2021-2022学年江苏省盐城市阜宁实验中学八年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省盐城市阜宁实验中学八年级（上）

第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是( )

A. B. C. D.

2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条𝐸𝐹固定长方形门

框𝐴𝐵𝐶𝐷，使其不变形，这样做的根据是( )

A. 两点之间，线段最短 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 三角形三个内角和等于180° D. 三角形具有稳定性

𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝑂𝐵=𝑂𝐷.要使△𝐴𝑂𝐵≌△3. 如图，

𝐶𝑂𝐷，则下列添加的条件中错误的是( )

A. ∠𝐴=∠𝐶 B. ∠𝐵=∠𝐷 C. 𝑂𝐴=𝑂𝐶 D. 𝐴𝐵=𝐶𝐷

4. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了

三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带( )去．

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

5. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )

A. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点

B. 三条高的交点

D. 三条边的垂直平分线的交点

6. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3−∠2=

( )

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A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°

7. 如图，𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，𝑃是𝑂𝐶上一点，𝑃点到𝑂𝐴的

距离𝑃𝐸=2，点𝐹是𝑂𝐵上任意一点，则线段𝑃𝐹的长的取值范围是( )

A. 𝑃𝐹<2 B. 𝑃𝐹>2 C. 𝑃𝐹≥2 D. 𝑃𝐹≤2

8. 已知：如图，∠𝐴𝑂𝐵=40°，点𝑃为∠𝐴𝑂𝐵内一点，𝑃′，𝑃″分

𝑂𝐵的对称点，别是点𝑃关于𝑂𝐴、连接𝑃′𝑃″，分别交𝑂𝐴于𝑀、𝑂𝐵于𝑁.如果𝑃′𝑃″=5𝑐𝑚，△𝑃𝑀𝑁的周长为𝑙，∠𝑃′𝑂𝑃′′的度数为𝛼，请根据以上信息完成作图，并指出𝑙和𝛼的值．( )

A. 𝑙=5𝑐𝑚，𝛼=80° C. 𝑙=6𝑐𝑚，𝛼=80°

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

B. 𝑙=5𝑐𝑚，𝛼=85° D. 𝑙=6𝑐𝑚，𝛼=85°

9. 已知△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，∠𝐴=50°，∠𝐸=60°，则∠𝐶=______． 10. 如图，△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，∠𝐵与∠𝐶是对应角，若𝐴𝐸=

5𝑐𝑚，𝐵𝐸=7𝑐𝑚.则𝐴𝐶=______．

11. 如图，𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶边的垂直平分线，若𝐵𝐶=4𝑐𝑚，𝐴𝐵=5𝑐𝑚，则△𝐸𝐵𝐶的

周长为______．

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12. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，要使△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，

若根据“𝐻𝐿”判定，还需要加条件______．

13. 如图，𝐴𝐸=𝐴𝐹，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐸𝐶交𝐵𝐹交于点𝑂，∠𝐴=40°，

∠𝐵=25°，则∠𝐸𝑂𝐵的度数为______．

14. 如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=50°，将其折叠，使点𝐴

落在边𝐶𝐵上𝐴′处，折痕为𝐶𝐷，则∠𝐴′𝐷𝐵的度数为______．

15. 我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在

如图所示的方格纸中，除了格点三角形𝐴𝐵𝐶外，可画出与△𝐴𝐵𝐶全等的格点三角形共有______ 个.

∠𝐴=∠𝐵=90°，∠𝐶=60°，𝐶𝐷=2𝐴𝐷，16. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，

𝐴𝐵边上存在点𝑃，使𝑃𝐶+𝑃𝐷的值最小，此时∠𝐵𝐶𝑃的度数是______．

17. 如图，𝑃为△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点，𝑃𝐻、𝑃𝑁、𝑃𝑀分别垂直于𝐵𝐶、𝐴𝐶、𝐴𝐵，

垂足分别为𝐻、𝑁、𝑀.已知△𝐴𝐵𝐶的周长为15𝑐𝑚，𝑃𝐻=3𝑐𝑚，则△𝐴𝐵𝐶的面积为______𝑐𝑚2．

𝐴𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐸是𝐴𝐵上一点，𝐴𝐸=𝐴𝐶，18. 如图，

𝐸𝐹//𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐹.下列结论：①△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；②𝐶𝐸平分∠𝐷𝐸𝐹；③𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸；④𝐷𝐸=𝐷𝐹.其中正确的有______(填序号)．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19. 如图，在△𝐴𝐵𝐷和△𝐹𝐸𝐶中，点𝐵，𝐶，𝐷，𝐸在同一

直线上，且𝐴𝐵=𝐹𝐸，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐹𝐶𝐸，∠𝐵=∠𝐸． 求证：𝐵𝐶=𝐷𝐸．

20. 利用网格线作图：在𝐵𝐶上找一点𝑃，使点𝑃到𝐴𝐵和𝐴𝐶的

距离相等．然后，在射线𝐴𝑃上找一点𝑄，使𝑄𝐵=𝑄𝐶．

△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶延长线上一点，21. 如图，满足𝐶𝐷=𝐴𝐵，过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵且𝐶𝐸=𝐵𝐶，

连接𝐷𝐸并延长，分别交𝐴𝐶、𝐴𝐵于点𝐹、𝐺． (1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸；

(2)若∠𝐵=50°，∠𝐷=22°，求∠𝐴𝐹𝐺的度数．

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𝐵𝐷，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐹，𝐵𝐸=𝐶𝐷.22. 如图，

求证

(1)𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐷； (2)𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶．

23. 如图，四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐷=90°，点𝑂为𝐵𝐷的中点，且𝑂𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶．

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(1)求证：𝑂𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷； (2)求证：𝑂𝐴⊥𝑂𝐶； (3)求证：𝐴𝐵+𝐶𝐷=𝐴𝐶．

24. 数学课上，探讨角平分线的作法时，用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：如图1，①在𝑂𝐴和𝑂𝐵上分别截取𝑂𝐷、𝑂𝐸，使𝑂𝐷=𝑂𝐸．

②分别以𝐷、𝐸为圆心，以大于2𝐷𝐸的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝑂𝐵内交于点𝐶． ③作射线𝑂𝐶，则𝑂𝐶就是∠𝐴𝑂𝐵的平分线．

𝑂𝑁，小聪的作法步骤：如图2，在𝑂𝐴和𝑂𝐵上分别截取𝑂𝑀、①利用三角板上的刻度，使𝑂𝑀=𝑂𝑁．

②分别过𝑀、𝑁作𝑂𝑀、𝑂𝑁的垂线，交于点𝑃． ③作射线𝑂𝑃，则𝑂𝑃为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． 根据以上情境，解决下列问题：

①用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是______． ②小聪的作法正确吗？请说明理由．

(要求：作出图形，写出作图步骤，③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．不予证明)

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25. 【问题引领】

𝐶𝐵=𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐵𝐶𝐷=120°.𝐸，问题1：如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷上的点，且∠𝐸𝐶𝐹=60°.探究图中线段𝐵𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐷之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长𝐹𝐷到点𝐺.使𝐷𝐺=𝐵𝐸.连结𝐶𝐺，先证明△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺，再证明△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹.他得出的正确结论是______．

【探究思考】

𝐶𝐵=𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，180°，∠𝐸𝐶𝐹=2∠𝐵𝐶𝐷，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】

问题3：如图3，在问题2的条件下，若点𝐸在𝐴𝐵的延长线上，点𝐹在𝐷𝐴的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段𝐵𝐸、𝐷𝐹、𝐸𝐹之间存在什么样的等量关系？并说明理由．

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答案和解析

1.【答案】𝐷

【解析】解：选项A、𝐵、𝐶不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：𝐷．

利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

2.【答案】𝐷

【解析】解：用木条𝐸𝐹固定长方形门框𝐴𝐵𝐶𝐷，使其不变形的根据是三角形具有稳定性． 故选：𝐷．

根据三角形具有稳定性解答．

本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．

3.【答案】𝐷

【解析】解：∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷，𝑂𝐵=𝑂𝐷，

∴当添加∠𝐴=∠𝐶时，可根据“𝐴𝐴𝑆”判断△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷； 当添加∠𝐵=∠𝐷时，可根据“𝐴𝑆𝐴”判断△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷； 当添加𝑂𝐴=𝑂𝐶时，可根据“𝑆𝐴𝑆”判断△𝐴𝑂𝐵≌△𝐶𝑂𝐷． 故选：𝐷．

根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．

本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另

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一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

4.【答案】𝐶

【解析】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合𝐴𝑆𝐴判定，所以应该拿这块去． 故选：𝐶．

此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．

此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

5.【答案】𝐶

【解析】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：𝐶．

因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．

该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为𝐷．

6.【答案】𝐵

【解析】解：如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐴中， 𝐴𝐵=𝐷𝐸

{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐴=90°， 𝐵𝐶=𝐴𝐸

∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐴(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°，

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又∵∠2=45°，

∴∠1+∠3−∠2=90°−45°=45°． 故选：𝐵．

标注字母，利用“边角边”判断出△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐴全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解． 本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．

7.【答案】𝐶

【解析】解：作𝑃𝑀⊥𝑂𝐵于𝑀，

∵𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线，𝑃𝐸⊥𝑂𝐴，𝑃𝑀⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝑀=𝑃𝐸=2， ∵点𝑁是𝑂𝐵上的任意一点， ∴𝑃𝐹≥𝑃𝑀， ∴𝑃𝐹≥2， 故选：𝐶．

作𝑃𝑀⊥𝑂𝐵于𝑀，根据角平分线的性质得到𝑃𝑀=𝑃𝐸，进而得到得到线段𝑃𝐹的取值范围．

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

8.【答案】𝐴

【解析】解：连接𝑂𝑃， ∵𝑃与𝑃′关于𝑂𝐴对称， ∴𝑂𝐴是𝑃𝑃′的中垂线， ∴𝑃′𝑀=𝑃𝑀，𝑃′𝑂=𝑃𝑂， 同理得：𝑃𝑁=𝑃″𝑁，𝑃𝑂=𝑃″𝑂，

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∴∠𝑃′𝑂𝐴=∠𝑃𝑂𝐴，∠𝑃″𝑂𝐵=∠𝑃𝑂𝐵， ∵∠𝑃′𝑂𝑃″=𝛼=2∠𝐴𝑂𝐵=2×40°=80°，

∵△𝑃𝑀𝑁的周长=𝑙=𝑃𝑀+𝑃𝑁+𝑀𝑁=𝑃′𝑀+𝑃′𝑁+𝑀𝑁=𝑃′𝑃″=5𝑐𝑚； 故选：𝐴．

连接𝑂𝑃，由对称的性质得：𝑂𝐴、𝑂𝐵分别是𝑃𝑃′和𝑃𝑃″的中垂线，由中垂线的性质得：𝑃𝑀=𝑃′𝑀，𝑃𝑁=𝑃′𝑁，𝑃′𝑂=𝑃𝑂，𝑃𝑂=𝑃″𝑂，再根据等腰三角形三线合一的性质求出𝛼的度数，同时求出𝑙的长．

本题考查了轴对称的性质、中垂线的性质、等腰三角形三线合一的性质，明确对称轴是对称点连线的中垂线是关键，并熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，这在等腰三角形中经常运用．

9.【答案】70°

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹， ∴∠𝐵=∠𝐸=60°， ∵∠𝐴=50°，

∴∠𝐶=180°−50°−60°=70°， 故答案为：70°．

利用全等三角形的性质可得∠𝐵=∠𝐸=60°，再利用三角形内角和定理计算即可． 此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

10.【答案】12𝑐𝑚

【解析】解：∵𝐴𝐸=5𝑐𝑚，𝐵𝐸=7𝑐𝑚， ∴𝐴𝐵=12𝑐𝑚， ∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐵=12𝑐𝑚， 故答案为：12𝑐𝑚．

结合图形求出𝐴𝐵，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答即可．

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

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11.【答案】9𝑐𝑚

【解析】解：∵𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐶边的垂直平分线， ∴𝐸𝐴=𝐸𝐶，

∴△𝐸𝐵𝐶的周长=𝐵𝐸+𝐸𝐶+𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐸𝐴+𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=4𝑐𝑚，𝐴𝐵=5𝑐𝑚，

∴△𝐸𝐵𝐶的周长=𝐵𝐴+𝐵𝐶=9(𝑐𝑚)， 故答案为：9𝑐𝑚．

根据线段垂直平分线的性质得到𝐸𝐴=𝐸𝐶，根据三角形的周长公式计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

12.【答案】𝐴𝐵=𝐴𝐶

【解析】 【分析】

此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“𝐻𝐿”)可得需要添加条件𝐴𝐵=𝐴𝐶． 【解答】解：还需添加条件𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷和𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶{， 𝐴𝐷=𝐴𝐷

∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷≌𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷(𝐻𝐿)， 故答案为：𝐴𝐵=𝐴𝐶．

13.【答案】90°

【解析】解：∵𝐴𝐸=𝐴𝐹，∠𝐴=∠𝐴，𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐹𝐵(𝑆𝐴𝑆) ∴∠𝐵=∠𝐶=25°，

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∵∠𝑂𝐹𝐶=∠𝐴+∠𝐵=65°， ∴∠𝐹𝑂𝐶=180°−∠𝐶−∠𝑂𝐹𝐶=90° 故答案为：90°．

已知可得△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐶𝐸，结合三角形内角和可得∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐴𝐸𝐶=95°，在由外角性质可得，∠𝐸𝑂𝐵=95°−25°=70°

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角旋转和三角形内角和定理，证明△𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐹𝐵是本题的关键．

14.【答案】10°

【解析】解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=50°， ∴∠𝐵=90°−50°=40°， ∵折叠后点𝐴落在边𝐶𝐵上𝐴′处， ∴∠𝐶𝐴′𝐷=∠𝐴=50°，

由三角形的外角性质得，∠𝐴′𝐷𝐵=∠𝐶𝐴′𝐷−∠𝐵=50°−40°=10°． 故答案为：10°．

根据直角三角形两锐角互余求出∠𝐵，根据翻折变换的性质可得∠𝐶𝐴′𝐷=∠𝐴，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．

15.【答案】15

【解析】解：用𝑆𝑆𝑆判定两三角形全等，所以共有16个全等三角形，

除去△𝐴𝐵𝐶外有15个与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形． 故答案为：15．

用𝑆𝑆𝑆判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．

此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是

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解决问题的关键．

16.【答案】30°

【解析】解：作𝐶点关于𝐴𝐵的对称点𝐶′，连接𝐶′𝐷交𝐴𝐵于点𝑃，连接𝐶𝑃，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶交于点𝑀， ∴𝐶𝑃=𝐶′𝑃，

∴𝐶𝑃+𝑃𝐷=𝐶′𝑃+𝑃𝐷=𝐶′𝐷，此时𝑃𝐷+𝑃𝐶的值最小， ∵∠𝐶=60°， ∴𝐶𝑀=𝐶𝐷，

21

∵𝐶𝐷=2𝐴𝐷， ∴𝐶𝑀=𝐴𝐷=𝐵𝑀， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，

设𝐴𝐷=𝑥，则𝐵𝐶=2𝑥，𝐶𝑀=𝑥， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝑀中，𝐷𝑀=√3𝑥，

在𝑅𝑡△𝐶′𝑀𝐷中，𝐶′𝑀=3𝑥，𝐷𝑀=√3𝑥， ∴𝐶′𝐷=2√3𝑥， ∴∠𝐷𝐶′𝑀=30°， ∵∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐶′， ∴∠𝑃𝐶𝐵=30°， 故答案为：30°．

另解：作𝐷点关于𝐴𝐵的对称点𝐷′，连接𝐶𝐷′交𝐴𝐵于点𝑃，连接𝐷𝑃， ∴𝐷𝐴=𝐴𝐷′ ∴𝐷𝐷′=2𝐴𝐷， ∵𝐶𝐷=2𝐴𝐷， ∴𝐷𝐷′=𝐶𝐷，

∴△𝐶𝐷𝐷′是等腰三角形， ∵∠𝐴=∠𝐵=90°， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∵∠𝐶=60°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=120°， ∴∠𝐷𝐷′𝐶=∠𝐷𝐶𝑃=30°，

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∴∠𝑃𝐶𝐵=30°， 故答案为：30°．

作𝐶点关于𝐴𝐵的对称点𝐶′，连接𝐶′𝐷交𝐴𝐵于点𝑃，连接𝐶𝑃，过点𝐷作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶交于点𝑀，𝑃、𝐷三点共线时，𝑃𝐷+𝑃𝐶的值最小，𝐶𝑀=𝑥，当𝐶′、由题意可知设𝐴𝐷=𝑥，则𝐵𝐶=2𝑥，𝐶′𝑀=3𝑥，在𝑅𝑡△𝐶′𝑀𝐷中，则有∠𝐷𝐶′𝑀=30°，又由∠𝑃𝐶𝐵=𝐷𝑀=√3𝑥，𝐶′𝐷=2√3𝑥，∠𝐶′，即可求解．

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．

17.【答案】22.5

【解析】解：连接𝑃𝑀、𝑃𝑁、𝑃𝐻，

∵𝑃为△𝐴𝐵𝐶三条角平分线的交点，𝑃𝐻、𝑃𝑁、𝑃𝑀分别垂直于𝐵𝐶、𝐴𝐶、𝐴𝐵， ∴𝑃𝑀=𝑃𝑁=𝑃𝐻=3𝑐𝑚，

∴△𝐴𝐵𝐶的面积=△𝐴𝑃𝐵的面积+△𝐵𝑃𝐶的面积+△𝐴𝑃𝐶的面积

=2×𝐴𝐵×𝑃𝑀+2×𝐵𝐶×𝑃𝐻+2×𝐴𝐶×𝑃𝑁 =(𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶)×3

211

1

1

=22.5． 故答案为：22.5．

连接𝑃𝑀、𝑃𝑁、𝑃𝐻，根据角平分线的性质得到𝑃𝑀=𝑃𝑁=𝑃𝐻=3𝑐𝑚，根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

18.【答案】①②③

【解析】解：∵𝐴𝐷是角平分线， ∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， 在△𝐴𝐷𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，

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𝐴𝐶=𝐴𝐸

{∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， 𝐴𝐷=𝐴𝐷

∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)，故①正确； ∴𝐷𝐸=𝐷𝐶， ∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸， ∵𝐸𝐹//𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐶𝐸𝐹， ∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐶𝐸𝐹，

∴𝐶𝐸平分∠𝐷𝐸𝐹，故②正确； ∵𝐴𝐸=𝐴𝐶，𝐷𝐸=𝐷𝐶，

∴𝐴、𝐷都在线段𝐸𝐹的垂直平分线上， ∴𝐴𝐷垂直平分𝐸𝐹，故③正确； ∵𝐷𝐶≠𝐷𝐹，𝐷𝐸=𝐷𝐶， ∴④不正确， ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③．

由角平分线的定义结合条件可证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；可得𝐷𝐸=𝐷𝐹，则可证得∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐶𝐸，再利用平行可证明𝐶𝐸平分∠𝐷𝐸𝐹，由线段垂直平分线的判定可证明𝐴𝐷垂直平分𝐶𝐸．

本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证得△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐷𝐸是解题的关键．

19.【答案】证明：在△𝐴𝐵𝐷与△𝐹𝐸𝐶中，

∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐹𝐶𝐸{∠𝐵=∠𝐸， 𝐴𝐵=𝐹𝐸

∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐹𝐸𝐶(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐸，

∴𝐵𝐷−𝐶𝐷=𝐶𝐸−𝐶𝐷

即 𝐵𝐶=𝐷𝐸．

【解析】根据𝐴𝐴𝑆证出△𝐴𝐵𝐷与△𝐹𝐸𝐶全等，得出𝐵𝐷=𝐶𝐸，根据等式性质即可得到结论．

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此题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．

20.【答案】解：如图，点𝑃就是所要求作的到𝐴𝐵和𝐴𝐶的距离相等的点，

点𝑄就是所要求作的使𝑄𝐵=𝑄𝐶的点．

【解析】根据网格特点先作出∠𝐴的角平分线与𝐵𝐶的交点就是点𝑃，再作𝐵𝐶的垂直平分线与𝐴𝑃的交点就是点𝑄．

本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，找出相应的点是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵𝐶𝐸//𝐴𝐵，

∴∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐸， 在△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐸中， 𝐵𝐶=𝐶𝐸

{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐸， 𝐵𝐴=𝐶𝐷

∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)；

(2)解：∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐸，∠𝐵=50°，∠𝐷=22°， ∴∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐵=50°，∠𝐴=∠𝐷=22°， ∵𝐶𝐸//𝐴𝐵，

∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴=22°，

∵∠𝐶𝐸𝐷=180°−∠𝐷−∠𝐸𝐶𝐷=180°−22°−50°=108°， ∴∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐴𝐶𝐸=108°−22°=86°．

【解析】(1)根据𝐶𝐸//𝐴𝐵可得∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，由𝑆𝐴𝑆定理可得结论；

(2)利用全等三角形的性质定理可得∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐵=50°，∠𝐴=∠𝐷=22°，由平行线的性质定理易得∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴=22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．

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本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．

22.【答案】证明：(1)∵𝐵𝐷，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，

∴△𝐵𝐶𝐸和△𝐶𝐵𝐷是直角三角形， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸和𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐷中， 𝐵𝐶=𝐶𝐵{， 𝐵𝐸=𝐶𝐷

∴𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐷(𝐻𝐿)； (2)∵𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷， ∴𝐶𝐹=𝐵𝐹，

∴𝐶𝐸−𝐶𝐹=𝐵𝐷−𝐵𝐹， ∴𝐸𝐹=𝐷𝐹，

又∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶， ∴点𝐹在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上， ∴𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶．

【解析】(1)根据高的定义求出∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐷𝐵=90°，根据全等三角形的判定定理𝐻𝐿推出即可；

(2)由全等三角形的性质得出𝐶𝐸=𝐵𝐷，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐶𝐵𝐷，证得𝐸𝐹=𝐷𝐹，利用角平分线逆定理即可得证．

此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

23.【答案】证明：(1)过点𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，

∵∠𝐴𝐵𝐷=90°，𝑂𝐴平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐸， ∵点𝑂为𝐵𝐷的中点，

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∴𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐷， ∴𝑂𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷；

(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂和𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑂中， 𝐴𝑂=𝐴𝑂{， 𝑂𝐵=𝑂𝐸

∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂≌𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑂(𝐻𝐿)， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐸， 同理求出∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐸，

∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐸+∠𝐶𝑂𝐸=2×180°=90°， ∴𝑂𝐴⊥𝑂𝐶；

(3)∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑂≌𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑂， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸， 同理可得𝐶𝐷=𝐶𝐸， ∵𝐴𝐶=𝐴𝐸+𝐶𝐸， ∴𝐴𝐵+𝐶𝐷=𝐴𝐶．

【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

(1)过点𝑂作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得𝑂𝐵=𝑂𝐸，从而求出𝑂𝐸=𝑂𝐷，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； (2)利用“𝐻𝐿”证明△𝐴𝐵𝑂和△𝐴𝐸𝑂全等，根据全等三角形对应角相等可得∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐸，同理求出∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐶𝑂𝐸，然后求出∠𝐴𝑂𝐶=90°，再根据垂直的定义即可证明； (3)根据全等三角形对应边相等可得𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐶𝐷=𝐶𝐸，然后证明即可．

1

24.【答案】𝑆𝑆𝑆

【解析】解：①用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法𝑆𝑆𝑆． 故答案为：𝑆𝑆𝑆；

②小聪的作法正确．

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理由：∵𝑃𝑀⊥𝑂𝑀，𝑃𝑁⊥𝑂𝑁 ∴∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑁𝑃=90°， 在𝑅𝑡△𝑂𝑀𝑃和𝑅𝑡△𝑂𝑁𝑃中 ∵{

𝑂𝑃=𝑂𝑃

，

𝑂𝑀=𝑂𝑁

∴𝑅𝑡△𝑂𝑀𝑃≌𝑅𝑡△𝑂𝑁𝑃(𝐻𝐿)．

∴∠𝑀𝑂𝑃=∠𝑁𝑂𝑃

∴𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵．

③如图所示．

步骤：①利用刻度尺在𝑂𝐴、𝑂𝐵上分别截取𝑂𝐺=𝑂𝐻． ②连接𝐺𝐻，利用刻度尺作出𝐺𝐻的中点𝑄． ③作射线𝑂𝑄．

则𝑂𝑄为∠𝐴𝑂𝐵的平分线．

①根据全等三角形的判定即可求解；

②根据𝐻𝐿可证𝑅𝑡△𝑂𝑀𝑃≌𝑅𝑡△𝑂𝑁𝑃，再根据全等三角形的性质即可作出判断； ③根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可．

本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．

25.【答案】解：问题1：𝐵𝐸+𝐹𝐷=𝐸𝐹；

问题2：问题1中结论仍然成立．

理由：如图2，延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺=𝐵𝐸，连结𝐶𝐺，

第20页，共23页

∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°，∠𝐶𝐷𝐺+∠𝐴𝐷𝐶=180°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐺𝐷𝐶，

𝐵𝐸=𝐷𝐺

在△𝐶𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐺中，{∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐺，

𝐵𝐶=𝐶𝐷∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐺，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐺， ∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺， ∵∠𝐸𝐶𝐹=2∠𝐵𝐶𝐷， ∴∠𝐸𝐶𝐹=2∠𝐸𝐶𝐺， ∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

𝐶𝐸=𝐶𝐺

在△𝐶𝐸𝐹和△𝐶𝐺𝐹中，{∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

𝐶𝐹=𝐶𝐹∴△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝐺𝐹，

∴𝐸𝐹=𝐷𝐹+𝐷𝐺=𝐷𝐹+𝐵𝐸；

问题3：结论：𝐷𝐹=𝐸𝐹+𝐵𝐸．

11

理由：如图3，在𝐴𝐷上找到点𝐺，使𝐷𝐺=𝐵𝐸，连结𝐶𝐺， ∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝐸=180°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐵𝐸，

𝐵𝐸=𝐷𝐺

在△𝐶𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐺中，{∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐺，

𝐵𝐶=𝐶𝐷∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐺，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐺，

第21页，共23页

∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺， ∵∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐵𝐶𝐷，

2121

∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐸𝐶𝐺， ∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

𝐶𝐸=𝐶𝐺

在△𝐶𝐸𝐹和△𝐶𝐺𝐹中，{∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

𝐶𝐹=𝐶𝐹∴△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝐺𝐹，

∴𝐷𝐹=𝐹𝐺+𝐷𝐺=𝐸𝐹+𝐵𝐸． 【解析】 【分析】

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．

问题1，先证明△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺，再证明△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹，最后用线段的和差即可得出结论；

问题2、先判断出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐺𝐷𝐶，进而判断出△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺，再证明△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3、同问题2的方法即可得出结论． 【解答】

解：问题1、𝐵𝐸+𝐹𝐷=𝐸𝐹，

理由：延长𝐹𝐷到点𝐺.使𝐷𝐺=𝐵𝐸.连结𝐶𝐺， 𝐵𝐸=𝐷𝐺

在△𝐶𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐺中，{∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐷𝐺=90°，

𝐵𝐶=𝐶𝐷∴△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐺，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐺， ∵∠𝐵𝐶𝐷=120°， ∴∠𝐸𝐶𝐺=120°， ∵∠𝐸𝐶𝐹=60°， ∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

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𝐶𝐸=𝐶𝐺

在△𝐶𝐸𝐹和△𝐶𝐺𝐹中，{∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐺𝐶𝐹，

𝐶𝐹=𝐶𝐹∴△𝐶𝐸𝐹≌△𝐶𝐺𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐸𝐹=𝐺𝐹，

∴𝐸𝐹=𝐷𝐹+𝐷𝐺=𝐷𝐹+𝐵𝐸． 故答案为：𝐸𝐹=𝐷𝐹+𝐵𝐸； 问题2，问题3见答案．

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