高中数学必修1-必修5知识点总结

集合

（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）1（集合与元素2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（子集：若xA xB，则AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即 AA 注关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），则A是B的真子集。集合集合相等：AB且AB AB集合与集合定义：ABx/xA且xB交集性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB运算 Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB) 定义：CAx/xU且xAAU补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)， C(AB)(CA)(CB)UUU

函数

映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合A到集合B的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b是  递增区间；如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。单调性导数定义：在区间a,b上，若f(x)0，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x)0 则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。 最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；函数 （2）存在x0I，使得f(x0)M。则称M是函数yf(x)的最大值函数的基本性质最值最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)N； （2）存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期； T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期（1）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a个单位：yy,xaxyf(xa)平移变换向上平移b个单位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b个单位：x1x,y1byybf(x)横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1时） 到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1wxyf(wx)伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍1函数图象的画法 （横坐标不变）， 即yy/Ayf(x)1（xx12x0x2x0x2）变换法12y0yf(2x0x)关于点(x0,y0)对称：yy12y0y12y0yxx12x0x2x0x关于直线xx0对称：1yf(2x0x)yyy1y1对称变换xx1xx关于直线yy0对称：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1关于直线yx对称：yf1(x)yy附： 1一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数ytanx中xk2(kZ)；余切函数ycotx中；6、如

果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法 四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数 2、若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则yf[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则

f(x)0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，22零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,零点与根的关系 那么，函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方 程f(x)0的根。（反之不成立）关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度；函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c)；二分法求方程的近似解 ①若f(c)0,则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)0,则令b（此时零点cx(a,b)）；0 ③若f(c)f(b)0,则令a（此时零点cx(c,b)）；0(4)判断是否达到精确度：即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型mna,n为根指数，a为被开方数根式：nmana分数指数幂rsrsaaa(a0,r,sQ)指数的运算rs指数函数rs性质(a)a(a0,r,sQ)rrr(ab)ab(a0,b0,rQ)x指数函数定义：一般地把函数ya(a0且a1)叫做指数函数。性质：见表1对数：xlogaN,a为底数，N为真数loga(MN)logaMlogaN;基本初等函数logaMlogaMlogaN;.N对数的运算性质nnlogaM;(a0,a1,M0,N0)logaM对数函数logcblogab(a,c0且a,c1,b0)换底公式：logca 对数函数定义：一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质：见表1定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常数。幂函数性质：见表2

表1 定义域 值域 指数函数yaxa0,a1 xR 对数数函数ylogaxa0,a1 x0, yR y0, 图象 过定点(0,1)󰀀 减函数 增函数 x(,0)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,) 过定点(1,0) 减函数 增函数 x(,0)时，y(1,)性质 x(0,1)时，y(0,)x(1,)时，y(,0)x(0,1)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)x(0,)时，y(0,1) ab 表2 ab  ab ab 幂函数yx(R) p q0 01 1 1 p为奇数q为奇数 奇函数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数第一象限性质 减函数 增函数 偶函数 （，11）过定点

高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时，k0； 当90,180时，k0； 当90时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：ky2y1(x1x2)

x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

yy1xx1③两点式：（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：

xy1 ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○

平行于x轴的直线：yb（b为常数）； 平行于y轴的直线：xa（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1:yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

，其中直线l2不在直线系中。 A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）（6）两直线平行与垂直

当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点

l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。 A2xB2yC20方程组无解l1//l2 ； 方程组有无数解l1与l2重合

Bx2,y2）（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，

则|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C

A2B2（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程

（1）标准方程xaybr2，圆心

22a,b，半径为r；

22（2）一般方程xyDxEyF0

DE，半径为r1D2E24F 当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,22222当DE4F0时，表示一个点； 当DE4F0时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，则有

A2B22222drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

（2）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交

2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

22①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r (课本命题)．

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)． 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当dRr时，两圆内含； 当d0时，为同心圆。

2三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面

是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

''''''''''''''''3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

'

S直棱柱侧面积ch S圆柱侧2rh S正棱锥侧面积1ch' S圆锥侧面积rl

2S正棱台侧面积1(c1c2)h' S圆台侧面积(rR)l 22rrl S圆锥表rrl S圆台表r2rlRlR2

S圆柱表（3）柱体、锥体、台体的体积公式

1V柱Sh V圆柱Sh2r h V锥Sh V圆锥1r2h

331'11'''V(SSSS)h(r2rRR)2h V台(SSSS)h 圆台333

2（4）球体的表面积和体积公式：V球=4R3 ； S球面=4R34、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。 （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 符号语言：PABABl,Pl 公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 （2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角．．．．．叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点， 分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

一、算法

1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）. 2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输

出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在

时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，

循环结构 4、算法结构

（1）顺序结构：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分

是按照语句出现的先后顺序执行的。

（2）条件结构：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，

执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。

（3）循环结构：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构。当事先不知道

是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。 5、基本算法语句 （1） 赋值语句

一般格式：“变量=表达式” ，此时的 “ = ”不是数算中的等号，而应理解为一个赋值号 （2）条件语句 （3）循环语句

二、统计

1、基本定义：

（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.

(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 2、抽样方法：

（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.

(2)系统抽样：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果N不能被n整除就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本

N，然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为 l ，然后n就可以将编号为l,lk,l2k...ln1k 的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组相同编号的个

容量是多少，就分几组，间隔k体。

(3)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

样本容量越大，估计越精确！ 3、几种抽样方法的区别与联系：

类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽从总体中逐个抽 总体中个体数较少 样 取 各层抽样可采分层 抽取过程将总体分成几总体有差异明显的用简单随机抽样抽样 中每个个体层进行抽取 几部分组成 或系统抽样 被抽取的概将总体平均分率相等 在起始部分抽成几部分，按事先系统抽样 样时采用简单随总体中的个体较多 确定的规则分别机抽样 在各部分抽取 4、 总体分布的估计 （1）频率分布直方图：1.横轴表示数据的内容，每一线段表示一个组的组距，注意横轴要有单位

2.纵轴表示的是：

频率 组距3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率

（2）频率分布折线图： 1. 由频率分布直方图直接得到，取值区间的两端点分别向外延伸半个组距并取此组距上再x

轴上的点，然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的中点，形成折线图 2.当样本容量足够大，分组的组距取得足够小时，折线图取与一条平滑的曲线，称这条曲线为总体分布的密度曲线，而且曲线与横轴围成的面积为1 3. 在总体密度曲线中，总体在区间（a,b）内取值的可能性就是直线x=a , x=b , y=0 和总体密度曲线围成的面

积 4. 累计频率分布曲线上任意一点 Pa,b 的纵坐标标b表示的连续型总体，取小于等于 a 的值的可能性 （3）三者的特点

频率分布表：数据翔实、具体、清晰明了，便于查阅

频率分布直方图：形象直观，对比效果强烈 频率分布折线图：能够反映变化趋势

（4）茎叶图的特点： 优点——简单易行，杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数据的水平状况、稳定程度；

所有的数据都可以在茎叶图中找到. 缺点——分析只是粗略的，对差异不大的两组数据不易分析，另外，对位数较多的数据不易操作，数据较多时效果不是很好.

5、线性回归方程

（1）设线性回归方程为 ybxa，关键在于求a,b

nnnxiyixiyii1i1i1 b2nn2nxixii1i1nxi1ni1niyinx y2ixi1nnixyiyi

xnx 2xi1x2aybx

（2）相关系数： rxyii1nin x y 称为y与x的样本相关系数

nn222xinx yiny 2i1i1 当 r0时,正相关 ; 当r0时, 负相关 ; 并且r 1 , r 越接近于1线性相关程度越高 r 越接近于0线性相关程度越低三、概率

1、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为PAm n 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

2、概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有0PA1 ② 用和分别表示必然事件和不可能事件,则有P1,P0③如果事件

A和B互斥,则有:PABPAPB

3、古典概率：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为PA1，如果某个事件A包含nm n4、几何概型：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则

事件A发生的概率为 PAd的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线段的侧度为该线段的长

D的侧度度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

高中数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k 终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k 4、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴n*的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1l． r终边所落在的区n180，157.3． 1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

11Slrr2．

229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是

yxy，cos，tanx0． rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．

rrx2y20，则sin12、同角三角函数的基本关系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintan cosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos，cossin． 22cos，cossin． 226sin口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象． 函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象． 函数ysinx0,0的性质：

①振幅：；②周期：2；③频率：f1；④相位：x；⑤初相：． 2函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin ；当xx2时，取得最大值为ymax，则

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2． 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

性 函 质

数 ysinx 图象

定义域 R

值域

1,1

当x2k2k时，最值

ymax1；当x2k2 k时，ymin1．

周期性

2 奇偶性

奇函数

在2k2,2k2

k上是增函数；在

单调性

2k32,2k2 k上是减函数．

对称中心k,0k

对称性

对称轴xk2k16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

ycosx ytanx

R

xxk2,k

1,1

R

当x2kk时，

ymax1；当x2k

既无最大值也无最小值

k时，ymin1．

2 

偶函数

奇函数

在2k,2kk上是在增函数；在2k,2k

k2,k2

k上是减函数．

k上是增函数．

对称中心k2,0k

对称中心k2,0k

对称轴xkk

无对称轴

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③a00aa． ⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则C a

 b

x2x1y,2y1 ．



19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①

abCC

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0． ⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的坐标是x1x2y1y2,． 1123、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，

abab；aaa2a或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

22若ax,y，则axy，或a22x2y2．

设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则cos24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴coscoscossinsin； ⑵coscoscossinsin； ⑶sinsincoscossin； ⑷sinsincoscossin； ⑸tanababx1x2y1y2xy2121xy2222．

tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sincos． ⑵cos2cos⑶tan22sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）． 222tan．

1tan222sin，其中tan26、sincos

． 高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

abc2R． sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC； 2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsinabsinCacsin．

222②sin4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

2bc2ac2ab6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90； ②若abc，则C90；③若abc，则C90． 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若b称b为a与c的等差中项． 19、若等差数列

222222222ac，则2an的首项是a，公差是d，则a1na1n1d．

20、通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③dana1n1；

anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、，则amanq*）n、p、apaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq．

na1annn1Sd． 22、等差数列的前n项和的公式：①n；②Snna12223、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*nd，则S2nnanan1，且S偶S奇S奇an，S偶an1．

*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇Sa，偶nS奇n（其中S奇nna，

S偶n1． S偶n1an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．

26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1． 27、通项公式的变形：①an2amqnm；②a1anqn1；③qn1annman；④q． ama128、若an是等比数列，且mnpq（m、，则amanapaq；若an是等比数列，且2npqn、p、q*）

*（n、p、q），则an2apaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q*30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则

S偶S奇q．

②SnmSnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质： ①abba；②ab,bcac；③abacbc； ④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式b4ac

20 0 0

二次函数yax2bxc

a0的图象

有两个相异实数根

一元二次方程axbxc0

2

a0的根

ax2bxc0

一元二次不等式的解集

b x1,22a有两个相等实数根

x1x2x1x2

b 2a没有实数根

xxx或xx12a0

ax2bxc0

bxx

2aR

a0

xx1xx2

 

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0． ①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方． ②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．

C①若0，则xy方的区域．

0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下

C②若0，则xy方的区域．

0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上

40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．

线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解x,y． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数． 2abab． 42、均值不等式定理： 若a0，b0，则ab2ab，即241、设a、b是两个正数，则

a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22244、极值定理：设x、y都为正数，则有

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．