四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x∈N|x≤2}，B={x|3x﹣x2≥0}，则A∩B为（ ） A．{x|0≤x≤2} B．{1，2} C．{x|0＜x≤2} D．{0，1，2} 2．复数z=cos
+isin
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，的夹角为A．
B．61 C．
，且D．7
，
，则
=（ ）
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，且图中的x为1.6（寸）．则其体积为（ ）
A．0.4π+11.4立方寸 B．13.8立方寸 C．12.6立方寸 D．16.2立方寸
5．已知直线ax+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B 两点，且线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦，则实数a=（ ） A．2
B．±1 C．1或2
D．1
6．表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A．12π B．
C．π D．
π
的部分图象如图所示，则其在区间
7．函数y=Asin（ωx+ϕ）
上的单调递减区间是（ ）
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A．C．
和和
B． D．
和
和
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=3 B．a=4 C．a=5 D．a=6 9．已知cos（α﹣A．
）+sinα=
，则sin（α+
）的值是（ ）
B．﹣ C．﹣ D．
10．已知函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
11．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点．O为坐标原点，
若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离为（ ） A．
B．2
C．
D．
12．已知函数g（x）的导函数g'（x）=ex，且g（0）g'（1）=e，（其中e为自然对数的底
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数）．若∃x∈（0，+∞），使得不等式
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）
成立，则实数m的取值范围是（ ） D．（﹣∞，4﹣e）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．函数
的值域是 ．
14．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值为 ．
15．在△ABC中，BC=2，B=60°，若△ABC的面积等于，则AC边长为 ．
16．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）
在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．等比数列{an}的各项均为正数，且（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列
的前n项和Tn．
．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB1∩A1B=E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；
（Ⅰ）求证：BD⊥平面A1ACC1；
（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱锥A﹣BCB1的体积．
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19．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（2
，
）．
，（t为参数），曲线C的普通方程为x﹣4x+y﹣2y=0，点P的极坐标为
2
2
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．
23．设f（x）=|x﹣b|+|x+b|．
（1）当b=1时，求f（x）≤x+2的解集； （2）当x=1时，若不等式f（x）≥取值范围．
对任意实数a≠0恒成立，求实数b的
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2017年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x∈N|x≤2}，B={x|3x﹣x≥0}，则A∩B为（ ） A．{x|0≤x≤2} B．{1，2} C．{x|0＜x≤2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．
【分析】列举出集合A中的元素确定出A，求出B的解集，找出两集合的交集即可． 【解答】解：集合A={x∈N|x≤2}={0，1，2}，B={x|3x﹣x2≥0}={x|0≤x≤3}， ∴A∩B={0，1，2}． 故选：D．
2．复数z=cos
+isin
在复平面内对应的点在（ ）
2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用三角函数求值、几何意义即可得出． 【解答】解：由题意可知，z=cos二象限． 故选：B．
3．已知向量，的夹角为A．
B．61 C．
，且D．7
，
，则
=（ ）
+isin
=
+
i，对应的点
在第
【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】可求出
的值．
【解答】解：
，且
；
，进而求出
，从而可求出
的值，这样即可得出
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∴∴∴故选A．
．
；
=25+20+16=61；
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，且图中的x为1.6（寸）．则其体积为（ ）
A．0.4π+11.4立方寸 B．13.8立方寸 C．12.6立方寸 D．16.2立方寸 【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，即可求出体积． 【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得： 其体积为（5.4﹣x）×3×1+π•（）2•1.6=12.6立方寸， 故选：C．
5．已知直线ax+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B 两点，且线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦，则实数a=（ ） A．2
B．±1 C．1或2
D．1
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【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，AB为直径，圆心代入直线方程，即可得出结论．
【解答】解：圆C：（x﹣1）+（y﹣a）=4的圆心坐标为（1，a），半径r=2， 由题意，AB为直径，则a+a﹣2=0，∴a=1． 故选D．
6．表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A．12π B．
C．π D．
π
2
2
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由正方体的表面积为24，得到正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的体积即可．
【解答】解：表面积为24的正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2的直径，
∴球的体积为：S=π（故选：C．
7．函数y=Asin（ωx+ϕ）
上的单调递减区间是（ ）
的部分图象如图所示，则其在区间
）3=4
π．
，就是球
A．C．
和和
B． D．
和
和
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象可得A=2， T=
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﹣（﹣）=，由T=π=，
可解得ω=2；再由“五点作图法”解得：φ=﹣弦函数的单调性，解不等式2kπ+1，即可求得函数y=2sin（2x﹣
≤2x﹣）在区间
，从而可得y=2sin（2x﹣≤2kπ+
），利用正
（k∈Z）后，再对k赋值0与上的单调递减区间．
的部分图象可知，
【解答】解：由函数y=Asin（ωx+ϕ）A=2， T=
﹣（﹣
）=
，故T=π=+φ=
，解得ω=2；
．
由“五点作图法”得：2×所以，y=2sin（2x﹣由2kπ+kπ+
≤2x﹣
）．
，解得：φ=﹣
≤2kπ+（k∈Z）． ； ；
（k∈Z）得：
≤x≤kπ+
≤x≤≤x≤
当k=0时，当k=1时，
综上所述，函数y=2sin（2x﹣和[
，
]．
）在区间上的单调递减区间是[，]
故选：B．
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=3 B．a=4 C．a=5 D．a=6
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【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，结合选项即可得解． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，k=1
不满足条件k＞a，S=，k=2 不满足条件k＞a，S=，k=3 不满足条件k＞a，S=，k=4
由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为， 故选：A．
9．已知cos（α﹣A．
）+sinα=
，则sin（α+
）的值是（ ）
B．﹣ C．﹣ D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式求得sin（α+【解答】解：∵cos（α﹣∴sin（α+则sin（α+故选：B．
10．已知函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
）=， ）=﹣sin（α+
）=﹣， ）+sinα=
cosα+sinα=
）的值． sin（α+
）=
，
【考点】CF：几何概型．
【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0的可能取值，长度为定义域长度6，得事件f（x0）≤0发生的概率．
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【解答】解：∵f（x0）≤0， ∴x0﹣x0﹣2≤0， ∴﹣1≤x0≤2，即x0∈， ∵在定义域内任取一点x0， ∴x0∈，
∴使f（x0）≤0的概率P=故选：C．
11．已知直线l过椭圆C：
的左焦点F且交椭圆C于A、B两点．O为坐标原点，
=．
2
若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离为（ ） A．
B．2
C．
D．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】讨论直线l的斜率，联立方程组消元，利用根与系数的关系，令kOA•kOB=﹣1解出k，得出直线l的方程，从而求得点O到直线l的距离． 【解答】解：F（﹣1，0），
若直线l无斜率，直线l方程为x=﹣1，此时A（﹣1，∴kOA=﹣
，kOB=
，∴kOA•kOB=﹣．不符合题意．
），B（﹣1，﹣
），
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=k（x+1），
联立方程组，消元得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，
∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=﹣+k2=﹣，
∴kOA•kOB=解得k=
=﹣．
=﹣1，
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∴直线l的方程为x﹣y+
=
=0或．
x+y+=0，
∴O到直线l的距离d=故选A．
12．已知函数g（x）的导函数g'（x）=e，且g（0）g'（1）=e，（其中e为自然对数的底数）．若∃x∈（0，+∞），使得不等式
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】由g'（x）=e，可设g（x）=e+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（x）＜立，分离出参数m后可得m＜x﹣ex（x）max，利用导数可求得h（x）max．
【解答】解：∵函数g（x）的导函数g'（x）=e， ∴g（x）=e+c， 又∵g（0）g'（1）=e，
∴（1+c）e=e⇒c=0，∴g（x）=e， ∵∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜∴∃x∈（0，+∞），使得m＜x﹣ex令h（x）=x﹣ex对于h（x）=x﹣ex
x
x
x
x
x
x
x
成立，则实数m的取值范围是（ ） D．（﹣∞，4﹣e）
成
+3，令h（x）=x﹣ex+3，则问题可转化为：m＜h
成立，
+3成立，
+3，则问题可转化为：m＜h（x）max， +3，x∈（0，+∞），
+
），
由于h′（x）=1﹣e（当x∈（0，+∞）时， ∵ex＞1，∴ex（
+ +
≥2 ）＞1，
=，
∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数， ∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3； 故选：B．
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二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．函数
的值域是 ，
其中点分别为1，3，5，7，9，11，
对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
故可估计平均值为1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5．… （3）由（2）可知空白栏中填5． 由
题
意
可
知
，
，
，，
根据公式，可求得
所以所求的回归直线方程为y=1.2x+0.2．…
，…，…
20．已知点F是拋物线C：y=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=（1）求p的值；
2
．
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=
，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，
p=；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=
，直线BM的斜率kBM=
，kAM•kBM=
×
=﹣．当
直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM•kBM=
=
=﹣，即可证明直线AM与直线BM
的斜率之积为常数﹣．
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【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，
又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=， ∴p的值；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x， 当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，则直线AM的斜率kAM=∴kAM•kBM=
×
，直线BM的斜率kBM==﹣．
，
），B（3，﹣
），
当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则直线AM的斜率kAM=
=
=
，同理直线BM的斜率kBM=
，
kAM•kBM=•=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），
则直线l的方程为y+1=k（x﹣3）， 联立方程
，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，
∴y1+y2=，y1•y2=﹣=﹣3﹣，
故kAM•kBM===﹣，
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．
21．已知t＞0，设函数f（x）=x﹣（1）当m=2时，求φ（x）的极值点； （2）讨论f（x）在区间（0，2）上的单调性；
（3）f（x）≤ϕ（x）对任意x∈+1对任意x∈+1对任意x∈
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为
，（t为参数），曲线C的普通方程为x2﹣4x+y2﹣2y=0，点P的极坐标为
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3
x+3tx+1．φ（x）=xe﹣m+2
2x
（2，）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）根据直线l的参数方程，消参可得直线l的普通方程，根据曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简，可得曲线C的极坐标方程； （2）由题意得l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积． 【解答】解：（1）根据题意，直线l的参数方程为y+2=0，…
曲线C的普通方程为x﹣4x+y﹣2y=0，极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ（ρ∈R）… （2）将直线l向右平移2个单位得到直线l′， 则l′的普通方程为y=x， 所以其极坐标方程为θ=
，
，
2
2
，联立C的极坐标方程，
，（t为参数）的普通方程为x﹣
代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3故|AB|=3
，
因为OP⊥l′，所以点P到直线l′的距离为2所以△PAB的面积S=×3
23．设f（x）=|x﹣b|+|x+b|．
（1）当b=1时，求f（x）≤x+2的解集； （2）当x=1时，若不等式f（x）≥取值范围．
×2
=6…
，
对任意实数a≠0恒成立，求实数b的
【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．
【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；
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（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（b）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得b的范围． 【解答】解：（1）当b=1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|， 由f（x）≤x+2得：
或
即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅， 解得0≤x≤2，
所以f（x）≤x+2的解集为； （2）
=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，
或
，
当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号． 由不等式f（x）≥
对任意实数a≠0恒成立，
由于x=1，可得|1﹣b|+|1+b|≥3， 即
或
或
，
解得：或．
．
故实数b的取值范围是
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2017年5月23日
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