2）用简便方法计算：9×11×101×10001．

222问题2：对于形如x2axa这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)的形式．但对于二次三项

22222式x2ax3a，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2ax3a中先加上一项a，使

22它与x2ax的和成为一个完 全平方式，再减去a，整个式子的值不变，于是有：

x22ax3a2=x22axa2-a23a2=(x+a)2(2a)2(x+3a)(x-a)

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

2（1）利用“配方法”分解因式：a4a12

二．乘法公式应用

25、一个单项式加上多项式9(x-1)-2x5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．

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6、设，求整式的值

2244若x-y=5，xy=3，求：①xy；②xy的值．

三．整式的计算

7、化简：（1）；

222（2）多项式x-xy与另一个整式的和是2x+xy3y，求这一个整式解：

2223228、已知整式2x+ax-y+6与整式2bx-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式7（ab+2bab）+3a-

222（2ab-3ab3a）的值．

9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x-9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：

10. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a+2b+3c误以为是加上-4a+2b+3c，结果得出的答案

是a-4b-2c，求原题的正确答案．

11. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式． （1）友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？

（2）一列火车从A站开往B站，火车的速度是a千米/小时，A，B两站间的距离是120千米，则火车从A站开

往B站需要多长时间？

（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%的工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现

有多少人？

12. 某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍．（1）

玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示m；（2）当a=102亩时，求m的值．

13. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30

元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元． （1）若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润．（注：利润=销售总额-成本-其他费用） （2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润

多？

（3）若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？ 14. （1）化简：3xy-[2xy-（xy-xy+2xy）（]2）已知A=2x+xy+3y，B=x-xy+2y，C是一个整式，且A+B+C=0，

求C．

15、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求x、y的值．

22222222222222222

16计算：

.

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455322353（1）（-8abc）÷（4ab）（3ab） （2）[2(ax)-9ax]÷（3ax） •

（3）（3mn+1）（-1+3mn）-(3mn2) （4）运用整式乘法公式计算123-124×122

22三．写多项式方法

17. 阅读下面学习材料：

已知多项式2x-x+m有一个因式是2x+1，求m的值． 根据上面学习材料，解答下面问题：

已知多项式x+mx+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求m、n的值．

4332四．余角和补角

18、一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？ 19、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．

小测验 姓名

1.在盒子里放有四张分别写有整式3x-3，x-x，x+2x+1，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母．（1）求能组成分式的概率；

（2）在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式． 2. 先化简后求值 [(x-y)+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.5 3. 设a-b=-2，求4. 计算

的值

22225根据以下10个乘积，回答问题：

11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)

.

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多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a-b=(a+b)(a-b)； (2)a±2ab+b=(a±b)； (3)a+b=(a+b)(a-ab+b)； (4)a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数； (8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数； (9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x

3

5n-1nn

n

n-1

n-2

n-3

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n-2

n-1

n

n

n-1

n-2

n-3

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n-2

n-1

n

n

n-1

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n-2

n-1

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2

2

y+4x

3

3n-1n+2

y-2xy；

n-1n+4

(2)x-8y-z-6xyz； (3)a+b+c-2bc+2ca-2ab； (4)a-ab+ab-b．

解 (1)原式=-2xy(xn-2xny+y) =-2xy[(xn)-2xny+(y)] =-2xy(xn-y) =-2xy(x-y)(x+y)． (2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c ＝(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b) =a(a-b)+b(a-b) =(a-b)(a+b) .

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5

5

5

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5

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7

5

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2

5

7

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222

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3

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n-1n

n

2

n

2

n-1n

2

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n-1n

2

2

2

2

22

n-1n

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5

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=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b) =(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b) 例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b

的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

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3

3

3

3

3

3

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2

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3

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4

解 原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc =［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a+b+c-3abc

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2

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3

3

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有

3

3

3

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． 例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解． 解 因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)， 所以

16

15

14

13

2

15

n

n

15

14

13

2

说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

.

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3

例4 分解因式：x-9x+8．

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x-9x-1+9 =(x-1)-9x+9 =(x-1)(x+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x-x-8x+8 =(x-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x+x-8)．

解法3 将三次项x拆成9x-8x． 原式=9x-8x-9x+8 =(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1) =(x-1)(x+x-8)． 解法4 添加两项-x+x． 原式=x-9x+8 =x-x+x-9x+8 =x(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x+x-8)．

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 例5 分解因式： (1)x+x+x-3； (2)(m-1)(n-1)+4mn； (3)(x+1)+(x-1)+(x-1)； (4)ab-ab+a+b+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x+x+x-1-1-1 =(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1) =(x-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn .

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6

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33

6

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3

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3

9

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22

33

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=mn-m-n+1+2mn+2mn =(mn+2mn+1)-(m-2mn+n) =(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)． 原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1) =［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1) =［(x+1)+(x-1)]-(x-1) =(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab =(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1) =[a(a-b)+1](ab+b+1) =(a-ab+1)(b+ab+1)．

说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5) =(x-1)(x+2)(x+x+5)．

说明 本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90． 令y=2x+5x+2，则 .

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原式=y(y+1)-90=y+y-90 =(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7) =(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． 例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解 设x+4x+8=y，则 原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x) =(x+6x+8)(x+5x+8) =(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 例9 分解因式：6x+7x-36x-7x+6． 解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x =6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x =6(x-1)+7x(x-1)-24x =[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x] =(2x-3x-2)(3x+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明 本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体． 解法2

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2

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8) =x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8] =(2x-3x-2)(3x+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

2

2

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2

2

2

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例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解 原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 .

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2222

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原式=(u-v)-4v(u-2v) =u-6uv+9v =(u-3v) =(x+2xy+y-3xy) =(x-xy+y)．

练习一

1．分解因式：

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22

2

2

2

2

2

4

2

2

(2)x+x-2；

10

5

(4)(x+x+x+x+x+1)-x．

2．分解因式：

(1)x+3x-4； (2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24； (4)x-12x+323． .

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3

2

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4

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3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；

(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20．

23

4

3

2

2

2

2

初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)

1．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二

次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上式按x降

幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字

相乘法，分解为

2

2

2

2

2

2

所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两

个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

即：-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

2

(x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y； (x-3)(2x+1)=2x-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．

2

2

22

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这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分

解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有

两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第

三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三2

2

2

2

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2)

列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2

-3xy-10y2

+x+9y-2； (2)x2

-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2

+x-y-2；

(4)6x2

-7xy-3y2

-xz+7yz-2z2

． 解 (1)

.

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2

项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)． (4)

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原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似． 2．求根法

我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=1-3×1+2=0； f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，

然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

2

22

5

2

n

n-1

定理2

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式：x-4x+6x-4．

分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=2-4×2+6×2-4=0，

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4) =x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x-2x+2)．

解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

2

23

2

2

3

2

3

2

所以

原式=(x-2)(x-2x+2)．

说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必

须对-4的约数逐个代入多项式进行验证． 例3 分解因式：9x-3x+7x-3x-2．

4

3

2

2

分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

.

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为：

所以，原式有因式9x-3x-2． 解 9x-3x+7x-3x-2 =9x-3x-2x+9x-3x-2 =x(9x-3x-2)+9x-3x-2 =(9x-3x-2)(x+1) =(3x+1)(3x-2)(x+1)

说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

2

2

2

2

3

2

4

3

2

2

4

3

2

2

可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项

式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字

母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例4 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3． 分析 由于

(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解

决． 解 设

x+3xy+2y+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例5 分解因式：x-2x-27x-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们

都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式． 解 设

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原式=(x+ax+b)(x+cx+d)

=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd， 所以有

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由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．

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说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，

就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分

解中也有用武之地．

练习二

1．用双十字相乘法分解因式：

(1)x-8xy+15y+2x-4y-3； (2)x-xy+2x+y-3；

(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．

2．用求根法分解因式：

(1)x+x-10x-6； (2)x+3x-3x-12x-4；

(3)4x+4x-9x-x+2．

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3．用待定系数法分解因式：

(1)2x+3xy-9y+14x-3y+20； (2)x+5x+15x-9．

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初中数学竞赛专题培训 第十一讲 勾股定理与应用

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勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c． 勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：

a+b=c

那么这个三角形是直角三角形．

早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．

关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．

证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c，a，b．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，

所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

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所以 SAEML=b． ① 同理可证 SBLMD=a． ② ①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b+a，

即 c=a+b．

证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，

所以

AG=GH=HB=AB=c，

∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，

因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即

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化简得 a+b=c．

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证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．

设五边形ACKDE的面积为S，一方面 S=SABDE+2S△ABC， ① 另一方面

S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②

由①，② 所以 c=a+b．

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关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．

利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．

定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中， AB=AD+BD， ①

在直角三角形ACD中，AD=AC-CD， ② 又BD=(BC-CD)， ③

②，③代入①得AB=(AC-CD)+(BC-CD) =AC-CD+BC+CD-2BC·CD =AC+BC-2BC·CD， 即c=a+b-2a·CD． ④

(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，

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AB=AD+BD， ⑤ 在直角三角形ACD中，

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AD=AC-CD， ⑥ 又BD=(BC+CD)， ⑦ 将⑥，⑦代入⑤得 AB=(AC-CD)+(BC+CD) =AC-CD+BC+CD+2BC·CD =AC+BC+2BC·CD， 即c=a+b+2a·cd． ⑧

综合④，⑧就是我们所需要的结论

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特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述： c=a+b． 因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中， (1)若c=a+b，则∠C=90°； (2)若c＜a+b，则∠C＜90°； (3)若c＞a+b，则∠C＞90°．

勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．

例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB=2FG．

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分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF=2FG，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．

证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

所以 AF=AB． ①

在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以

AG=FG，

AF=AG+FG=2FG． ② .

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由①，②得： AB=2FG．

说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了． 例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB+AC=2(AM+BM)．

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证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中， AB=AM+BM+2BM·MD． ①

在△ACM中，AC=AM+MC-2MC·MD． ②

①+②，并注意到MB=MC，所以AB+AC=2(AM+BM)． ③

如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．

推论 △ABC的中线长公式：

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说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．

例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题． 证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，

即2BQ+2DQ=4PQ+BD． ①

在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以

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在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以

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将②，③代入①得

=4PQ+BD，

即AB+BC+CD+DA=AC+BD+4PQ．

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说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．

例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD+BE=AB+DE． 分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手． 证 AD=AC+CD，BE=BC+CE，所以 AD+BE=(AC+BC)+(CD+CE)=AB+DE

例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：

4(AM+BN)=5AB．

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分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁． 证 连接MN，利用例4的结论，我们有

AM+BN=AB+MN，

所以 4(AM+BN)=4AB+4MN． ① 由于M，N是BC，AC的中点，所以

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所以 4MN=AB． ②

由①，② 4(AM+BN)=5AB．

说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=

图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由

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于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△

ABM

=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．

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练习十一

1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)： (1)赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．

2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA+PC=PB+PD．(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)

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3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：

AF+BD+CE=FB+DC+EA．

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4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC+BD=AD+BC．它的逆定理是否成立？证明你的结论．

5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：

BC=AB·BF+AC·CE．

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全等三角形

全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定

三角形全等问题分三个层次:

(1) 直接利用全等三角形的判定定理和性质定理,需要我们敏捷、快速地发现两条线段或两个角所分布的两个三

角形及全等的条件；

(2) 当证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等到的条件不充分时，需根据图形的其他性质，先证明别的

两个三角形全等以补足条件；

(3) 当现有图形的任何两个三角形这间不存在全等关系，需要添置辅助线，构造全等三角形来研究平面图形的性

质。

1.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和

计算。

2.懂得全等三角形是解决与线段、角相关问题的一个出发点。

3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。

1. 如图，在ABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形， 求证：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°

（提示：充分利用等边三角形这个条件是解题关键）

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密……………………………………封………………………………线………………………… 线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线精品文档

例1． 在ΔABC中，AB=6，中线AD=7， 则边AC的取值范围是_____________.

例2.如图，已知：在∠AOB的OA边上取两点P和S，再在OB上取两点Q和T，使OP=OQ，OT=OS，PT与QS相交于X。求证：OX平分∠AOB.

_ A_ P_ X_ Q

_ T_ B ）

_ S_ O1.两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是（

(A)一边和任意两个角 （B）两边和他们的夹角

（C）两个角和他们一角的对边 （D）三边对值相等

2. 下列所叙述的图形中，是全等三角形的只有 （ ）

(A)两边相等的两个直角三角形 (B)一边和一角对应相等的两个直角三角形 (C)长为厘米的两个等边三角形 (D)一个钝角相等的两个等腰三角形 A 3．如图，AD是ΔABC的中线，E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF，则（ ） A．BE+CF＞EF B.BE+CF=EF C．BE+CF＜EF D.EF与BE+CF大小关系无法确定

E

4.求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等。 D B 已知:如图,__________________________________________________ 求证:_________________. 证明:

5．在VABC中，∠B=∠C, D、E在BC、AC上，且?1求证：VADB@VDEC

F C ?B，AD=DE。

_ A

_ E

_ 1_ B

_ D

_ C

6．已知：点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且V求证：VABC为等边三角形，VADF@VCFE DEF也是等边三角形，

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_ A_ D_ F

_ B

7．如图,在VABC中，ÐABC=90°，AB=BC， AF、CE分别垂直BD或延长线于F、E，求证：EF=CE-AF。

_ A_ F_ D_ E

_ C

_ E_ B_ C8．如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。 求证：BD=2CE

C D A

E

9．如图，公园有一条“Z”字形道路 ，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

E B A M

D C

10．如图BD、CE分别是VABC的边AC与AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.

_ A_ Q

_ D

_ P

B

_ E

_ B

_ C

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1．全等三角形的基本图形：

有公共边有公共角

2告诉我，你还有什么问题需要我们一起讨论？

构造全等三角形解竞赛题

一、已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形。

例1 在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（ ）.

A．ABAD＞CBCD B． ABAD＝CBCD

C．ABAD＜CBCD D． ABAD与CBCD的大小关系不确定

解：因为AC平分BAD，以AC为对称轴作△ACD的对称图形△ACE，则ABAD=ABAE＞

CBCECBCD.故选A.

二、已知中线，利用中心对称构造全等三角形。

例2 设G为△ABC的重心，且AG6,BG8,CG10,则△ABC的面积为（ ）。

解：如图，以BC的中点D为中心，将点G旋转180°至E，则四边形BGCE是平行四边形.在△BEG中，

BE10,BG8,EG6,所以△BEG是直角三角形，因此SABC2SABDADBG72.

AEBCDBAAGDECBEPC

例1图 例2图 例3图

三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形。

例3 已知P是等边△ABC内的一点，PA5,PB4,PC3,则BPC的度数为（ ）. 解：绕着点B将△ABP顺时针旋转60°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等边三角形。 在△PCE中，PC3,PE4,CE5,所以△PCE是直角三角形，因此BPC150.

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四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形。

例4 已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，则APB的度数为（ ）. 解：绕着点B将△ABP顺时针旋转90°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等腰直角三角形。

在△PCE中，设PC3a,PE22a,CEa,所以△PCE是直角三角形，因此BECAPB135.

APDDFEBEG

例4图 例5图

五、已知特殊角度，构造全等三角形。

例5 A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB=2千米，BC=3千米，在B村庄的正北方向有一个D村，测得ADC45,今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？

解：分别以DA、DC为对称轴，作Rt△ADB和Rt△BDC的对称图形Rt△ADE和Rt△FDC，延长EA和FC交于G，则四边形DEGF是以DB为边长的正方形。设DBx,在RtAGC中，AGx2，CGx3,AC5,由勾股定理得x6,因此SADC15,所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米。

CABC初中数学竞赛专题培训 第十讲 三角形的全等及其应用

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在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理： ∠ABC=∠DCB，而 ∠EBC=∠ABC-∠1， ∠ECB=∠DCB-∠2， 所以∠EBC=∠ECB．在 (1)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)． (2)角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)． 推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)． (3)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)． 关于直角三角形有：

(4)斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)．

利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质， 在本讲中将直接利用这些性质．

借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂

直问题．

例1 如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．

分析 用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证

的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．

证 由已知，∠1=∠2，

.

△ABC及△BCD中， ∠ABC=∠BCD， ∠EBC=∠ECB，BC=BC，

所以 △ABC≌△DCB(ASA)，

所以 AB=CD．

说明 线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三角形全

等．

例2 如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，

连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．

分析 从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这

两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一．

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证 过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中， ∠BGD=∠EGF(对顶角)， ① ∠B=∠F(两直线平行内错角相等)． ②

又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以

分析 首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是

△ABP的一个外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．

BD=EF． ③

由①，②，③

△GBD≌△GEF(AAS)，

所以 GD=GE．

说明 适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法： (1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．

(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．

做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻 炼能力是大有好处的．

例3 如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：

BP=2PQ． .

证 在△ABE与△CAD中，

∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD， 所以

△ABE≌△CAD(SAS)，

所以 ∠ABE=∠CAD．

由于∠BPQ是△ABP的外角，所以 ∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．

在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的

一半)．

说明 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形

中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们

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寻找有希望全等的三角形，例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等．

于是 AG=CD．

例4 如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求

证：

在△AMG与△CMD中，还有

△AGB≌△ADC(ASA)，

∠AMB=∠DMC．

分析1 从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个

三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只 要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA． 证法1 作∠BAC的平分线AG，交BM于G．在△AGB与△CDA中，因为

AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°，

∠ABG=90°-∠AMB， ①

∠MAD=90°-∠EAB． ②

由于，在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，所以

.

AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，

所以 △AMG≌△CMD， 从而 ∠AMB=∠DMC．

分析2 如图2-7所示．注意到在Rt△ABM中，由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延长AE，过C

作CF⊥AC交AE延长线于F，可构成Rt△ABM≌Rt△ACF，从而有∠AMB=∠F．设法证明∠DMC=∠F，则问题获解．

证法2 引辅助线如分析2所述．在Rt△ABM与Rt△CAF中，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及

∠BAM=∠ACF=90°，

所以

Rt△ABM≌Rt△CAF(ASA)，

所以

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∠AMB=∠F，AM=CF． ①

在△MCD与△FCD中，FC=AM=MC(因为M是AC中点)．由于∠ACF=90°，∠ACB=45°，所以

AD=DC，∠ADQ=∠DCP=90°，

∠FCD=∠MCD=45°，CD=CD，

∠QAD=∠PDC，

所以 △FCD≌△MCD(SAS)，

证 在正方形ABCD中，因为AQ⊥DP，所以，在Rt△ADQ与Rt△RDQ中有∠RDQ=∠QAD．所

以，在Rt△ADQ与Rt△DCP中有

所以 ∠F=∠DMC． ②

由①，② ∠AMB=∠DMC．

说明 这两个证法的思路较为复杂．添加辅助线的结果造出两对全等三角形，第一对全等三角形产

生一些对应相等的元素，为第二对全等三角形做了铺垫；第一对全等三角形将欲证的一个角“转移”到第二对全等三角形中，从而最后使问题获解．对一些较复杂的问题采用迂回的办法，因势利导

地创造全等三角形，产生更多的相等条件，使欲证的角(或边)转移位置，走出“死角”，最终使问题 获解．

例5 如图2-8所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ

于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ．

分析 欲证OP⊥OQ，即证明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需证明∠

COP=∠DOQ即可．这归结为证明△COP≌△DOQ，又归结为证明CP=DQ，最后，再归结为证明△ADQ≌△DCP的问题．

.

所以

△ADQ≌△DCP(ASA)，DQ=CP．

又在△DOQ与△COP中，

DO=CO，∠ODQ=∠OCP=45°，

所以 △DOQ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP．

从而

∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ

=∠COD=90°， 即OP⊥OQ．

说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边

成45°角，及OA=OB=OC=OD等均在推证全等三角形中被用到．

(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技

巧．

精品文档 于是

Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，

所以

例6 如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求

证：AE=BC+CE．

分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：

(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证

中那一条线段相等．

(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的 部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．

证 延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知

AF=AB+BF=BC+CE．

下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，

所以

Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，

从而

.

过G引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，

所以

∠F=∠HEG，

则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，

即 AE=BC+CE．

说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再

作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．

练 习 十

1．如图2-10所示．AD，EF，BC相交于O点，且AO=OD，BO=OC，EO=OF．求证：△AEB≌

△DFC．

2．如图2-11所示．正三角形ABC中，P，Q，R分别为AB，AC，BC的中点，M为BC上任意一

点(不同于R)，且△PMS为正三角形．求证：RM=QS．

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3．如图2-12所示．P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF． 4．如图2-13所示．△ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC．求证：∠BCH=∠ABC．

5．如图2-14所示．在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ=45°．求证：

PQ=PB+DQ．

6．如图2-15所示．过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，

AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．

.

（构造全等三角形时须根据图形的特征，通常有“截长法”、“补短法”、“中线倍长法”等）

角平分线的性质和应用（搜集“截长补短法在角平分线中证明线段的和差关系的练习2道）

1如图,四边形ABCD中,AC平分 2如图,在ΔABC中, ∠ABC=60°,AD、CE分别平分

∠BAD，过点C作CE⊥AB于E，并且 ∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD AE=1/2（AB+AD），求∠ABC+∠ADC的度数。

DCAEB

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AEOBDC

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