函数的零点问题

函数的零点问题(总6页)

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函数零点问题的求解

【教学目标】

知识与技能：

1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函

数

零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.

2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法：

1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把

方程问题合理

转化为函数问题进行解决.

2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,

有效提升了

学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观:

1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；

2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.

【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意

识.

【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例

x（1）．函数fxex2的零点所在的一个区间是（ ）．

A.2,1 B.1,0 C.0,1 D.1,2 解法一:代数解法

01解：(1)．因为f0e0210，f1e12e10，

x所以函数fxex2的零点所在的一个区间是0,1．故选C.

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二、 基础知识回顾 1．函数零点概念

对于函数yfx，把使fx0的实数x叫做函数yfx的零点．

2. 零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得

fc0，这个c也就是方程fx0的根.

问题1:函数fx111,有f20,f20,那么在2,2上函数x22fx

1有零点吗? x问题2:函数f(x)x26x8在区间1,3, 0,1, 1,5有零点吗?

引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?

解法二:几何解法

x．x(1). fxex2 可化为ex2

画出函数yex和yx2的图象，可观察得出C 正确. 4321y y = exy = x + 20 2421x 函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数yFxfxgx有零点 方程 Fxfxgx0有实数根 函数y1fx,y2gx图像有交点.

三、能力提升

1.利用函数图像求函数零点问题

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例1：（1）函数fxlgxcosx的零点有 （ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 4y 2 y=lgxoy=cosx51015x 20 252变式14：若函数为fxlgxcosx，则有 个零点. 变式2：若函数为fxlgxcosx，则有 个零点. 解:由fxlgxcosx0,可化为lgxcosx,画出ylgx和ycosx的图像,可得出B 正确. fxlgxcosx有4个零点, fxlgxcosx有6个零点. 1与y2sinx的图像在2,4有 个交点, x1交点的横坐标之和为3 y 12y = x 1 y = sin2∙π∙x x)1 o 2248x 6 1 2 12sinx的图像在2,4有8个交点,因为图像都关于解:函数y与y3x1 (2)函数y101,0点对称,故交点的横坐标之和为4. 42（3）:若关于x的方程axxaa0有两个不同的实数根,求a的取值范围. 2解1:设yax,yxa,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方22程axxa有两个不同的实数根. yax与yxa的图像，当a1时，

在第一象限平行，第二象限有一个交点，当a1时只有一个交点在第二象限，当a1时有两个交点，故a1.

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11x,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即a2a112方程axxa有两个不同的实数根.只有当y2x的斜率小于1时有两

aa1个交点，即21，a1. ay 5y 4 43 32 21 14246O 2 x 1 224x O 22.利用零点性质求参数的取值范围 1解2:设yx,y探究：f(x)x326x29xa在xR上有三个零点，求a的取值范围. 解：由f(x)3x212x93(x24x3)3(x3)(x1)得 令f(x)0，得x3或x1，38y fx0,得1x3

f(x)在(,1)，(3,)上单调递增，2.521.510.5在(1,3)上单调递减

f(x)极大值=f(1)4a0，a4 f(x)极小值=f(3)a0

210.511.522.5o 12345x 674a0.

变式1：方程x6x9xa0在2,4上有324.543.532.521.51y 实数解，求a的取值范围. 解：由方程x6x9xa0在2,4上有32实数解，即x36x29xa 由fxx6x9x的图像可得：320.51A0.51o 12345x 6780a4

变式2：x3ax29x0在2,4上有实数解，求a的取值范围.

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13x39x9a[6,]. 解1：由a，x,x[2,4]2x2x变式3：若不等式x3ax29x0在2,4上恒成立，求a的取值范围.

99解：转化为a(x),x1,3恒成立问题，即a(x)min,x1,3得

xxa,6.

四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.

课后练习:

21. 已知函数yfx的周期为2，当x1,1时fxx，那么函数yfx

的图象与函数ylgx的图象的交点共有 （ ） A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个

2x1x0,若方程fxxa有且只有两个不相2． 已知函数f(x)f(x1)(x0)等的实数根，则实数a的取值范围是( ) (A)（-∞，0］ (B)(-∞,1) (C)［0,1］ (D)［0,+∞)

3.若函数f(x)x33xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是

（ ）

C.,1 D.1,

A.2,2 B. 2,2

4．若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )

57 （B）3 （C） （D）4 225. 已知a是实数，函数fx2ax22x3a，如果函数yfx在区间1,1上有零点，求a的取值范围. （A）

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6. 已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

7.设a为实数，函数f(x)x3x2xa．

（Ⅰ）求f(x)的极值；

（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点．

8.已知函数fxx33ax1,gxfxax5，其中f'x是的导函数. （Ⅰ）对满足1a1的一切a的值，都有gx0，求实数x的取值范围； （Ⅱ）设am2，当实数m在什么范围内变化时，函数yfx的图象与直线y3只有一个公共点

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