等式方程

1.1一元一次方程的概念

含有未知数的等式叫方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的方程叫一元一次方程．能使方程两边相等的未知数的值，叫方程的解．其中方程axb0(x为未知数，a0)叫做一元一次方程的标准形式．a是未知数x的系数，b是常数项．

如果a是字母，则说这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程．

公式从一种形式变成另一种形式，叫做公式变形．公式变形往往就是解含有字母系数的一元一次方程．

1.2.等式的性质：

(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．

(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．

注意：性质(2)是等式的两边乘以(或除以)同一个不等于零的数，而没说同一个整式．

1.3.一元一次方程的解法

一元一次方程的解法的一般步骤是：

(1)去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数；

(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边(记住移项要变号)；

(4)合并同类项：把方程化成axb的形式；

ba．

(5)系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a(当a0时)，得到方程的解

x注意：

(1)当解含有字母系数的一元一次方程的最后一步时，要记得说明未知数的系数不为零；

(2)在比较复杂的公式变形过程中，要把含有未知数的项进行合并，不要使所求的表示未知数的代数式中还有未知数．

pxqpxp12qq例、解方程．

解：原方程可化为：pxq2qpx，

pxxpq，

p1xpq．

p1，

p10．

xpqp1．

注意：这里我们在方程两边同除以含有字母的未知数x的系数p1时，要说明它不等于零．

2.1.一元二次方程的概念

方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

注意：由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一条的方程都不是一元二次方程．

2axbxc0(a0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多一元二次方程的一般形式是：

项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫

2做常数项．

2.2.一元二次方程的解法

2.2.1.直接开平方法：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解

2(xa)b的一元二次方程，根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab，形如

xab，当b<0时，方程没有实数根．

2.2.2.配方法：

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其它领域也有着广泛的应用．

222a2abb(ab)配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则222x2bxb(xb)有．

注意：上式等式左边的特征：等式左边是关于x的二次三项式，二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方，即

b2(2b2)2．

2(xm)n的形式，当n0时，就可一般的，任何一个一元二次方程都可能利用完全平方公式转化成

以用直接开平方法求出方程的解，这是用配方法解一元二次方程的基本思路．

2axbxc0的一般步骤： 用配方法解一元二次方程

(1)二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

2(xm)n的形式； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为

(4)用直接开平方法解变形后的方程．

2.2.3公式法： 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．

2一元二次方程axbxc0的求根公式：

bb24ac2x(b4ac0)2a．

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

(1)把方程化为一般形式，确定a,b,c的值；

2(2)求出b4ac的值；

22a,b,cb4ac0b(3)若，则把及4ac的值代入一元二次方程的求根公式：

bb24acx22a，求出x1,x2；若b4ac0，则方程没有实数根．

2.2.4.因式分解法：

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简便易行，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零．例如，如果

(x1)(x2)0，那么x10或x20．对于一边是零，另一边易于分解成两个一次因式的一元二次方程，

都可以用因式分解法来解．

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程的右边化为零；

(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

(3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

3 一元二次方程根的判别式

3.1一元二次方程根的判别式的概念：

222一元二次方程axbxc0是否有实数根，完全取决于b4ac的符号，若b4ac0，则方程有实数222根；若b4ac<0，则方程没有实数根，因此，我们就把b4ac叫做一元二次方程axbxc0的根的判2别式，通常用“”来表示，即=b4ac．

注意：

(1)“”是专指一元二次方程的根的判别式，只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a,b,c，求出

；

(2)要使用判别式，必须先将方程化为一般形式，以便确定a,b,c；

22b4ac． b4ac(3)根的判别式是指=，而不是=

3.2一元二次方程根的情况与判别式  的关系：

(1)判别式定理：

>0方程有两个不相等的实数根；

=0方程有两个相等的实数根；

<0方程没有实数根；

0方程有两个实数根．

(2)判别式定理的逆定理：

方程有两个不相等的实数根>0；

方程有两个相等的实数根=0；

方程没有实数根<0；

方程有两个实数根0．

4.1.分式方程的相关概念

2321xx1分母里含有未知数的方程叫分式方程．如：，x20，

(x2x)5()60x1x1都是分式方程．

分式方程不分几元几次分式方程，但可分为：可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程． 解分式方程有可能产生增根是分式方程的一个特点，因为在利用“去分母” ，把分式方程转化为整式方程时，方程两边都乘以含有未知数的整式，而这个整式的值有可能是零，这种变形不满足方程的两边不能乘以0，所以就产生了不满足原方程的根，称为“增根” ．检验出增根要舍去．

4.2. 分式方程的解法

4.1.1.分式方程的一般解法：

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” ．它的一般解法是：

(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母；

(2)解所得的整式方程；

(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于0就是增根，应该舍去；若不等于0就是

原方程的根．

4.1.2.分式方程的特殊解法：换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法．

用换元法解分式方程的一般步骤：

(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

(2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值；

(4)检验做答．

4,1,3字母系数的分式方程的解法：

字母系数的分式方程与数字系数的分式方程的解法是相同的，所不同的是因为字母系数可以取不同的

值，其求解过程中会出现不同的情况，因此要针对字母取值的不同情况，进行分类讨论．

5方程组

5.1二元一次方程组的相关概念

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是

axbyc0a0,b0．

注意：

(1)“未知项的最高次数是1”是指含有未知数的项的最高次数是1，切不可理解为两个未知数的最高次数都是1．例如，方程3xy20中含有两个未知数，且两个未知数的最高次数都是1，但是未知项“3xy”的最高次数是2，所以它不是二元一次方程．

1y1x(2)二元一次方程的左边和右边都是整式．例如，方程不是二元一次方程，因为它的左边不是

整式．

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．

两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．这里要说明的是二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程组的个数可以超过两个，其中有的方程可以是一元方程．如

x102xy5就是二元一次方程组．

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

5.2 二元一次方程组的解法

(1)代入法：

用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)代数式表示y(或x)，即变成

yaxb(或xayb)的形式；

②将yaxb(或xayb)代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；

④把x(或y)的值代入yaxb(或xayb)中，求出y(或x)的值，从而得到方程组的解．

(2)加减法：

用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；

②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．

5.3 三元一次方程组的解法

三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．

由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．

解三元一次方程组的一般步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解

一 选择题

1.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值为（ ）

1A．－1 B．0 C．1 D．3

2.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装

的成本价为x元，则得到方程( )

150x25%A.x15025% B. 25%x150 C.x D. 150x25%

xy1，3.方程组2xy5的解是 （ ）

x2，x2，x2，x1，y1.y3.y2.A． B． C． D．y1.

4.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A．x+1=0 B．9 x—6x+1=0 C．x—ｘ＋２＝０ D．x－２ｘ－２＝０

22222ax5.关于x的方程(a2)x20只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）

A．a0 B．a2 C．a1 D．a0或a2

126.分式方程2xx3的解是（ ）

A．x0 B．x1 C．x2 D．x3

7.若关于x，yxy5k,的二元一次方程组xy9k的解也是二元一次方程2x3y6 的解，

则k的值为（ ）．

343B．4

44C．3 D．3A．



8.方程(x3)(x1)x3的解是（ ）

A．x0 B．x3 C．x3或x1 D．x3或x0

a2b3m，9．已知a，b满足方程组2abm4，则ab的值为（ ）。

Ａ．1 Ｂ．m1 Ｃ．0 Ｄ．1

x2y20x，y10．若为实数，且，则xy2009的值为（ ）．

A．1 B．1 C．2 D．2

二 选择题

1.已知关于x的方程3x2m4的解是xm，则m的值是_________．

2.某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种

票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程

组： ．

x113.方程x1x的解为 ______________

24.已知x1=-1是方程xmx50的一个根，则m的值及方程的另一根x2分别是___________________．

5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程系是_________．

x22x809的两根且O1O21，则⊙O1和⊙O2的位置关

二 计算题

5x44x101x23x61.解分式方程：

x12x1x12.已知x5x14，求221的值

23.已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程x4xb0有两个相等

的实数根，试判断△ABC的形状。

224.已知关于x的一元二次方程x6xk0（k为常数）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值．

5.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．

（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；

（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．