数学分析(下册)答案-张岩 李克俊-第十章数项级数

1、讨论下列级数的敛散性，如果收敛，求其和：

111111111； （2）22nn3153752323231(3)； (4)n22n1n；

n1n1n(n1)(n2)(1)；

n(5)n； (6)n12n(7)sin； (8)6n0解 （1）unn3n14n1 2n12n11n1nn ；

111，所以

2n12n122n12n111111，

2n12n122n111111snuk12335k1故

1111。故级数收敛，且其和为。 limslim1nnn222n12n12n12n1（2）

11111sn222323nn1111nn223221112n23313n

1111nn121311111,11213122323nn133111所以，原式lim111。故级数收敛，且其和为。

n222223（3）un1111，所以

nn1n22nn1n1n211111snuk212232334k1n11nn1n1n2111,22n1n2111111lim。故级数收敛，且其和为。 n22n(n1)(n2)n1n244n1

（4）

1

unn22n1nn2n1n1n

11,n2n1n1n所以，

snk1nn22n1n11

n1nn2n111112143323211,21n2n1n1111n22n1nlimsnlim12。nnn2n12121故级数收敛，且其和为12。

（5）因为sn12323222n1123，所以s4nn2322222n2n1，

1112132snsnsn2233222222211123222nnn1nnn1222n1 1n1n12nn1nn1n11n1,2221122221nnnlimslim212。故级数收敛，且其和为2。 nnn1nnn1222n1234313（6）因为un2n12n12n132n12，所以limun20，

n222842n1n1n12n13n14n1故级数发散。 2n12n1（7）取nk12k3k，则unksinnksin2k1k62，所以

klimunklimsinknkn10，故limunlimsin0。由级数收敛的必要条件知，该

nn66级数发散。

11（8）因为limunlimn10，所以，级数n发散。

nnnnn1 2

2．证明:若级数证 因为故

un1n收敛,c0,则

cu

n1

nk1

n

收敛.（应将c0改为,(其中c是常数)） 存在，所以limcsnlimnun1n收敛，所以，limsnlimnnukncuk1nk也存在，

cu

n1



n

收敛。

3．证明:若数列{bn}有limbn,则

nbn1n1bn发散.

证 sn1义知，

bk1n1k1bkbnb1，所以limsn1limbnb1。由数列收敛的定

nnbn1n1bn发散。

4．应用级数收敛的柯西收敛准则判别下列级数的敛散性:

sin2n(1)n; (2)2n1(1)n1n2; 22n1n1(3)n11nn1; (4)n11n(n1).

证 （1）对任意的正整数n，取p3n因

11p1sin2n1sin2n2sin2np1111112n2npn11p1n1n1n， n112222222222121所以，对任意给定的0（不妨设01），存在正整数Nlog21，对任意的

正整数nN和任意的正整数p，都有

psin2n1sin2n2n2n122sin2npnp。

2sin2n由Cauchy收敛准则知，级数收敛。 n2n11（2）取0,对任意的正整数N,都存在正整数nN1N和正整数p1,使得

41N1122N111N12N2N210， 222N214N2422(1)n1n2由柯西收敛准则知,级数发散; 22n1n1（3）对任意的0,存在正整数N1,当nN时,对任意的正整数p,

若p为偶数,则

1 3

1故对pn2n1,都有

1n2n3n2n311np1npnp111， n1n1n2n11np.由Cauchy收敛准则知,级数

n11nn1收敛.

（4）因

snpsn1n1n21n2n3n11npnp1pnpnp1，

取pn1，则snpsn2n12n2n111，所以，存在00，对

2n222n2n2n1n10。2n12任意的正整数N，取nN1,pn，都有snpsn有Cauchy收敛准则知，级数

n11发散。

n(n1)5. 确定x的范围,使下列级数收敛:

1(1); (2)nn1(1x)解 （1）因为级数为公比等于

en1nx; (3)xn1n(1x).

1的等比级数，所以，当 1x111110x2 1x1xn时，级数收敛。

（2）

eex，所以级数为公11比等于ex的等比级数，当

nxn1n1ex1x,0

时，级数收敛。

（3）当x0时，级数收敛于0。当x1时，由等比级数的收敛性知，x1时，级数收敛。故当1x1时，级数收敛。

6. 一慢性病人须每天服用某种药物,按医嘱每天服用0.05mg,设体内的药物每天有

20%通过各种渠道排泄掉,问长期服药后体内药量维持在怎样的水平?

解 设服用药物的天数为n，则服用第一天体内药量为0.0510.02， 服用第二天体内药量为0.0510.020.0510.02即

0.0510.020.0510.02，

2 4

服用第三天体内药量为0.0510.020.0510.020.0510.02即

20.0510.020.0510.020.0510.02，

则服用第n天体内药量为数收敛。

由等比数列公式得前n项和Sn320.0510.02，级数是以公比为0.08的等比数列，因此级

k1nk0.0410.08n10.08，limSnlimnn0.0410.08n10.082，即

长期服用后药量维持在2mg水平。

习题10-2

1．应用比较原则判断下列级数的收敛性

(1) tan2； (2)

nn2n12ecos(3) nn111cos； nn111nnaa2； (4) a0; nn1n1nn112n2(5) ; (6) 3; nn2n(lnn)n1n1(7) (9)

n11lnn1nlnnn2; (8) n;

n12nn1n; (10)

1n1n1na1a1;

(11)

n1nlnnlnlnna0; (12) sin。 1alnnn11n21，又级数收敛，故级数tan收敛； 解 （1）因为lim2nn2nn2n2n211cos11n（2）因为lim1cos收敛； 1，又级数2收敛，故级数n1nn2n2n2n21211cos12nue122nnlimlim1 （3）因为unencosen1cos1，

nn1n112nn2n2n211encos收敛； 又级数2收敛，故级数nn2n2n2tan（4）因为

5

axax2axlnaaxlnalnaaxaxlna2xx，limlimlimlimaalnax0x0x22x2x0x2x011aa212nlna，又级数2收敛，故级数aan2收敛； 所以limn1n2n2n2n11n（5）因为limunlim收0，由根式判别法（柯西判别法）知，级数nnnlnn(lnn)n121n1n敛；

2n22n220，故级数3（6）因为limunlim2发散；

nnn2nn2nn111111e2（7）因为unlnlnn，当nelnnlnnlnlnnlnnlnlnnlnlnnlnnnelnnee时，有lnlnnlnlnee21e2lne2，所以un2ne。由比较判别法知，级数

n2n11lnnlnn收敛；

u（8）因为limn1limnunnn2法）知，级数n收敛；

n12n12n22nn12n1limn22n21，由比值判别法（达朗贝尔判别21n11nnlimn1，又调和级数发散，由比较判别法的极限形式（9）因为limnn1nn1nn知，级数n11nnn发散；

xxa1alnaa11limlna，所以limlna0。因为发（10）因为limx0x0n1x1n1nn1n散，故级数n1na1a1发散；

（11）令fx1，则

xlnxln1alnxxlnxlnlnx当xe时，fx0，所以，当xe,时，fx单调递减。由柯西积分判别法，

1afxlnxln1alnxln1alnx1alnalnx2，

仅需讨论因为

efxdx的敛散性。

6

eefxdxee11dxeelnxln1alnxdlnxxlnxln1alnxv所以

e111111adudwlimwlim1,a1w1avuln1auavava1

efxdx收敛。由柯西积分判别法知，n11nlnnlnlnn1aa0收敛；

111sinsin1unlnnnn（12）因为lim由例10.2.12知,发散,limlim1，

nnn111n1nlnnnlnnnlnnn根据比较判别法的极限形式知,2．证明：

（1）若级数un收敛，则级数2n111sin发散.

nn1lnnunun0也收敛； nn1n1（2）若正项级数un收敛，则级数unun1也收敛。

n1un121112un2，由已知得un和2都收敛，所证 （1）un0，所以

n2nn1n1nn2以unun0收敛； n1n（2）因为unun1unun1（由均值不等式知），又un和un1都收敛，由比较2n1n1判别法知，级数unun1收敛。

n13．设正项级数xn收敛，则xn2收敛；反之如何？

n1n1 证 因为正项级数xn收敛，所以limxn0，故存在正整数N，当nN时，有

n1n20xn1，故当nN时，xxn。由正项级数的比较判别法知xn收敛；反之结论不

n12n11成立。事实上，级数发散，但2收敛。

n1nn1n4．设正项级数xn收敛，则当p

n1x1

时，级数pn收敛；又问当2n1np1时，结论是否仍2然成立？

1111

证 因为p2pxn,又p,故2p1,所以级数2p收敛,由正项级数的

2n2nn1n1x比较判别法知,级数pn收敛;当p时,结论不成立.事实上,有例10.2.12知,级数

n1n2xn111xn收敛.但是发散的. 511155n2n2n2n22nlnn4n2nn2lnn8n2nlnn8xn 7

5．设f(x)在[1,)单调增加，且limf(x)A，证明：

x（1）

[f(n1)f(n)]收敛，并求其和；

n1（2）若假设f(x)在[1,)上二阶可导，且f(x)0，证明级数

nfn收敛.

n1证 (1)snfk1fkfnf1,又limf(x)A,所以

k1xnlimsnlimf(n)f1Af1. n由级数收敛的定义知,

[f(n1)f(n)]收敛，其和为Af1;

n1(2) 由fx0,故fx严格单调递减。由Lagrange中值定理，

fnfn1fn,nn1,n，

由fx严格单调递减，可知fnfnfnfn1，又由⑴可知

1fnfn收敛，由比较判别法可知fn收敛。

n2n1xn!11，证明xn发散. xnnn1x1证 由xn0,n!1得,

xnn6．设xn0,n11n21xn11xn1xxn1n1nnn1nx2级数发散.由比较判别法知,级数xn发散.

nn1n11x2, n7．求下列极限（其中p1）：

111（1）lim; pppnn22nn1111（2）limn1n22n.

nppp1解 (1) 因为级数pp1收敛,故对0,Nn1n都有

,当nN时,对m,

1n1取mn,得

p1n2p1nmp.

8

1n1由极限的定义得

p1n2p12np.

(2) 因为级数都有

n1111lim0; pppnn22nn11p1收敛,故对0,N,当nN时,对mnp,

11pn1pn2取mn,得

1pnm.

11n1n2pp由极限的定义得

1. 2np10; 2np11limn1n2npp

习题10-3

1.判断下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?

(1)n1(1)nln2n（1）n; （2）;

nnn=1n=1n11sinnx（3) ; (4) 2x;

nnn=1n=1n21p; n(5) (1)sin; (6) 1pnn=1n1nnsinnx(7) x.

nn21解 (1) limunlimn10,所以limun0.由级数收敛的必要条件知,级数

nnnn(1)n1发散; nnn=1ln2x2lnxln2xlnx22lnx.当 (2) 该级数为交错级数,令fx,则fxxx2xln2x2lnx222limlim0, xe时,fx0,故当ne时,un单调减少, limfxlimxxxxxxxn 9

2(1)nlnn所以limun0.由莱布尼茨定理知,级数收敛;用比较判别法易知,级数

nnn=1n=1(1)nln2nln2n显然发散,故该级数不是绝对收敛的,所以是条件收敛级数. nnn=11n1是由一个收敛级数和一个发散级数的同项的和构成的,故该级数发 (3) nn=1n散;

(4) 用比较判别法易知,该级数绝对收敛;

(5) 用莱布尼茨定理知,该交错级数收敛.又用比较判别法的极限形式易知,该级数不是绝对收敛的,所以,该级数条件收敛.

1 (6) 当p0时，limnnnp1nnp1,p0,limn0，故这时级数发散, n,p0,n当p1时，由于

1npn1nn1n1p1n11p，而p收敛，故级数绝对收敛; nn1n当0p1时，令un1pn，则

un1np10p1发散.由比较判别法的极限形式知,limlimlim1，级数pn1np1nnnn1nnnpn级数

n11npn1n0p1发散,故n11npn1n0p1不是绝对收敛的. 令fxx1p1x,则

111plnxplnxplnxplnx1lnxxxxfxeplnxee 2xxxe1plnxxlnxpx1, 2x要讨论fx的符号,只需讨论gxlnxpx1的符号,因为

1lnxlimgxlimxp, xxxx 10

所以,当x充分大时,gx0.因而,当x充分大时,fx0.故x充分大时,fx严格单调减,因而当n充分大时,un严格单调减.又limunlimnn1np1n0(因为0un1,用迫敛np原理已知).由莱布尼茨定理知,级数件收敛.

n11npn1n0p1收敛.所以n11npn1n0p1条

sinnxsin2nx1cos2nx11（7） 因为,级数发散,而单调递减且lnnlnn2lnn2lnnlnnn22lnx1nlim0,由例10.3.3的方法知,数列cos2kx有界，由狄利克雷判别法知,级数nlnnk1cos2nxcos2nxsinnx1收敛,所以级数发散.由比较原理知,级数发散. lnn2lnnn2lnnn2n22lnn1n1又由狄利克雷判别法0,由例10.3.3知;数列sinkx有界，单调递减且limnlnnlnnk1sinnxsinnx知,级数收敛,所以级数条件收敛。

n2lnnn1lnn2.应用阿贝尔判别法与狄里克雷判别法判断下列级数的敛散性:

xn(x0); (2) （1）(1)n1xn=1nsinnxx3nn=1; (3) n=1sinnxnx.

xnxnxnn1，同时， 解（1）数列，当x0时，有0nn1xx1xxnxnxn1xn0。又当0x1时，有，即严格递减且有界，且limnn1nnn1x1x1x1xxn级数(1)的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知：级数(1) (x0)收敛。n1xn1n1nn(1)n当x1时，原级数即为，易知其发散。

2n1xnxnn10。从而级数(1)当x1时，因为lim发散。 nn1xn1xn1 11

sinnx11（2）因为,因级数收敛,所以原级数绝对收敛(所以,该题不需用狄利克雷333nnn1n或阿贝尔判别法讨论).

（3）由于当x2k,2k1(kZ)时，由例10.3.3知,

sinkxk1n1xsin2，即

11sinnxlim0。故由狄利克雷判别法的部分和数列有界，而数列单调递减且nnn1n知：原级数收敛。

当x2k(kZ)时，sinnx0 ，从而原级数收敛。

3.设正项级数

xn=1n收敛，数列{xn}单调递减，证明：limnxn0.

n证 由于正项级数

xn1n收敛，则limxn0，又{xn}单调减少，故由柯西准则知：

n0，N，对一切nN，有0uN1uN2un2。

又当nN时，uNiun，i1,2,,nN。从而当nN时，

0(nN)unuN1uN2un取n2N，则02。

n un(nN)un。因而0nun(n2N)。故limnun0。

n22n4. 设xn0，limxn0，问交错级数答 不一定收敛。反例：考虑级数

(1)n=1n1xn是否收敛？

111121213131 是交错级数。显然limxn0，x2k1n11n1n1 （*）

12k111x2k，因而上述级数的

2k11通项的绝对值数列不满足单调递减的条件；考虑级数（*）的前2n项部分和，

1n121k1， k1k1n2n2显然它是级数

n1n的前n项部分和数列的通项，故将级数（*）加括号后得到的新级数发散，

n12所以，级数（*）发散（因为收敛级数满足结合律）。

12

1n1发散由本节第1题的（3）题可知；显然，它也是 另一个例子是：级数nn=1n一个交错级数，而且limxn0，xn也不是单调递减数列！

nxnxn5. 设级数收敛. 证明：当0时，级数也收敛.

0n=1nn=1nxnxn11证 当0时，级数可写成：。当有数列0单调有界00nnn1nn1nxn1，同时由级数收敛，所以，由阿贝尔判别法可知：当001,n00nnn1时，级数

n收敛。

n1xn6. 若

(xn=2nxn1)绝对收敛，limxn0，yn收敛，则xnyn收敛.

nn=1n=1证 设

yn1kn的前n项部分和为Snyk1nk.则

xynn1n的部分和为

xyxSkkk1k1nnkSk1x1S1x1S0x2S2x2S1xnSnxnSn1xkxk1SkxnSn，

k1n由

yn1n收敛，即Sn有界，因而M0，使得nN,有SnM，由

xn2nxn1绝

对收敛可知：

xn2nxn1收敛，即limxn0，故可得limxnSn0。再由

nnxkxk1Sk而

Mxk1xk以及xnxn1绝对收敛可知：xkxk1Sk收敛，因

n2xynn1n。

f(x)0。证明：级数7. 设f(x)在[1,1]上具有二阶连续导数，且limx0xn11f绝 n对收敛.

证 由limx0fxx0可知f00，所以f0limx0fxf0x00，

13

limx0fxx2fxf011limlimf0。 x02x2x0x02fx由fx在1,1上连续可知fx在1,1上有界。由归结原则

11fffx11nn1f0，又lim2limlim2f0，所以，lim11nnnnn2x2n2收敛，由比较判别法可知：级数fn11n绝对收敛。

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