福建省三明市2011届高三上学期三校联考试题(数学文)

文科数学

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

参考公式：

柱体体积公式VSh 锥体体积公式V（其中S为底面面积，h为高） 球体表面积、体积公式：S4R2,V

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．请在答题卷相应题目的答题区域内作答 1．已知全集U{1,2,3,4,5,6},集合A{1,2,5},CUB{4,5,6},则AB= A．{1，2}

B．{5}

z1z24313Sh

R

3

C．{1，2，3} D．{3，4，6}

2、已知复数z13bi,z212i,若是实数，则实数b的值为

16 A．6 B．0 C． D．6

3、已知命题p：xR,x2x10，则p:

A． xR,x2x10 B．xR,x2x10 C． xR,xx10 D．xR,xx10 4、已知锐角△ABC的面积为33,BC＝4,CA＝3, 则角C的大小为 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°

5、已知直线l经过坐标原点，且与圆xy4x30相切，切点在第四象限，则直线l的 方程为

A．y3x B．y333x

2222C．yx D．y33x

6、若函数f(x)axb的零点为2，那么函数g(x)bxax的零点是

A．0，2

B．0，

122

C．0，12 D．2，

12

7、如果执行右面的程序框图，输入n6,m4，那么输出的p

- 1 -

等于

A．720 B．360 C．240 D．120

8、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的

中点，则(PAPB)PC的值是

A. －2 B . －1 C . 2 D. 无法确定，与C点位置有关

9、设、是两个不同的平面，m、n是平面内的两条不同直线，l1,l2是平面内的两

条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是

A．m//且l1// C．m//且n//

11x

B． m//且n//l2 D．m//l1且n//l2

10、函数f(x)

的图像大致是

11、已知M是ABC内的一点，且ABAC23，BAC300，

12,x,y,则1x4yMCA，MAB的面积分别为若MBC，的最小值为

A．20 B．18 C．16 D．9

12、如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；

若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从5这点跳起，经2011 次跳后它将停在的点是

43512 A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分．请把正确答案填在答题卷相应题目的

答题区域内

13、容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：

- 2 -

组号 频数 1 10 2 13 3 3x 4 x 5 15 6 13 7 12 8 9 则第三组的频率是 **

3x(x0)114、已知函数f(x),则f[f()] **

2log2x(x0)15、过抛物线y24x焦点的直线l的倾斜角为

3，且l与抛物线相交于A、B两点，O为原

点，那么AOB的面积为 **

16、给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ** ①函数ysin(2x6)的图像可由函数ysin2x的图像向左平移

6单位得到；

②ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知A600，a7，则bc不可能等于．．．15；

③若函数f(x)的导数为f'(x)，f(x0)为f(x)的极值的充要条件是f(x0)0； ④在同一坐标系中，函数ysinx的图象和函数yx的图象只有一个公共点；

三、解答题：本大题共6小题，共74分。在答题卷相应题目的答题区域内解答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）已知等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，a3a710，

b3＝a4

（1）求数列an、bn的通项公式

（2）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn 18、（本小题满分12分）已知实数a、b{2, －1，1} （1）求直线yaxb不经过第一象限的概率；

（2）求直线yaxb与圆xy1有公共点的概率。 19、（本小题满分12分）已知向量a(sinx,1)，b(cosx,（1）当ab时，求x的取值集合

（2）求函数f(x)a(ba)的单调递增区间

12)

22

- 3 -

20、（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD中，AB10,BC6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。 （1）求证：BCA1D

（2）求证：平面A1BC平面A1BD ； （3）求三棱锥A1BCD的体积。

y021、（本小题满分12分）已知可行域xyxy

20的外接圆C1与x轴交于点A1、A2，20椭圆C2以线段A1A2为长轴，离心率e（1）求圆C1及椭圆C2的方程

22

（2）设椭圆C2的右焦点为F，点P为圆C1上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x2于点Q，判断直线PQ与圆C1的位置关系，并给出证明。 22、（本小题满分14分）已知函数f(x)kx，g(x)（1）求函数g(x)lnxxlnxx

的单调递增区间；

（2）若不等式f(x)g(x)在区间（0,+)上恒成立，求k的取值范围； （3）求证：

ln224ln334lnnn412e

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2011年三明市区高三毕业班联考试卷

高三文科数学答案及评分标准

一、 选择题

1－6 ADABCC 7－12 BADCBA

二、 填空题 13、0.21 ； 14、三、解答题

17、解（1）依题意， an为等差数列，设其公差为d； bn为正项等比数列，设其公比为

q，则可知q0

13； 15、

433 ； 16、②④ 。

∵ a3a710 ∴可知2a510,即a55 又a11 ∴ a5a14d4，解得d1

故 ana1(n1)dn„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由已知b3＝a4＝4, ∴ qn1n12∴ bnb1q

2b3b14，即q2

n1所以 ann， bn2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

（2）∵ cnanbn＝n201n1

2n1∴ Tn＝122232n2123

n1∴ 2Tn ＝ 122232(n1)2以上两式相减，得－Tn＝22221(12)12nn012n1nn2

nn2„„„„„„„„„9分

＝n2＝(1n)21

n∴ Tn＝(n1)21„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

n18、解：记直线y2x1为(2,1)。由题意，实数a、b{2, －1，1}，所以(a,b)共有以下9种可能结果。(2,2)，(2,1)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，(1,1)，(1,2)，

(1,1)，(1,1)。每种结果是等可能的，故试验中包含9个基本事件„„„„„„3分

- 5 -

设事件A：“直线yaxb不经过第一象限”，则它包含(2,2)，(2,1)，，(1,2)，

(1,1)四个基本事件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

∴ P(A)49„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

ba12（2）设事件B：“yaxb与圆xy1有公共点”，则可知

22即ba1，1，

22则它包含(2,2)，(2,1)，(2,1)，(1,1)，(1,1)，(1,1)，(1,1)共7个基本事件 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 ∴ P(B)79„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

49答：直线yaxb不经过第一象限概率为

；yaxb与圆x2y21有公共点为

79。

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 19、解：（1）∵ a(sinx,1)，b(cosx, 又 ∵ ab ， ∴ ab0 故sinxcosx ∴2x2k2120 ，即sin2x1 „„„„„„„„„„„„„„3分

12)

(kz) 解得xk4

所以x的取值集合为{x|xk4,kz}„„„„„„„„„„„„„„„6分

3232 （2）∵ f(x)a(ba)=sinx(cosxsinx) =sinxcosxsin122

32x =当2k2sin2x1cos2x2=

22sin(2x4)2„„„9分

2x42k2(kZ)时，函数单调递增

解得k38xk8(kZ)

38,k∴函数f(x)a(ba)的单调递增区间为[k8](kZ)„„„„„„12分

20、证明：（1）∵A1在平面BCD上的射影O在CD上 ∴ A1O平面BCD，又BC平面BCD ∴BCA1O……

..2分

- 6 -

又BCCO COA1O＝O，CO平面A1CD，A1O平面A1CD ∴BC平面A1CD，又A1D平面A1CD

∴BCA1D………………………………………………………………………….4分

（2）∵矩形ABCD ∴A1DA1B„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 由（1）知BCA1D ……………………………………………………………….6分 又BCA1B＝B BC平面A1BC，A1B平面A1BC ∴A1D平面A1BC 又A1D平面A1BD

∴ 平面A1BC平面A1BD………………………………………………………..8分 （3）∵ A1D平面A1BC

∴ A1DA1C …………………………………………………………………….10分 ∵ CD10,A1D6 ∴A1C8 ∴ VABCDVDABC11131268648„„„„„„„„„„„„„„„12分

21、解：（1）由题意可知，可行域是以A1(2,0),A2(2,0)及点M（0,2）为顶点的三角形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 因为kAMkA12M1,所以A1MA2M

∴ A1A2M为直角三角形

∴外接圆C1是以原点O为圆心，线段A1A2＝22为直径的圆

故其方程为xy2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

xa2222设椭圆的方程为yb221 ∵2a22 ∴a2

又e22 ∴ c1，可得b1

2故椭圆C2的方程为

x2y21„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

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（2）直线PQ始终与圆C1相切„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 设P(x0,y0)(x02),则y02x0 当x01时，P(1,1)或P（1,－1），此时Q（2,0） 若P(1,1)时，kOP1,kPQ10121

22 kOPkPQ1 ∴ OPPQ 若P(1,1)时，kOP1,kPQ10121

kOPkPQ1 ∴ OPPQ

即当x01时，OPPQ，直线PQ与圆C1相切„„„„„„„„„„„„„8分 当x01时，kPFy0x01 ∴ ，kOQx01y0x01y0

所以直线OQ的方程为，yx，因此点Q的坐标为（2, ，2x02y0)„9分

2x02y02x0y0∵kPQ2x02y0y0(x02)2x0(2x0)y0(2x0)x0y0„„„„„„„„10分

∴当x00时，kPQ0，OPPQ

y0x0∴当x00时，kOP，

∴ kOPkPQ1 OPPQ

综上，当x02时，OPPQ，故直线PQ始终与圆C1相切„„„„„„„„12分 22、解：（1）∵ g(x)∴ g(x)1lnxxlnxxx2lnxx（x0)

令g(x)0，得0xe

的单调递增区间为(0,e)„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

lnxx2故函数g(x)（2）由kxlnx，得k,令h(x)lnxx2

则问题转化为k大于等于h(x)的最大值 …………………………………………5分

- 8 -

又 h(x)12lnxx3„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

e

令 h(x)0时，x当x在区间（0,+）内变化时，h(x)、h(x)变化情况如下表：

x （0,e） + ↗ e （e，+） — ↘ 12eh(x) h(x) 0 12e 由表知当x因此k12ee时，函数h(x)有最大值，且最大值为……………………………..8分

………………………………………………………………………………….9分

lnxx1x22（3）由（2）知∴ ∴

lnx412e，

xln22412e34（x2)……………………………………………………………….10分

lnnn4ln312e（

1221321n2)„„„„„„„„„„„„„„12分

又∵

1221321n21121212312131(n1)n1

1n1n ＝(1∴

ln224)()(n1)11

ln334lnnn412e„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

命题人： 三明一中

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