广东省深圳市市北师大附中南山分校2019-2020学年高
三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知二次函数
的导数为
，
，
与轴恰有一个交
点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
参：
A 略 2. 函数
的定义域是R，的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
，对任意
，则不等式
参：
A 略
3. 若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ） A．a＜b
c
c
B．ab＜ba
D．logac＜logbc
cc
C．alogbc＜blogac
参：
C
【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=x在（0，+∞）上为增函数，故a＞b，故A错误； 函数f（x）=x错误；
c﹣1
ccc
在（0，+∞）上为减函数，故a＜b
c﹣1c﹣1
，故ba＜ab，即ab＞ba；故B
cccc
logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D错误；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正确； 故选：C
4. 现有四个函数：①
②
③
④
的图
象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．①④③② B．④①②③ C. ①④②③
D．③④②①
参：
C
5. 已知函数A. B. 参： A 略
6. 已知函数
，则
C. D.
是定义在上的奇函数，且满足．若当时，
，则的值为 （ ）
A． B． C．
D．
参：
【知识点】函数的奇偶性、周期性；函数值. B1 B4
【答案解析】A 解析：因为函数是定义在上的奇函数，所以
=，又
，
所以
，所以所求=0.故选A.
【思路点拨】根据对数的运算性质化简所求，再由函数的奇偶性、周期性把所求转化为求
，又知当时，，由此得结论.
7. 已知等差数列{an}，满足a1+a5=6，a2+a14=26，则{an}的前10项和S10=（ ） A．40 B．120 C．100 D．80
参：
D
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列{an}的性质可得：a1+a5=2a3，a2+a14=2a8，解得a3，a8，可得{an}的前
10项和S10==5（a3+a8）．
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a5=6=2a3，a2+a14=26=2a8， 解得a3=3，a8=13，
则{an}的前10项和S10=故选：D．
=5（a3+a8）=5×16=80．
8. 某研究机构对儿童记忆能力和识图能力记忆能力 进行统计分析，得到如下数据：
识图能力 由表中数据，求得线性回归方程为图能力为 ．
．
．
，若某儿童的记忆能力为时，则他的识
．
参：
由表中数据得
，
，由
在直线
，得
，即线性回
归方程为
．故选
．
．所以当时，，即他的识图能力为
【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的值，方法是利用样本点的中心9. 已知三个不等式：①
在线性归回方程对应的直线上． ；②
；③
﹒要使同时
满足①式和②的所有的值都满足③式，则实数A.
B.
C﹒
的取值范围是（ ）
D﹒
参：
C 略
10. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
参：
C
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上， 截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．
解答： 解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥=所以V=4×3﹣1=11． 故选：C
点评： 本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．
=1，
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数
数t的取值范围为________．
，若方程有12个不同的根，则实
参：
得x=﹣3，x=1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增， 由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，
则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为根据函数的图象可知，
，
设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，
则m2+tm+1=0方程应在设h（m）=m2+tm+1，
内有两个不同的根，
则
所以t取值的范围．
故答案为：。
点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．一般这种成为复合函数方程的根，分别设内层外层函数，内外层单独研究。 12. 已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为 ．
参：
5
考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 解答： 解：复数z=i（3+4i）=3i﹣4．
∴|z|=故答案为：5．
=5．
点评： 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题． 13. 函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为 ．
参：
[5，+∞）
【考点】函数的值域． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．
【解答】解：
∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5； ②﹣4＜x＜1时，y=5； ③x≥1时，x≥5；
∴该函数的值域为[5，+∞）． 故答案为：[5，+∞）．
；
【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．
14. 已知，，那么 ．
参：
15. 点________．
为第一象限内的点，且在圆
上，
的最大值为
参：
1 略
16. 如图给出的是计算_ _．
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是
参：
17. 函数
,
的最小正周期为
参：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=|x﹣1|． （1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
参：
【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．
，分类讨论
（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5； 当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立； 当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．
，
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|． 因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab﹣1|﹣|a﹣b|=（ab﹣2ab+1）﹣（a﹣2ab+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0， 所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．
2
2
2
2
2
2
2
2
19. 科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I（单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足
关系式：（a是常数），其中
瓦/平方米，它的强弱等级L=10分贝.
瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度
（Ⅰ）a= ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表： 声音来源 声音大小 10－11 强度I（瓦/平方米） 1×强弱等级L（分贝） 10 那么m = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）
（Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.
1×10－10 m 1×10－3 90 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 参：
（Ⅰ）解：（Ⅱ）解：
10. ……………………………………1分 20. ……………………………………3分
.
（Ⅲ）解：由题意，得 所以 解不等式，得
. .
答：此时声音强度I的最大值为瓦/平方米. …………………………5分
20. （本小题满分12分）设函数（1）当
时，求
的单调区间。
。
（2）若参：
在上的最大值为，求的值。
解：对函数求导得：，定义为（0，2）,
（1）当a=1时，令当
为增区间；当
为减函数。
（2）当有最大值，则必不为减函数，且
。
>0，为单调递
增区间。最大值在右端点取到。略
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，
，点M在线段PC上，且
，
，N为AD中点.
（1）求证：（2）若平面
面
；
的体积.
平面ABCD，求三棱锥
参：
取
中点，连
，则，
于是，四边形那么
面
为平行四边形，得，又
面
，故面
,从而
面
. ，
.再取
中点
,连
，则
且易得
（2）以与则,
垂直的直线为轴，
为轴，
为轴建立坐标系，,
设面的法向量,由，得：
，取，得，得面的法向量
同理可得：面的法向量，
则
面与面所成二面角的余弦值为.
22. 等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且，等比数列{bn}中，其前n项和
为Tn，且（1）求an，bn；
，（n∈N*）
（2）求{anbn}的前n项和Mn．
参：
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）法1：利用等差数列的前3项求出公差与首项，再利用通项公式即可得出． 法2：利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出． （2）法1：利用分组求和即可得出．
法2：利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）法1：由，a1=1…
又，所以a2=3或﹣1
因为a2=﹣1时， =1，故a2=﹣1舍去…
所以等差数列{an）的公差d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1，… 同样可得b1=1，b2=3或﹣1
因为b2=3时，
，故b2=3舍去 又{bn}为等比数列，所以
…
法2：，a1=1…1分，，（n≥2）
（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）﹣2（an+an﹣1）=0…
（an﹣an﹣1﹣2）（an+an﹣1）=0，因为{an}为等差数列， 所以an﹣an﹣1﹣2=0，又a1=1∴an=2n﹣1，… 又{bn}为等比数列，所以易得
…
（2）法一：Mn﹣1n=a1?b1+a2?b2+…+an?bn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）（2n﹣1） 若n为偶数，则Mn=
所以Mn=﹣n…
若n为奇数，则结合上边情况可得 Mn=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n 综上可得Mn=（﹣1）
n﹣1
?n…
法二：Mn=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…① ﹣Mn=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n﹣1）×（﹣1）n…② ①﹣②得：
2Mn=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n﹣﹣
2Mn=
Mn=n×（﹣1）
n﹣1
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
