2021年云南省昆明市西双版纳州第一中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，偶函数是 (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(3,4) (D)(4, 5)
参：
C 略 4. 设角
弧度，则
所在的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A.
B.
C.
参：
B
2. 如右图所示为函数①
、②、③、④
的图像，其中
均大于0且不等于1，则
大小关系为（ ）
A. B. C. D.
参： B 略
3. 函数
的零点在区间 ( ) 内.
参：
C
5. 在等比数列中，，，则（ ）
A．6 B．3 C． D．或6
参： D
略 6. 把
化简后的结果是
A. C.
参：
A 略
7. 化简的结果是 ( )
A.
B.
C.
D.
参：
D.
B. D.B
=|cos 160°|＝－cos 160°.
故答案为：B。
8. 下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数（ ）
A．y= B．y=x2 C．y=（）x D．y=
参：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，依次分析选项可得：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（
）x不具有奇偶性，不符合题意；对于
D、
y=是幂函数，符合题意；即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、y=是奇函数，不符合题意；
对于B、y=x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意； 对于C、y=（）x是指数函数，不具有奇偶性，不符合题意；
对于D、y=是幂函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意要掌握常见函数的奇偶性与单调性．
9. 已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题： ①若α∥β，m?α，n?β，则m∥n ②若m，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β ④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n 上面命题中，正确的序号为（ ） A．①②
B．①③
C．③④
D．②③④
参：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】①，若α∥β，m?α，n?β，则m∥n或异面； ②，若m，n?α，m∥β，n∥β且m、n相交，则α∥β；
③，若m，n是两条异面直线，若m∥α，n∥α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α∥β；
④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n； 【解答】解：对于①，若α∥β，m?α，n?β，则m∥n或异面，故错； 对于②，若m，n?α，m∥β，n∥β且m、n相交，则α∥β，故错；
对于③，若m，n是两条异面直线，若m∥α，n∥α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α∥β，故正确；
对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确； 故选：C
10. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A）克 （B）(1－0.5%)3克 （C）0.925克 （D）
克
参：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：
①前3年总产量增长速度增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是_______.
参：
①④
12. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正确的命题是 。
参：
略
13. 设m>0，则直线
(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________．
参：
答案：相切或相离
解析：圆心到直线的距离为d＝
，圆的半径为r＝
，
∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离．
14. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
，
，则a的值为___________．
参：
8
试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以
,应填8.
【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边
的关系
及
,先求出
,在运用余弦定理得到
.
15. 能够说明“设a、b、c是任意实数,若,则”是假命题的一组整数a、b、c的值依次为
__________.
参：
－1,－2,－3 试题分析：
，矛盾，所以?1，?2，?3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 16. 已知
，
，则
= ，cosx= ．
参：
；
．
【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由x的范围求出x﹣
的范围，再由同角三角函数的基本关系式求得
；由
cosx=cos[（x﹣
）+
]，展开两角和的余弦求得cosx． 【解答】解：∵，∴
＜
，
又
， ∴=
． 则cosx=cos[（x﹣
）+
]=cos（x﹣
）cos
﹣sin（x﹣
）
sin
=
．
故答案为：；．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题． 17. 若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
参：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）判断函数
的奇偶性；
（2）判断并证明函数在
上的单调性.
参：
解：（1）
是偶函数；
（2）解：判断：
在
上是单调递增函数；
证明：任取
且
则 由
由
而
则
所以
在
上是单调递增函数
略
19. (本小题满分12分)设全集为
，集合
，
． （1）求如图阴影部分表示的集合； （2）已知
，若
，求实数的取值范围．
参：
（1）（2）
（2）因为
,所以
①当 ,则 ，即. ②当
时,
，即
时，
,
所以得
.
综上所述，的取值范围为
．
考点：集合的交并补运算,空集是任何集合的子集.
20. 已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2） ⑴若||，且
，求的坐标；
⑵若
，解不等式
.
参：
（1）设∵∥，∴ ………………………4分
∴或,∴或；…………………………………6分 （2）∵，∴
…………………………………7分
∴ ∴，∵
……………………………………………10分
∴
…………………………………………………………………12分
21. 已知数列{a*
n}的首项为1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2，n∈N）
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，求k的最大
值．
参：
【考点】8H：数列递推式．
【分析】（1）数列{an}的前n项和Sn与an之间满足a*
n=（n≥2，n∈N），可得Sn﹣Sn﹣
1
=，化为：﹣=2．即可证明．
（2）由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn=．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；n=1时，a1=1．（3）1+Sn=1+
=
．可得Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）=
××…×
＞
××…×=×…××（2n+1）=，可得：Tn＞．即可得出．
【解答】（1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2，n∈N*），
∴Sn﹣Sn﹣1=，化为：﹣=2．
∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为1．
（2）解：由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn=．
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=
﹣
．
∴an=
．
（3）解：∵1+Sn=1+
=．
∴Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）=××…×＞
××…×
=
×…×
×（2n+1）
=
，
可得：Tn＞
． ∴存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，则k的最大值为
1．
22. （12分）已知函数f（x）=x+
﹣1（x≠0），k∈R．
（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明； （2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．
参：
【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．
【分析】（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，f（x）在（﹣∞，
0）上单调递增．利用定义法能进行证明．
（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+
，根据k＞0，k=0，k＜0三个情况进行分类讨论经，能求出k
的取值范围．
（3）根据k=0，k＞0，k＜0三种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的零点个数． 【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣
，
综上，k的取值范围是（，+∞）．
（3）①当k=0时，f（x）=x﹣1，有1个零点． ②当k＞0时，
＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．
证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（
）﹣（
）=（x1﹣x2）（∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．
（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+
，
①当k＞0时，f′（t）=1﹣，
t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值， f（）==2﹣1， 当k
时，f（
）=2﹣1＞0， 当0＜k≤时，f（
）=2
﹣1≤0，
∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立． ②当k=0时，f（t）=t﹣1，
∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．
③当k＜0时，f恒大于0，
∵
，且f（x）在（0，+∞）内连续，
∴不满足f（t）＞0恒成立．
1+
），
（i）当x＞0时，f（x）=x+﹣1，f′（x）=1﹣，
当x=
时，f（x）取极小值，且f（x）在（0，+∞）内先减后增，
由f（x）函数式得
，
f（
）=2
﹣1，
当k=时，f（）=0，f（x）在（0，+∞）内有1个零点， 当k＞时，f（
）＞0，f（x）在（0，+∞）内有0个零点， 当0＜k＜时，f（
）＜0，f（x）在（0，+∞）内有2个零点．
（ii）当x＜0时，f（x）=x﹣﹣1，f′（x）=1+
，
f′（x）恒大于0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递增， 由f（x）表达式，得：
，
，
∴f（x）在（﹣∞，0）内有1个零点．
综上，当k=0时，f（x）有1个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当k＞时，f（x）有1个零点． ③当k＜0时，同理k＞0的情况：
当﹣＜k＜0时，f（x）有3个零点；当k=﹣时，f（x）有2个零点；当k＜﹣时，f（x）有1个零点．
综上所述，当k=0或k＞或k＜﹣时，f（x）有1个零点； 当k=或k=﹣时，f（x）有2个零点；
当0＜k＜或﹣＜k＜0时，f（x）有3个零点．
【点评】本题考查孙的单调性的判断及证明，考查实数物取值范围的求法，考查函数的零点个数的讨论，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．
