法律分析：
双方当事人在保险公司鉴定中有一些重要的权利。首先，双方当事人有权要求保险公司进行客观、公正、专业的鉴定工作。其次，双方当事人有权对保险公司鉴定结果提出质疑，要求重新鉴定或者提出异议。最后，双方当事人有权在鉴定过程中提供必要的证据材料，确保自己的权益得到有效保障。
法律依据：
1.《保险法》第三十五条：保险公司进行保险事故鉴定，应当客观、公正、专业。
2.《保险法》第四十二条：被保险人就保险标的发生的损失或者保险事故鉴定结果有异议的，可以向保险公司提出异议；保险公司应当重新鉴定或者委托有关鉴定机构进行鉴定。
3.《保险法》第四十四条：被保险人应当如实向保险公司说明与保险标的有关的情况，并提供必要的资料和证明文件。
