高认知水平数学教学与问题解决

摘要：高认知水平的数学教学任务为课程理念付诸实施，为促进学生的发展搭建了良好的平台，因此数学教学可根据学生的实际情况，精心创设一些高认知水平的数学教学任务，为使学生更加富有成效的参加任务，更好的发挥作用，在任务是始终还必须发挥学生的自主性和教师的教学监控。问题解决教学能够提高学生数学思维的理解力,有效地帮助学生提升认知水平, 形成对毕生具有支配意义的思维和行动两个方面,数学问题解决认知过程是将学习.

关键词：高认知水平数学教学；新课程；教学意义；问题解决；启示

研究表明：“低认知水平数学教学任务几乎不可能产生学生高水平的参与，而高认知水平数学教

学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生从高水平任务中体验到的累积效果，就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高。”《高认知水平数学教学任务的特征分析》一文在对数学教学任务进行分析和界定的基础上，结合我国数学教学的特点，并综合考虑了数学教学任务的构成成分（教学目的、教学内容、教学方式和学生的学习方式或效果）及其阶段或过程，探讨出了高认知水平数学教学任务的特征：任务的目的是培养学生的数学探究能力、创新能力和数学洞察力；从教学内容方面分析，任务具有非常规性、情境性、开放性，需要学生进行复杂的非算法式思维，并随时自己的认知过程，需要相当大的认知努力；从教师的教学方式方面分析，要求教师是任务的提供者，学生探究活动的组织者、引导者、合作者和者；从学生的学习方式或效果方面分析，任务要求学生主动探索和理解数学观念、过程和关系的本质，主动建构知识，运用高水平的思维和推理亲身经历“做数学”的过程。本文笔者将结合高认知水平数学教学任务的特征，对其教育价值进行一些探讨和分析。

一、高认知水平数学教学任务可以使学生经历数学化的过程

数学化是指学生从自己的数学现实出发，经过自己的思考得出有关数学结论的过程。《数学课程标准》强调要让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，实际上也就是让学生经历数学化的过程。而高认知水平数学教学任务具有情境性，这就要求学生发现实际问题情境中的数学成分，并对这些成分做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题，这其实就是一个数学建模的过程。学生在建立数学模型、形成新的数学知识的过程中更能体会数学知识的来龙去脉。如：

例1用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？

任务要求“用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体，而且要求制作的无盖长方体的体积较大”，这就需要学生动手实验、操作，所以任务具有情境性。另外“用一张正方形纸片怎样制作一个无盖的长方体？什么情况下无盖长方体的体积较大？”等所有这些问题都没有特定的或预演好的方法和法则可以借鉴，而且用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体可能又有多种操作方式，所以任务还具有非常规性和开放性。因此例1中的任务属于高认知水平数学教学任务。

学生要完成上述任务首先要思考无盖长方体展开后是什么样，并通过动手实践、操作，探索出用一张正方形的纸片制作一个无盖的长方体的方法、步骤，然后用符号表示制作的无盖长方体的体积，最后通过观察、实验、比较、归纳探索出什么情况下无盖长方体的体积较大，即探索出一般规律。这实际上就是一个数学化的过程。在此过程中学生经历了运用数学符号描述变化规律的过程，体会到了函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进一步丰富了自己的空间观念。

二、高认知水平数学教学任务有助于发展学生的创造性思维、发散思维、批判性思维以及自我反思等高层次的思维能力

所谓高层次的思维，杜威认识是反省思维。Resnick认为是付出努力的（或者说是开动脑筋的）,非算法式思维；是复杂的，惊喜的判断，对多种原理和解答的考虑；实在存在不确定性而用不需要自我调节地建构知识时进行的思维。以此为基础，刘儒德先生把高层次思维概括为：高层次思维不是简单的感知，记忆，复述或应用，而是有意识的，围绕特定的目标的，付出持续心里努力的，需要发散，研究判断和反思等认知活动的复杂思维，它包括为题解决，创造性思维，批判性思维以及自我反思等思维活动。

而高认知水平任务具有非常规性，情境性，开放性特征。

数学是由什么组成的呢? 这是希望教好数学的人应该首先认识的问题。如果按数学知识( 教材内容) 的表现形式而论, 数学则 是由定义、公理、定理、论证、推理等组成的。如若这样理解, 数学教学就是解释定义( 法则、公式) 和重演书本上已有的推理而已。传统的数学教学的缺陷也正在于此, 尽管教师如何努力地使用诸如启发式、研究式和探讨式等方法, 终归跳不出教材的形式逻辑框架, 教学的作用最多是训练学生的形式逻辑思维, 教师和学生的创造性被形式逻辑和演绎体系所禁锢。其实, 数学的本质和核心都不是这些,数学起源于人们在讨论人类一般的经验组合和符号表示时所产生的困难和问题 问题是数学的心脏 是对数学本质的高度概括。是对数学思维的问题解决目的性、问题解决过程性和问题解决技巧性的高度概括。数学思维活动是问题解决的心智活动, 学习怎样解决问题是学习数学的真正目的。因此, 不管怎样界说数学思维,问题解决几乎描述了大部分通常称之为数学思维的活动。不管怎样界说数学教学, 以问题解决为中心的教学, 最能培养学生的思维能力。这种认识, 为我们的教学实践奠定了思想基础。

请看下面的问题。

例2如图1，A，B两点被一座小山隔开，现有皮尺和木桩若干，请你用所学过的几何知识设计一种方法，求出A，B两点之间的距离（简要说明设计方法和理由）。

任务中的问题可能有多种解答方式，但问题本身没有暗示出解决问题的特定的或预演好的方法，而是要求学生自己设计一种方法来测量两点之间的距离，并要求学生解释思维过程，所以任务具有非常规性、情境性和开放性的特征，属于高认知水平数学教学任务。由于任务具有非常规性，所以学生为了解决问题，必须进行创造性思维和元认知监控活动：经过探索、启用相关的知识和经验（如两点之间的距离、三角形全等等），创造性地加以应用，并随时调整自己的思维方向。又由于任务具有开放性，要测量两点之间的距离，可以用平行线之间的距离和三角形全等等不同的方法来完成，所以还需要学生进行发散思维，才能找到各种解决问题的策略或方法。另外，因为任务不是一个纯粹的数学问题，所以学生还必须反思解决问题的过程，仔细考虑实际问题情境——要测量的是山两边的两个点之间的距离，能使用的工具只有皮尺和木桩等。任务还要求对以上各种解决问题的策略或方法作出评价，这就需要学生进行批判性思考和元认知反思活动。因此，高认知水平数学教学任务为发展并实践学生高层次的思维技能提供了良好的机会。

三、高认知水平数学教学任务可以激发学生学习数学的兴趣、促进学生对数学的理解

《数学课程标准》要求要注重激发学生的好奇心和学习积极性，培养其数学学习的兴趣，强调学生的自主体验和探索历程，要求学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。由于高认知水平数学教学任务具有情境性和开放性，对于学生来说是现实的、有意义的和富有挑战性的，因此具有极强的吸引力。而且高认知水平数学教学任务要求学生采取积极主动、勇于探索的学习方式，通过观察、分析、类比、归纳、猜测、验证等数学活动，与同学合作交流，共同处理任务的认知复杂性，从而对开放的实际问题情境数学化、建立数学模型、解决实际问题、建构新知识，使学生亲身经历“做数学”的过程。所以高认知水平数学任务不仅可以培养学生学习数学的兴趣，而且可以促进学生对数学的理解，因为“做数学”是学生理解数学的重要条件。

如例1的任务中要求学生动手实践操作，而例2的任务与学生的生活实际紧密相连，这都可以激发学生学习数学的兴趣。同时学生在亲身经历用数学知识解决实际问题的过程中对函数概念、两平行线之间的

距离、三角形全等以及符号表达的作用、数学抽象的方法等都会有深刻的理解，从而对数学形成整体性的认识。

四、高认知水平数学教学任务可以培养学生思考、积极探索、合作交流、自主学习、反思回顾等良好的数学学习习惯

《数学课程标准》强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。高认知水平数学教学任务要求教师是引导者、促进者与合作者，学生是数学学习的主人，要求学生在教师的启发和引导下主动探索和理解数学观念、过程和关系的本质，主动建构知识。因此高认知水平任务实施中，学生获得知识、解决问题主要靠自己，需要学生自我激励、积极思考、同时进行自我引导、主动建构知识或将知识灵活运用到复杂的问题解决之中，还要监控和反思解决问题的过程。所以学生在参与高认知水平教学任务的活动中，可以逐渐养成思考、积极探索、自主学习的习惯。

另外，由于高认知水平教学任务对于学生来说具有一定的挑战性和认知复杂性，需要相当大的认知努力，所以有时单凭学生个人积极思考、努力探索还不能完成任务，还常常需要学生以小组为单位进行合作学习、共同处理任务的认知复杂性。在小组中学生需要积极参与小组活动、共同承担任务，相互交流想法、相互鼓励和沟通，进行积极的良性互动。因此高认知水平数学教学任务不仅可以培养学生思考、积极探索的习惯，还可以使学生成为有效的合作者和交流者。

此外，当学生通过创造性思维和发散思维找到解决问题的各种策略和方法后，由于任务还具有情境性，所以学生还必须结合实际问题情境，回顾和反思解决问题的过程，对这些策略或方法作出评价。另外，在任务完成之后，学生还要进行回顾和反思，抽象出数学知识、数学模型、建构知识的方法、解决问题的策略以及学习策略等，所以高认知水平数学教学任务还可以培养学生批判思考、反思回顾的学习习惯。

因此，如果学生能长期成功参与高认知水平数学教学任务，便可逐渐养成思考、积极探索、合作交流、自主学习、反思回顾等良好的数学学习习惯。良好的学习习惯一旦形成，它不但能提高学生学习数学的效率，更能推动素质教育活动的有效进行，甚至使人的一生都受益无穷。

五．问题解决思维过程是辩证思维过程

数学思维的辩证性, 来源于人的一般思维的辩证本质。人的思维过程, 所遵循的基本规律是辩证逻辑。因为人类在自然活动过程中, 即使是解决简单的问题, 也是在不断地克服认识矛盾和超越心理障碍才获得的, 其思 维过程不是一 次性地完成的,是一个充满变化和 对立统一的矛盾 运动过程。数学知识的发现和发展, 是一个不断超越固有知识体系和认识水平的过程。如函数概念的发展, 经过了对动点轨迹的 描述 变 量关系的 代数表 示变量关系 的对应法则 变量关系的 集合语言 描述, 多个不断超越固有 认识的过程; 集合论是由 反常规思维对有限过程的认识超越, 从而认识无限过中部分与整体的一一对应关系而建立的; 非欧几何则是起源于第五公设所产生的疑问, 从而超越欧氏几何体系 而发展 起来 的。所 以, 在数 学科 学知 识中, 特别是在变量数学 中, 揭示运 动变化对立统 一规律的内容随处可见。所以, 从发现问题到解决问题再到发现问题的矛盾运动过程, 最能体现数学思维的辩证性。这种认识, 为我们的教学实践提供了可行性依据。

2 基本方法

2 1 建构以问题解决为中心的教学模式实施以问题解决为中心的教学, 需要建构以问题为中心的教学模式, 以便明了教学目标的价值内涵; 教学过程的合理性; 教学质量 监控评价指标 和问题解决与课程知识间的平衡和融合方式。( 1) 教学目标的价值是, 问题解决的能力培养, 其内涵为:知识的意义存在于

对知识的用法之中, 知识是为解决问题服务的, 应用知 识解决问题的 能力, 是在 解决问题的活动中不断发展起来的, 这与传统的数学教学把传授和掌握知识的数量多 少作为教学目 标有着本质 的区别。( 2) 教学过程 合理性原则是, 问题解决思维过程的操作程式与教学结构式性同构;问题解决思维过 程的内隐性与教学过程 的操作程式与教学结构程式性同构; 问题解决思维过程的内隐性与教学过程的复杂性同构; 问题解决思维过程的发散性与教学方法和策略的多样性同构。( 3) 教学质量监控和评价原则为, 质量监控的标准是问题解决的效率和质量; 评价指标是学生学习结果以及影响其结果的教学变量评价。( 4) 教学关系 原则,是指学科知识的 系统性与问题解决中获 得知识的随机性和零散性的平 衡, 其平衡 方式是, 使问题所包含的知识与课程知识相互平衡和交叉重叠, 使课程的知识点在整 个教学过程中的许多问 题中被学生反复经历, 便于学生灵活地建构新的知识体系和应用知识。

五、结语

高认知水平数学教学任务为新课程理念付诸实施、为促进学生的发展搭建了良好的平台，但是还有一些问题尚待讨论如，学生能否有效参与高认知水平任务，高认知水平任务在实施中能否保持其高认知水平等，因为有研究表明实施带有高水平认知要求的教学任务是最困难的。因此，如何成功实施高认知水平数学教学任务还是一个急需研究的课题，需要数学教育研究者与数学教师