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函数的概念与性质专题练习
一.选择题
1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )
A.f(x)=sinx B.f(x)=－
C.f(x)= D.f(x)=
2.函数 ，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )
A.1 B.－ C.1, － D.1,
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(－∞,2) B.(2,＋∞) C.(－∞,2)∪(2,＋∞) D.(－2,2)
4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= A.－
B.
C.－
,则当x<－2时,f(x)=( )
D.－
5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为 ( )
A.(－1,2) B.(0,3) C.(－∞,－2) D.(－∞,3)
6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数
≠
,
≠－1,
=
,
.若
A.
<0 B.
=0 C.0<
,则( )
<1 D.
≥1
7.若函数f(x)=( ) A.[－
,1) B.[
(a>0,a≠1)在区间(－ ,0)内单调递增,则a的取值范围是
,1) C.( ,+∞) D.(1, )
现有4个命题:
8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)= ①f(x)是周期函数,且周期为2; ②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－ ③f(x)为偶函数;
;
④f(－2005.5)= .
其中正确命题的个数是( )
1
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A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题.
1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a= .
2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点 .
3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于 对称.
4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)= .
三.解答题. 1.设函数f(x)=
,求使f(x)≥2
的x的取值范围.
2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为 (1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<
.
=3, =4.
3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－数a的取值范围.
)4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数 , 满足关系f( (1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数. (3)若数列 .
2
+ )=f( )+f( )+2.
满足 =－ ,且对任意n∈N﹡有 =f(n),试求数列 的前n项和
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一.选择题
1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )
A.f(x)=sinx B.f(x)=－
C.f(x)= D.f(x)=
2.函数 ，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )
A.1 B.－ C.1, － D.1,
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(－∞,2) B.(2,＋∞) C.(－∞,2)∪(2,＋∞) D.(－2,2)
4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= A.－
B.
C.－
,则当x<－2时,f(x)=( )
D.－
5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为 ( )
A.(－1,2) B.(0,3) C.(－∞,－2) D.(－∞,3)
6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数
≠
,
≠－1,
=
,
.若
A.
<0 B.
=0 C.0<
,则( )
<1 D.
≥1
7.若函数f(x)=( ) A.[－
,1) B.[
(a>0,a≠1)在区间(－ ,0)内单调递增,则a的取值范围是
,1) C.( ,+∞) D.(1, )
现有4个命题:
8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)= ①f(x)是周期函数,且周期为2; ②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－ ③f(x)为偶函数;
;
④f(－2005.5)= .
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3
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二.填空题.
1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a= .
2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点 .
3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于 对称.
4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)= .
三.解答题. 1.设函数f(x)=
,求使f(x)≥2
的x的取值范围.
2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为 (1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)<
.
=3, =4.
3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－数a的取值范围.
)4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数 , 满足关系f( (1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数. (3)若数列 .
4
+ )=f( )+f( )+2.
满足 =－ ,且对任意n∈N﹡有 =f(n),试求数列 的前n项和
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答案与解析: 一.选择题. 1.选D.
分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;
又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.
2.选C.
分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法. 当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;
=1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.
由f(x)的表达式得f(1)=
当a=－ 时,由f(x)的表达式得f(－ )=sin =1,
又f(1)=1,故f(1)+f(－ 本题应选C.
)=2,a=－ 是所求的一个解,由此否定A.D.
3.选D.
分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增. 又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0
∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0, ① f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0 ② ∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.
4.选C.
分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得
f(x)=f(－2－x) ① ∴当x<－2时, －2－x>0
② ,
∴再由已知得 f(－2－x)= 于是由①②得当x<－2时 f(x)=
即f(x)= － 应选C.
.
5.选A.
分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,
∴
又f(x)在R上为减函数. ∴由(※)得 0(※)－16.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.
=0时,
=
,
=
,则
,由此否定B,
当
5
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当 =1时, = ,f( )=f( ),则
分划定点
,
,由此否定D;
所成线段的定比分点(内分
当0< <1时, 是数轴上以
点), 是数轴上以 >1分划上述线段的定比分点(内分点),
∴此时
又f(x)在R上递减, ∴
因而应选A.
7.选B. 分析:令u=g(x)= 则y=
,y=f(x)
由此否定C.
由题意知 当x∈(－ 注意到g(0),故u=g(x)在(－ 又y=f(x)在(－ ∴y= ∴0,0)时,u>0,0)上为减函数. ①
,0)上为增函数,
在u的相应区间上为减函数.
再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 而u＇=
在(－
在(－ ,0)上满足u＇≤0 ②
,0)上为减函数,且是R上的连续函数. ③
∴由②③得u＇(－ ∴
－a≤0,即a≥
)≤0
④
于是由①,④得 ≤a<1 应选B.
点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－ ,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.
8.选B.
6
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分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得
f(x－1)=1－f(x) (※) ∴f(x－2)=1－f(x－1) (※※) ∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)
∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期. (1)由上述推理可知 ① 正确. (2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].
∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1) =2x－x , 由此可知 ② 正确
(3)由已知条件以及结果 ① 、 ② 得 又f( )= , ∴f( )≠f(－ ∴f(x)不是偶函数即③不正确;
)
,
(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f( 故④不正确.
于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B. 二.填空题.
)=
1.答案: .
分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0), ∴
(a≠0)
0< =1(a≠0)
4a－1=1或4a－1=－1(a≠0) a=
即所求a= .
2.答案: (0,3) 分析:f(3)=－1
g(－1)=3 g(0－1)=3
y=f(x)的图象经过点(3,－1)
y=g(x)的图象经过点(－1,3)
y=g(x)的图象经过点(0,3).
3.答案:直线y=x
分析: 根据函数的定义,设x 为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x )为其相应的函数值,即为①
y
,
即
y
=
f(x
),
则
有
x
=
(
y
)
又由已知得 f[f(x )]=f(y )= x ② ∴由①②知f(x)与其反函数
(x)为同一函数,
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∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.
4.答案:1
分析: 从认知f(x)的性质切入
已知f(x+3)=1－f(x) ① 以－x代替①中的x得
f(－x+3)=1－f(－x) ② 又f(x)为偶函数
∴f(－x)=f(x) ③ ∴由②③得 f(－x+3)=1－f(x) ④ ∴由①④得 f(3+x)=f(3－x)
f(x)图象关于直线x=3对称 f(－x)=f(6+x)
∴由③得 f(x)=f(6+x)
即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期. ⑤ 于是由③⑤及另一已知条件得 f(17.5)=f(17.5－3×6) =f(－0.5) =f(0.5) =2×0.5 =1
三.解答题. 1.
,而后利用指数函数的性质将
分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=所给不等式转化为关于u的不等式解. 解:令u=
, y=f(x),
则y=2 为u的指数函数. ∴f(x)≥ ∴f(x) ≥
2 ≥
2 ≥≥
u≥
①
②
(1)当x≥1时,不等式②
2≥
成立.
(x+1)－(x－1) ≥
(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥ 即
x≥
≤x<1;
(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥ 即－2≥
不成立.
8
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于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[ ,1]∪[1,+∞),也就是[ ,+∞)
点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).
于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.
2.
分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.
解:
(1)将 =3, =4分别代入方程 得
由此解得
∴f(x)= (x≠2).
(2)原不等式 <
－ <0
<0
<0 (x－2)(x－1)(x－k)>0 注意到这里k>1,
(ⅰ)当10 x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞); 于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得
当12时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.
3.
分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为
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普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法. 解:
∵f(x)是R上的增函数. ∴不等式f(1－ax－
不等式1－ax－
)+ax－a+1>0 对任意x∈[0,1]都成立 ① 解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.) 令g(x)= 则①式+ax－a+1,
g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.
g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0. ②
注意到g(x)图象的对称轴为x=－ (1)当－
≤0即a≥0时,
－a+1>0
由②得g(0)>0 (2)当0<－
a<1,即0≤a<1;
≤1时,即－2≤a<0时,
由②得 g(－ )>0 1－a－ >0 +4a－4<0
<8
当－2≤a<0时,这一不等式也能成立. (3)当－
>1即a<－2时.
由②得g(1)>0 2>0 即当a<－2时,不等式成立.
于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即 (－∞,1).
解法二: (以△的取值为主线展开讨论)
+ax－a+1,
对于二次三项式g(x)= 其判别式△= = △<0
－ +4a－4
<8 －2+4(a－1)－2
(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－ (2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得
－210龙文教育—您值得信赖的专业化、个性化辅导学校
－2≤a<1 或a≤－
－2.
－2,
于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－ －2）∪[ －2,1）∪(－∞, －
－2] 即 (－∞,1).
点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略. 以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.
4.
分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入: 在已知恒等式中令 = =0得f(0)=－2.
为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中
令 =x, =－x得 f(0)=f(x)+f(－x)+2 故得f(x)+f(－x)=－4 证明(1),由此式展开.
对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;
对于(3),这里an=f(n),an+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{an}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键. 解:
(1)证明:在已知恒等式中令
=
=0得f(0)=－2 ①
又已知恒等式中令 =x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2
∴f(x)+f(－x)=－4 ② 设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点
则由②得 ③ ∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),
∴点M与点N关于定点(0,－2)对称. ④
注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称. (2)证明:设
,
为任意实数,且 － －
<
,则
－
>0
∴由已知得f( 注意到
=(
)>－2 ⑤ )+
)=f[(
11
由本题大前提中的恒等式得 f(
－ )+ ] =f( － )+ f( )+2
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∴f( )－f( )=f ( －
－ )+2>0,
)+2 ⑥
又由⑤知f (
∴由⑥得f( )－f( )>0,即f( )>f( ). 于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数. (3)解: ∵an=f(n),
, an+1=f(n+1)
=n,
=1得
∴a1=f(1)=－
又由已知恒等式中令 f(n+1)=f(n)+f(1)+2 ∴an+1= an+ ∴an+1－an=
(n∈N﹡)
=－
,公差为
的等差数列.
由此可知,数列{ an }是首项为 ∴
=－
n+
×
即 = (n2－11n).
点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4; 对于(2)由此导出f(
)=f(
)+f(
－
)+2;
对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2 即an+1－an= .
面对具体问题,审时度势,适当赋值,充分利用题设的资源,充分体现恒等式,为题所设,为“我”所用的酣畅慷慨.
12
