高中数学必修1-必修5知识点总结

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，

R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________． 2．若∅

{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．

3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________． 4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

5．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

6．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称 记号 意义 (1)AA 性质 (2)A (3)若AB且BC，则AC (4)若AB且BA，则AB 示意图 A(B)子集 A中的任一元素 （或BA) 都属于B AB BA或AB  真子集 （或BA） AB，且B中至少 有一元素不属于A （1）A（A为非空子集） BA(2)若AB且BC，则AC  1

集合 相等 AB A中的任一元素都属于B， (1)AB (2)BA B中的任一元素都属于A A(B) （7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名称 记号 意义 （1）交集 性质 示意图 AB {x|xA,且xB} AAA （2）A （3）ABA ABB AAA （2）AA （3）ABA ABB （1）1A(CUA) 2A(CUA)U AB 并集 AB {x|xA,或xB} AB 补集 ðUA {x|xU,且xA} 痧U(AB)(UA)( UB)痧U(AB)(UA)( UB) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |x|a(a0) |x|a(a0) {x|axa} x|xa或xa} |axb|c,|axb|c(c0) 把axb看成一个整体，化成|x|a，|x|a(a0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 O ax2bxc0(a0)的根 bb24acx1,2（其中2ax1x2) x1x2b 2a无实根 2

ax2bxc0(a0)的解集 {x|xx1或xx2} {x|x1xx2} {x|xb} 2aR ax2bxc0(a0)的解集   1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____. 2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个． 3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________. 4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.

5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 6．已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．

(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．

〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法

①设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足xa,xa,x,bx的b实数x的集合分别记做

[a,),(a,),(,b],(,b)．

注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①f(x)是整式时，定义域是全体实数．

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

3

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程

a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为

三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之

间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念

①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．

②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

4

－x2－3x＋4

1．函数y＝的定义域为________．

x

2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，

1

(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．

f(3)x3，x≤1，

3．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.

－x，x>1.

4．函数f：{1，2}→{1，2}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个．

5．由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝________.



6．已知函数f(x)＝x＋1 (－1≤x≤1)，

2x＋3 (x<－1).

2

1

1＋ (x>1)，

x

(1)求f(1－

1

)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)2－1

3

＝， 求a. 2

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< 1．．．x时，都有f(x)f(x)，212．．．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数． ．．．图象 判定方法 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 yy=f(X)f(x )1f(x )2ox1x2x函数的 单调性 yf(x )1y=f(X)f(x )2ox1x2x ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则

y 若yf(u)为减，ug(x)为减，则yf[g(x)]为增；yf[g(x)]为增；

若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．

o

x

5

（2）打“√”函数f(x)xa(a0)的图象与性质 xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．

（3）最大（小）值定义

①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有

（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作f(x)M；

fmax(x)M．

②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f(x)m；

fmax(x)m．

1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是________．

1

①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)

x

2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(03．函数y＝x－4＋15－3x 的值域是________．

a

4．已知函数f(x)＝|ex＋x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__．

e5．如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．

1 (x>0)

①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝0 (x＝0)

－1 (x<－1)

6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.

(1)若存在x∈R使f(x)(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.

xa (x<0)，f(x1)－f(x2)

5．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是

x1－x2(a－3)x＋4a (x≥0)

________．

6．函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为________． 7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(cosx)的值域是________．

8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．

1

9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．

2

6

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数． ．．．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－f(x),那么函数．．．x)=．．．．．．．f(x)叫做偶函数． ．．． ②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或

奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

h0,左移h个单位k0,上移k个单位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位图象 判定方法 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②伸缩变换

01,伸0A1,缩yf(x)yf(x)yf(x)yAf(x) 1,缩A1,伸③对称变换

y轴x轴yf(x)yf(x) yf(x)yf(x)

直线yx原点yf(x)yf(x) yf(x)yf1(x)

去掉y轴左边图象yf(x)yf(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象yf(x)y|f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义

7

域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，

获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________． 2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．

1

4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)3

5．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．

6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)

求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，

nnnana；当n为偶数时，

a (a0)an|a|．

a (a0) mn（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a②正数的负分数指数幂的意义是：a mnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数aa幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①aaarsrs(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

8

③(ab)ab(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称 定义 xrrr指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 0a1 yaxy yax图象 (0,1) yy1y1(0,1) 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 OxR (0,) Ox图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 ax1(x0)函数值的 变化情况 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． a变化对 1．若a>1，b<0，且ab＋ab＝22，则ab－ab的值等于________． 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 1－2

3．函数y＝()2xx的值域是________．

2

4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

－2x＋b

6．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．(1)求a，b的值；

2＋a

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

－－ ①若aN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

x 9

③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)． （2）几个重要的对数恒等式 loga10，logaa1，logaabb． （3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828„）． （4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNloga③数乘：nlogaMlogaMn(nR) ④a⑤logabMnlogaNM NN

logbNn(b0,且b1) logaM(b0,nR) ⑥换底公式：logaNlogbab【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 0a1 ylogaxy图象 x 1y 1xO(1,0)xO ylogax (1,0) x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在(0,)上是减函数 logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1) 图象的影响 a变化对 (6)反函数的概念

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 10

设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子

x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改

写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf③将xf11(y)；

(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

1②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf'(x)的值域、定义域．

1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

(x)的图象上．

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________. 2．a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．

1x,x[1,0)3．若函数f(x)＝4，则f(log43)＝________.

x4,x[0,1]4．如图所示，若函数f(x)＝ax

－1

1

的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

x＋1

1

5．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_ ．

2010

6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象

11 

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互pqp质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线

qpyx下方．

1．若a>1且01的解集为________． 2．下列图象中，表示y＝x的是________．

3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．

①2>x>lgx ②2>lgx>x ③x>2>lgx ④lgx>x>2x 4．函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝__________.

1x

1223x

1212x

125．方程x2＝logsin1x的实根个数是__________．

6．设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)·|x－a|.

(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集． ∈R.当k＝1时，F(x)的值域为__________．

〖补充知识〗二次函数

12

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)axbxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)k(a0)③两根式：

22f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质 ①二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为

2b4acb2b)． x,顶点坐标是(,2a4a2a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb时，]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2a4acb2bbfmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,]上递增，在[,)上递减，

4a2a2a4acb2b当x时，fmax(x)．

4a2a③二次函数f(x)axbxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点

2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|2． |a|（4）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程axbxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)axbxc，从以

下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x值符号．

①k＜x1≤x2 

22b ③判别式： ④端点函数2ayf(k)0ya0xb2ax2Okx1xx2kOx1xxb2af(k)0a0

13

②x1≤x2＜k 

ya0Ox1f(k)0yxOb2ax2kxxb2ax1x2kxa0f(k)0

③x1＜k＜x2  af(k)＜0

ya0yf(k)0x2Ox1kx2f(k)0xx1Okxa0

④k1＜x1≤x2＜k2 

b2ak2yf(k1)0a0yk1xf(k2)0x1Ok1x1x2k2xOx2xxb2af(k1)0 a0f(k2)0 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2  f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

yf(k1)0a0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0a0f(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0（Ⅰ）当a0时（开口向上） ①若

2

1(pq)． 2bbbbp，则mf(p) ②若pq，则mf() ③若q，则mf(q) 2a2a2a2a 14

(p) (q)ff(q) Of(b)f(p) x

fObOxfbx

①若bbx0，则Mf(q) ②x0，则Mf(p) 2a2a  f x(q)0  Ox

f bf((p) )2a(Ⅱ)当a0时(开口向下) ①若

bf() 2a f (p) Ox

f (q) ①若

f(p) x0Ox

b)2aff((q) bbbbp，则Mf(p) ②若pq，则Mf() ③若q，则Mf(q) 2a2a2a2abf()2aff(f(p) O(q) x

Ob)2ax

f

(q)

f(p)

bbx0，则mf(q) ②x0，则mf(p)． 2a2af(b)2af(p) Off(b)2a(q) x0f

(q)

x0x

fOx

(p) 1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．

xx

2．函数y＝·a(a>1)的图象的基本形状是_____．

|x|

15

1x

3．已知函数f(x)＝()－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且05

2

4．设a5．已知当x≥0时，函数y＝x与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是__________．

2

3－x2，x∈[－1,2]，6．已知函数f(x)＝

x－3，x∈(2,5]．(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数

yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法： 求函数yf(x)的零点：

1 （代数法）求方程f(x)0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函○

数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数yaxbxc(a0)．

１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

16

2222x(x＋4)，x<0，

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为________．

x(x－4)，x≥0.

2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___．

x 0 1 2 3 －1 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________．

4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位：元/千(单位：元/千瓦(单位：千瓦时) (单位：千瓦时) 瓦时) 时) 0.568 0.288 50及以下的部分 50及以下的部分 超过50至200的部0.598 0.318 超过50至200的部分 分 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元

5．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．

高中数学 必修2知识点

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：

正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积  rl  2 S  2 r 2 3 圆锥的表面积Srlr 4 圆台的表面积SrlrRlR 5 球的表面积S4R （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 VS底h 2锥体的体积 V22221S底h 317

3台体的体积 V（S上134S上S下S下)h 4球体的体积 VR3

31．下列命题中，不正确的是______．

①棱长都相等的长方体是正方体

②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

2．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________．

3．对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 4．下列三个命题，其中正确的有________个．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台． 5．下面命题正确的有________个．

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面

④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形

6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？

7．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为________．

8．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．

9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为10.的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．

11．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．

12．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________．

13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体

40

积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D

3

四点的球的表面积．

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

D α A

B

C

18

1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

0

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A∈L

A

B∈L => L α α · L A∈α

B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B

α · C · 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，

·

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

β 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

P 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 α · L 1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 2．给出下列四个命题：

①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；

③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；

④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________．

3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．

5．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．

6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b =>a∥c

19

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

2③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α  a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：

a α

b β => a∥α a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β b β

a∩b = P β∥α a∥α b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

20

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

a∥α

a β a∥b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．

①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β ②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n

③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n ④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线； ②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

3．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m, 则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α； ③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中为真命题的是________．

4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．

①m∥β且l1∥α ②m∥l1且n∥l2 ③m∥β且n∥β ④m∥β且n∥l2

5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条． 6．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.

(1)求证：PA⊥BD；

(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD； (3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD.

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂

21

足。

α L p

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图

平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 1．设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．

①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c⊂α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．

2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________．

3．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件． 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

22

5．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

6．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑪当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑫当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，负倒数；反之，如果它们即k1k2 =-1

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k

如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，

yy0k(xx0)

2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) 3.2.2 直线的两点式方程

ykxb

23

1、直线的两点式方程：已知两点(y-y1)/(y-y2)=(x-x1)/(x-x2)

P(x1,x2),P2(x2,y2)1其中

(x1x2,y1y2)

2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)其中a0,b0 3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

1．已知θ∈R，则直线xsinθ－3y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．

2．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是________． PPx2212x22y2y13．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是

______________．

4．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________. 5．若点A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过第________象限． 6．求过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：

(1)倾斜角等于直线x－3y＋4＝0的倾斜角的二倍的直线方程； (2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3x4y202x2y20 得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By0CA2B2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则lC21与l2的距离为dC1A2B2

1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________． 2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于________．

24

3．直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是a＝________.

4．若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为________．

5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l过点A(－2,3)，且法向量为n＝(1，－2)，则直线l的方程为_________．

第四章 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(xa)(yb)r 圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：

（1）(x0a)(y0b)>r2，点在圆外 （2）(x0a)(y0b)=r2，点在圆上

2（3）(x0a)(y0b)2222222222224.1.2 圆的一般方程

1、圆的一般方程：xyDxEyF0

222、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

1．若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________． 2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．

x－2y≥0

3．已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．

2x＋y≥0

4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________． 5．圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________． 6．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：axbyc0，圆C：x2y2DxEyF0，圆的半径为r，圆心(线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

25

DE,)到直22（1）当dr时，直线l与圆C相离；（2）当dr时，直线l与圆C相切； （3）当dr时，直线l与圆C相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

1．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.

2．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

3．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

22

4．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x＋y－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________． 5．已知直线3x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．

2

6．已知：以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

t

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

4.2.3 直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

R4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标

2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

xOPMQM'y3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中

26

的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

zP1OP2P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

M1M1．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________． N1N2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为________． x3．已知x、y、z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．

4．与A(3,4,5)、B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是________． 5．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为________．

M2HN2y

高中数学 必修3知识点

第一章 算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点:

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2

程序框图

1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

27

（二）构成程序框的图形符号及其作用

程序框 起止框 输入、输出框 处理框 中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断框 “是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。 2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

28

名称 功能 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明A B （1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为循环结构。

止，此时不再执行A框，离开

P 不成立 A 成立 成立 A P 不成立 当型循环结构 直到型循环结构 注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________．

2．如果执行如图的程序框图，输入x＝－2，h＝0.5，那么输出的各个数的和等于________． 3．执行下面的程序框图，输出的T＝________. 第2题 第3题

错误!

4．阅读下面的流程图，若输入a＝6，b＝1，则输出的结果是________．

5．阅读如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是多少？

29

第5题 第6题

6． 已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，求m＋n的值．

1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

图形计算器格式 （2）

INPUT“提示内容”；变量 INPUT “提示内容”，变量 输入语句

的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

2、输出语句

（1）输出语句的一般格式

PRINT“提示内容”；表达式 图形计算器格式 Disp “提示内容”，变量 （2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

变量＝表达式 图形计算器格式 表达式变量

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。

30

如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE语句

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

IF 条件 THEN 语句1 ELSE 语句2 否 满足条件？ 是 语句1 语句2

END IF 图1 图2

分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。

3、IF—THEN语句

是 满足条件？ 否 语句

IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。 IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3 ） （图4） 注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作

内容，条件不满足时，结束程序；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

1、WHILE语句

（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是 WHILE 条件 循环体 满足条件？ WEND

否

循环体 是 31

（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

Input x If x≤0 Then f(x)←4x Else f(x)←2x End If Print f(x) 因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL语句

（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件？ 是 否 （2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳） （1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环 1．如图，给出一个算法的伪代码，则f(－3)＋f(2)＝________.

Input x

T←1 If x<0 Then

I←3 y←(x＋1)(x－

While I<50 1)

Else T←T＋I

I←I＋2 y←(x－1)2

End While End If

Print T Print y

End

（第1题） （第2题） （第3题） 2．输入x＝5，运行下面的程序之后得到的y等于________． 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为_______．

4．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．

Input n S←0 I←1 While________ S←S＋I I←I＋1 Wend Print “S＝”；S End

32

（第4题） （第5题） （第6题）

5．编写程序求S＝1＋2＋3＋„＋n的和(n由键盘输入)，程序如图，则横线上应填________． 6．如图是一个算法的流程图，求最后输出的W的值．

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商公约数；若

S0和一个余数

R0；（2）：若

R0＝0，则n为m，n的最大

R0≠0，则用除数n除以余数

R0得到一个商

S1和一个余数

R1；（3）：若

R1＝0，则

R1为m，n

的最大公约数；若直至

R1≠0，则用除数

R0除以余数

R1得到一个商

S2和一个余数

R2；„„ 依次计算

Rn＝0，此时所得到的

Rn1即为所求的最大公约数。

2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 分析：（略）

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差

相等而得到 1.3.2秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：

33

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明） 2、冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3进位制

1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数

第二章 统计

2.1.1简单随机抽样 1．总体和样本

在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． 把每个研究对象叫做个体． 把总体中个体的总数叫做总体容量．

34

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

， ， ，

2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随

机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法：

（1）抽签法；⑫随机数表法；⑬计算机模拟法；⑭使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签

（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5．随机数表法：

例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体

35

的样本。

两种方法：

1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 （3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3．分层的比例问题：

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)

－

如图K15－1－1所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x， 则( )

图K15－1－1

－－－－

A．me＝m0＝x B．me＝m02．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )

A．2 B．3 C．5 D．13

3．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重(kg) ，得到频率分布直方图如图K15－1－2.

图K15－1－2

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,.5]的学生人数是( )

36

A．20 B．30 C．40 D．50

4．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，„，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为( )

A．18 B．19 C．20 D．21

5．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图如图K15－1－3中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为( )

图K15－1－3

A．0.4,12 B．0.6,16 C．0.4,16 D．0.6,12

6．一个总体分为A、B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个

1

个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．

12

7．如图K15－1－4是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10]内的频数为________，数据落在(2,10)内的概率约为________．

图K15－1－4

8．在如图K15－1－5所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是____________．

图K15－1－5

9．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．

高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1)求x，y；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值：x

x1x2xn

n 37

2、．样本标准差：ss2(x1x)2(x2x)2(xnx)2

n3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。 4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍 （3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x3s,x3s)的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2两个变量的线性相关 1、概念:

（1）回归直线方程

（2）回归系数

2．最小二乘法 3．直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 （2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进

行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如

已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。

4．应用直线回归的注意事项

（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。 ^

1．某工厂某产品产量x(千件)与单位成本y(元)满足回归直线方程y＝77.36－1.82x，则以下说法中正确的是( )

A．产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元 B．产量每增加1 000件，单位成本上升1.82元 C．产量每减少1 000件，单位成本上升1.82元 D．产量每减少1 000件，单位成本下降1.82元

2．(2011年陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图K15－2－1)，以下结论正确的是( )

38

图K15－2－1

－－

A．直线l过点(x，y)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

3．统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．对于变量x，y，计算r＝－0.01，则x，y的相关关系的强弱为( )

A．相关性很强 B．相关性很弱 C．相关性一般 D．不相关 4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 4 2 3 5 广告费用x(万元) 49 26 39 54 销售额y(万元) ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

5．(2010湖南)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) ^^^^

A.y＝－10x＋200 B.y＝10x＋200 C.y＝－10x－200 D.y＝10x－200 6．已知x，y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 ^从散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝__________.

7．甲、乙两同学各自地考察两个变量x，y的线性相关关系时，发现两人对x的观察数据的平均值相等，都是s，对y的观察数据的平均值也相等，都是t，各自求出的回归直线分别是l1，l2，则直线l1与l2必经过同一点____________________________________．

8．某市居民2005—2009年家庭年平均收入(单位：万元)与年平均支出(单位：万元)的统计资料如下表所示：

2005 2006 2007 2008 2009 年份 11.5 12.1 13 13.3 15 收入x 6.8 8.8 9.8 10 12 支出y 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________________， 家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系，其线性回归方程为__________． 9．已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是________________．

第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出

nA现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率：对于给

定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

39

nA（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，

它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则

A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有

P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A

与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情

形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 1．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．

→→→2．已知k∈Z，AB＝(k,1)，AC＝(2,4)，若|AB|≤4，则△ABC是直角三角形的概率为________．

3．甲盒子里装有分别标有数字1,2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．

4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．

5．连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若在△ABC中，AB与a同向，CB与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________．

6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从

1

袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.

6

(1)求红色球的个数；

(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．

40

→→3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数；

A包含的基本事件数②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=总的基本事件个数

1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________．

2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．

3．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．

4．从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为ξ(单位：克)，如果P(ξ<10)＝0.3，P(10≤ξ≤30)＝0.4，则P(ξ>30)＝________.

5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．

6．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：

(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：

构成事件A的区域长度（面积或体积）P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；

（2） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出

现的可能性相等．

1

1.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．

2

2．在等腰直角三角形ABC中，若M是斜边AB上的点，则AM小于AC的概率为________．

ππ1

3．在区间[－，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为________．

222

4．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．

S

5．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．

2

41

高中数学 必修4知识点

第一章 三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为k360k36090,k 第二象限角的集合为k36090k360180,k 第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 终边在x轴上的角的集合为k180,k 终边在y轴上的角的集合为k18090,k 终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是l． r1806、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．

1807、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

11Slrr2．

228、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是

rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0． rrxyPTOMAx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin，cos，tan． 11、角三角函数的基本关系：

1sin2cos21sin21cos2,cos21sin2；

42

2sintancossinsintancos,cos．

tanπ

1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．

3

2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

ααα

①tan ②sin ③cos ④cos2α

222

3．若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．

|sinx|cosx|tanx|

4．函数y＝＋＋的值域为________．

sinx|cosx|tanx

解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3； 当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1； 当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；

当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}

3

5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为________．

4

2

6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝y，求cosα，tanα的值．

4

12、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos，cossin．6sincos，cossin． 2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

3π

1．若cosα＝－，α∈(，π)，则tanα＝________.

524

2．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.

5π3π

3．若sin(＋α)＝，则cos(－α)＝________.

653

5sinx－cosx

4．已知sinx＝2cosx，则＝______.

2sinx＋cosx

5．若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.

60ππ

6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，求cosα，sinα的值．

16942

13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数43

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数 ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

π

1．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是．

2

π

①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，]上是增函数

2

③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数

π

2．(2009年高考广东卷改编)函数y＝2cos2(x－)－1是________．

4

π

①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数 ④最小正周

2

π

期为的偶函数

2

π

3．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为________．

2

π

4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为________．

12

π

5．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个

3

对称中心是________(写出一个即可)．

3

6．设函数f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－.

2

(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．

14、函数ysinx0,0的性质： ①振幅：；②周期：2；③频率：f1；④相位：x；⑤初相：． 2函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为ymax，则

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2． 222

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 性 质 ysinx ycosx ytanx 44

图象 定义域 R R xxk,k 2值域 1,1 当x2k1,1 当x2kk时， R 2k时，2最值 ymax1；当x2k ymax1；当x2k 既无最大值也无最小值 k时，ymin1． 周期性 奇偶性 在2kk时，ymin1． 2 偶函数 2 奇函数  奇函数 2,2k2 在2k,2kk上是增函数；在2k,2k 在kk上是增函数；在 单调性 2,k 23 2k,2k22k上是减函数． k上是增函数． k上是减函数． 对称中心k,0k 对称性 对称轴xk2k 对称中心k,0k 2对称轴xkk 对称中心k,0k 2无对称轴 1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________． π

2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于________．

6

45

3．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．

4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．

π

①函数f(x)的最小正周期为；

2

②函数f(x)的振幅为23；

7

③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π；

12π7

④函数f(x)的单调递增区间为[，π]；

1212

2

⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－π)．

3

5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．

π

6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωx·sin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐

2

π

标为. (1)求ω；

6

π

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标

6

不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．

第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑪三角形法则的特点：首尾相连． ⑫平行四边形法则的特点：共起点．

C

a

b



⑬三角形不等式：．ababab

⑭运算性质：①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③a00aa．



abCC

⑮坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

⑪三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑫坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

19、向量数乘运算：

46

⑪实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0． ⑫运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑬坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基

底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的坐标是x1x2y1y2（当1 ,时，就为中点公式。）．

1123、平面向量的数量积：

⑪ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

abab⑫性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，；当a与b反22向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑬运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑭坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

22222若ax,y，则axy，或axy． 设ax1,y1，bx2,y2，则

ab1x2x1y20y．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则

x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y21．已知三个向量a=(cos1，sin1)，b=(cos2，sin2)，c=(cos3，sin3)，满足abc0，则a与

b的夹角为 2、．下列命题：

(1)若a与b为非零向量，且a∥b时，则a—b必与a或b中之一的方向相同；

47

(2)若e为单位向量，且a∥e，则a=|a|e；

3

(3)a·a·a=|a|

(4)若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线

(5)若平面内四个点A、B、C、D则必有AC+BD=BC+AD 正确的命题个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、0

3e22e1等于（ ） 3、若o为平行四边形ABCD的中心，AB=4e11, BC6e2, A．AO B．BO C．CO D．DO

4、若a(5,7),b(1,2)，且（ab）b，则实数的值为____________.

，则ab在a上的投影为 。 36、在直角坐标平面上，向量OA(4,1)，向量OB(2,3)，两向量在直线l上的正射影长度相等，则直线

l的斜率为

5、已知|a||b|2，a与b的夹角为

7、设平面向量a=(-2,1)，b=(1,)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 。

8、．已知向量OB(2,0),OC(2,2),CA(2cos,2sin),则向量OA,OB的夹角范围是 。 9、将函数y2x的图象按向量 a平移后得到y2x6的图象，给出以下四个命题： ①a的坐标可以是(3,0)； ②a的坐标可以是(3,0)和(0,6)； ③a的坐标可以是(0,6)； ④a的坐标可以有无数种情况。 上述说法正确的是 。

10、已知ABC中，CBa,CAb,ab0,SABC15,|a|3,|b|5，则a与b的夹角为 。 411、若△ABC三边长AB=5，BC=7，AC=8，则ABBC等于 。

12.已知|a|4,|b|3,a,b的夹角为120°，且ca2b，d2akb，当cd时，k= . 13.已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________.

14. 若a=（1，2），b=（3，2）， k为何值时:

（1）ka+b与a－3b垂直；（2）ka+b与a －3b平行？

15. 已知|a|=4，|b|=3，（2a－3b）·（2a+b）=61，求：(i)a与b的夹角θ; (ii) |a2b|.

16. 已知ABC的顶点坐标分别为A（1,2），B（2,3），C（－2,5），求cosA.

48



2217. 设a=（sinx－1，cosx－1），b=（，）. （1）若a为单位向量，求x的值；（2）设f（x）

=22a·b，则函数y=f（x）的图象是由y=sinx的图象如何平移得到？

18.已知a(cos32x,sin3x),b(cosx,sinx),且x（i）求 ab及a222[0,].

b; （ii）求函数f(x)aba2bsinx的最小值.

第三章 三角恒等变换

1．已知sinα＝

55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________． 2．已知0<α<π2<β<π，cosα＝33

5，sin(α＋β)＝－5

，则cosβ的值为________．

3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sin(α＋β)

cos(α－β)

＝________.

4．已知cos(α－π47π

6)＋sinα＝53，则sin(α＋6

)的值是___．

5．定义运算ab＝a2－ab－b2，则sinππ

12cos12

＝________.

6．已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝6

2

.

(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π

2

，π)，求cosβ的值．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑪coscoscossinsin；⑫coscoscossinsin； ⑬sinsincoscossin；⑭sinsincoscossin； ⑮tantantan1tantan  （tantantan1tantan）；

49

⑯tantantan  （tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑪sin22sincos．1sin2sincos2sincos(sincos) ⑫cos2cos2222sin22cos2112sin2

,1cos2sin2升幂公式1cos2cos222cos211cos2，sin2． 降幂公式cos222 ⑬tan2

2tan．

1tan2万能公式:αα2tan1tan22;cosα 2sinα αα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin 2222 α 1  cos α sin α 1  cos α （后两个不用判断符号，更加好用）

tan 21cosα1cosαsinα27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 yAsin(x)B形式。sincos22sin，其中tan． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2是的二倍；4是2的二倍；是

的二倍；是的二倍； 22430o②1545306045；问：sin ；cos ；

21212ooooo③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通

常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有： 1sincostancotsin90tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

50

22oo1cos常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

1tan1tan_______________； ______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________； tantan____________；1tantan___________；

2tan ；1tan2 ； tan20otan40o3tan20otan40o ；

sincos = ；

（其中tan ；） asinbcos = ；

1cos ；1cos ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊

值与特殊角的三角函数互化。

如：sin50(13tan10) ；tancot 。 3ππ5π

1．若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝________.

5224

311112．已知π<θ<π，则 ＋ ＋cosθ＝________.

22222cos10°＋3sin10°3．计算：＝________.

1－cos80°

4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．

112

5．函数f(x)＝(sin2x＋)的最小值是________． 2)(cosx＋2010sinx2010cos2x

ππ

6．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.

42ππ

(1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值．

43

oo 高中数学 必修5知识点

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有a(R为C的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC； ②sinsinbc2R sinsinCab，sin，sinCc；③a:b:csin:sin:sinC； 2R2R2R51

3、三角形面积公式：SC1bcsin1absinC1acsin．

2221.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则 a等于 （ ） A.6

B.2

C.3

D.2

2

2

2

2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为( )

A.

 6 B.

 3 C.

52或 D.或

63633.下列判断中正确的是

A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解

4. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是

（ ）

（ ）

A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 5. 在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则

A.

85sinB的值为 sinC

35（ ）

4

4

B.

4

2

2

58

2

C.

53 D.

（ ） D.30°

6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是 A.60°

B.45°或135° C.120°

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8. 在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为 .

9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= . 10. 在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c. 11. 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且

cosBb=-.

cosC2ac（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.

12. 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），

判断三角形的形状.

22

13. 已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.

14. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,

52

2

2

2

2

求角B的大小并判断△ABC的形状.

15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.

2224、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，推论：cosbca

2bc1.从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为 （ ）

2

7AB-cos2C=.

22A.＞ B.= C.+=90° D.+=180°

2.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为

（ ） A.10 km

B.3 km

C.105 km

D.107 km

3. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是 （ ）

A.20(133) m B.20(1) m C.20(13) m D.30 m 32 4．如图，位于港口O正东20海里B处的渔船回港时出现故障．位于港口

南偏西30°，距港口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要________小时．

5．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里． 6一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时． 7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

8.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为________．

9.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．

（二）数列：

1.数列的有关概念：

（1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自

然数N*或它的有限子集{1,2,3,„,n}上的函数。

（2） 通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的

53

通项公式。如: an2n1。

（3） 递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）

可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。 如: a11,a22,anan1an2(n2)。

2．数列的表示方法：

（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, an）孤立点表示。

（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。 3．数列的分类：

常数列:an2 有穷数列n 按项数递增数列:an2n1,an2

按单调性

无穷数列递减数列:ann21 摆动数列:a(1)n2nn4．数列{an}及前n项和之间的关系:

2Sna1a2a3an

5．等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 S1,(n1) anSnSn1,(n2)等比数列 anq(n2) an1一、定义 anan1d(n2) 1．ana1n1d 1．ana1qn1 二、公式 anamnmd,nm 2．Snanamqnm,(nm) 2d 2．na1q1 Sna11qnaaqn1q11q1q2na1an2na1nn11．a,b,c成等差2bac， 称b为a与c的等差中项 则amanapaq 1．a,b,c成等比bac， 称b为a与c的等比中项 则amanapaq 三、性质 2．q*）若mnpq（m、， 2 ．若mnpq（m、，n、p、n、p、q*）3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列 3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列 1．已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(an1),且a26,设bnann,那么数列an的通项公式是

2、x=ab是a、x、b成等比数列的( ) 条件

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要

n

3、已知数列｛an｝的前n项和Sn=a－1(aR,a0),则数列｛an｝（ ） A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有60颗大小的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子有 （ B ）

A. 0颗 B.4颗 C.5颗 D.11颗

5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ ）

ap(1p)m1ap(1p)map(1p)m1am1mm(1p)1(1p)1 p1A．m B． C． D．

6、已知an为等比数列，a12,q3，又第m项至第n项的和为720(mn)，则m ， n

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*7、数列an对任意nN都满足an2anan4，且a32,a74,an0，

2则a11

x21118、已知函数f(x)，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f() 22341x9、一个项数为偶数的等比数列，首项是1，且所有奇数项之和是85，所有偶数项之和是170，则此数列共

有____项

10、在各项为正数的等比数列an中，已知a3a411a2a4，且前2n项的和等于它的前2n项中偶数

项之和的11倍，则数列an的通项公式an

11、已知数列an中，a160,an1an3，那么|a1||a2||a30|的值为 。

12、等差数列an中，a10，且3a85a13，则{Sn}中最大项为 。

13、已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有

项。

114、设f(x)x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：

33f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值为 15、已知数列an的通项an(2n1)2n1，前n项和为Sn，则Sn= 。

1111,,,,前n项的和等于 。 122224322817、已知数列{an}是首项为a1，公差为d(0d2)的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为（ ）

A. 1 B. 1 C. 1 D. 2

18、已知在数列an中，a11,a2nqa2n1,a2n1a2n+d (q、dR，q>0)．

16、数列

（1）若q2,d1,求a3,a4并猜测a2006；

19.已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，试求其前n项和。

（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性质： ①abba； ②ab,bcac； ③abacbc； ④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd； ⑥ab0,cd0acbd； ⑦ab0ab⑧ab0n（2）若a2n1是等比数列，且a2n是等差数列，求q,d满足的条件．

nnn,n1；

anbn,n1．

小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法：

（1）化成标准式：axbxc0,(a0)；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题：

1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。

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2两类主要的目标函数的几何意义:

①zaxby-----直线的截距；②z(xa)(yb)-----两点的距离或圆的半径；

2abab4、均值定理： 若a0，b0，则ab2ab，即； ab． aba0,b02222ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数． 25、均值定理的应用：设x、y都为正数，则有

s2⑪若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑫若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

1、若f(x)为R上的减函数，且f(0)3,f(3)1,设P{x|f(xt)1|＜2},Q{x|f(x)＜1},若xP是xQ的充分不必要条件，则实数t的取值范围为 ( )

A、t≤0 B、t≥0 C、t≤－3 D、t≥－3

2、已知a＞0，集合A{x||x2|＜a},B{x|ax＞1},若AB,则实数a的取值范围为 A、(2,) B（0,1） C、（0,1）(2,) D、（0,1）(1,) 3、已知奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(2)0,则不等式(x1)f(x1)0的解集为

x|3x1 x|1x1或1x3 C、x|3x0或x3 x|3x1或x24、f(x)是定A、B、D、义在（0，3）上的函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cosx0的解集 是 A．（0，1）（2，3）B．(1,)(,3)

22yC．（0，1）(,3) D．（0，1）（1，3）

21O.5、函数f(x)在（－1，1）上有定义且f(x)x3x,当f(1a)f(1a2)＞0时a的取值范围为 A、（－2，1） B、（0，2） C、（0，1） D、（－2，2） 6、已知函数f(x)|log3x|，若f(x)f(3.5)，则x的取值范围为

A、(0,)(1,） B、(,) C、(0,)(,) D、(,)

7、设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)t22at1对所有的x[1,1]都成立，当a[1,1]时t的取值范围为

,1] C、(,2]]2,){0} D、(,1][1){0} A、[-2,2] B、[12222.2.3x277272277227728、设点(a,b)在区域x0,y0内，则点(ab,ab)所在的区域的面积为

xy2C(4,B(5,y A、1 B、2 C、4 D、8

9、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）， 目标函数zxay取得最优解有无数个，则a的一个可能值为 A、－3 B、3 D、－1 D、1

a(1,O x

10、若关于x不等式x|xa|2a2(a(,0))的解集为 ； cxbxa0的解集11、若关于x不等式axbxc0(a0) x 0 为 ；

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2212、若关于x不等式|x2||x1|＜a的解集为，则a的取值范围是 ，若此不等式有解，则a的取值范围是 13、不等式x4ax210对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ； 14、已知x,yR且xy4,则使不等式1x4ym恒成立的实数m的取值范围为 ；

2的取值范围为 ； 15、关于x的方程x2ax2b0的两根分别在区间（0,1）与(1,2)，则ba116、设x,yR且xy1,则xy1xy的最小值为 ；

y21,则x1y2的最大值为 ； 17、设x,yR且x21418、设ab0 a216b(ab)

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