宁波市2019届高三上学期期末考试
数学试卷
一、选择题 1.已知集合A.
B.
，则C.
（ ）.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
解出绝对值不等式得到集合，利用并集定义直接求解． 【详解】∵集合∴
，，故选B．
，
【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知平面 ，直线A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】∵当则“
时，”是“
，
，∴当
时，
成立，即充分性成立，
满足
，则“
”是“
”的（ ）
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
不一定成立，即必要性不成立，
”的充分不必要条件，故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题． 3.已知
存在导函数，若
既是周期函数又是奇函数，则其导函数（ ）
A. 既是周期函数又是奇函数 B. 既是周期函数又是偶函数 C. 不是周期函数但是奇函数 D. 不是周期函数但是偶函数
- 1 -
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数． 【详解】若则
所以周期函数的导数仍是周期函数； 若所以故选B．
【点睛】本题主要考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的概念题. 4.设A. -4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据【详解】∴
，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果．
，是展开式中的系数，
，故选C．
B. -8
，则
（ ）.
C. -12
D. -16
是奇函数，则
，即
，
，所以奇函数的导数是偶函数，
是周期函数，设其周期为，
．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题． 5.关于
的不等式组
表示的平面区域内存在点
，满足
，则实数的取值范围
是（ ） A. 【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域如图，要使平面区域内存在点
的下方即可．
- 2 -
B. C. D.
，满足，则只需点在直线
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：
若平面区域内存在点则说明直线即点则点在区域
即实数的取值范围是
，满足，
与区域有交点，
位于直线
，即
的下方即可，
，得
，故选C．
的下方是解决本题的关键，
，
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合判断出点在直线属于中档题.
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案． 【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为1，高为1， 故体积为：
，
- 3 -
三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1， 故体积为：故组合体的体积
， ，故选D．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题. 7.数列
满足
，则数列
的前201和
（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】 计算数列
的前几项，结合数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
满足
，
，
【详解】数列
可得，
，
，…
可得数列的前201和，故选A．
【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题． 8.已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
利用概率、数学期望、方差的性质直接求解． 【详解】在A中，
在B中，由数学期望的性质得在C中，由方差的性质得
- 4 -
B. D.
，故A正确；
，故B正确； ，故C正确；
在D中，故选D.
，故D错误．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.已知椭圆且A.
的离心率的取值范围为
，直线
交椭圆于点
为坐标原点
，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和斜率的数量积得
，化简变形即可得答案．
，再根据离心率公式可得
【详解】联立方程得，
设由∴∴
，，得
，则
， ，化简得，化简得
，
，
，
∵，∴，
∵∴∴
，∴，∴，∴
，∴， ，∴
，
， ，故选C．
即椭圆的长轴长的取值范围为
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意充分利用根与系数的关系进行分析，属于中档题
10.在空间直角坐标系中，
- 5 -
为坐标原点，满足，则下列结
论中不正确的是（ ） A. C.
的最小值为-6 最大值为
B. D.
的最大值为10 最小值为1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可设
，可判断A，B；通过化简
函数的有界性可得最大值，【详解】根据题意可设则当当另一方面，
时，时，
； .
当
时可以取到最大值
，进一步变形上式，
令则当
，
，
时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.
；
可得最小值，综合得选项. ；
，根据数量积的定义可得
，结合三角
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，利用三角换元以及三角函数的有界性是解题的关键，有一定难度． 二、填空题
11.设为虚数单位，给定复数【答案】 (1). -1 (2). 【解析】
- 6 -
，则的虚部为___；模为___
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】则的虚部为
，模为
，故答案为
.
，
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题． 12.已知实数
且
若 (2).
，则
____；若
，则实数的取值范围是___
【答案】 (1). 【解析】 【分析】 由实数当
且
，
，求出，由此能求出的值；由，当时，；
时，无解，由此能求出的取值范围．
且
，，
，∴当
时，． ．
；当
时，无解，
，∴
，∴
，
【详解】∵实数∴∵
综上的取值范围是故答案为
，
【点睛】本题考查代数式化简求值，考查实数的取值范围的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.将函数则
的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移
在区间
(2).
个单位长度得到
的图像，
_____；若函数上单调递增，则实数的取值范围是___
【答案】 (1). 【解析】 【分析】 利用函数【详解】将函数个单位长度得到
的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得实数的取值范围．
的图象；再向左平移
的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得
的图象．
- 7 -
若函数在区间上单调递增，
则，求得，则实数的取值范围是，
故答案为，．
的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题，平移过程中
个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，
【点睛】本题主要考查函数
需注意先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是平移的量是14.在
（
）个单位，原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 中点，经过
中点的直线交线段
于点
，若
，则
面积之比的最小值是___
中，为边
_____；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形
【答案】 (1). 4 (2). 【解析】 【分析】
由向量共线定理可知与
共线，结合向量共线定理可求
与四边形
，然后根据
，由
与四边形
，可分别用，结合
，表示，，根据
的
及基本不等式可求
最大值，进而可求三角形面积之比的最小值．
【详解】∵ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，
∴∵∴∴∵
与
， ，
，
，同理
共线，∴存在实数，使
（
），
- 8 -
即，
∴，解得，，
∴；
∵，
∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，
则有M，N分别为AB，AC的中点，取得最小值，故答案为4，．
【点睛】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、三角形法则、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.设等差数列【答案】-1 【解析】 【分析】 由已知可求出公差由此推导出，【详解】等差数列∴∴∵∵∴故答案为
均为正整数，
，逐一代入，得．
，
，∴
，
，
，由
，解得
.
， ，从而
，从而能求出公差．
的前14项和
，
，
，由，均为正整数，
，得
，
的前14项和
，已知
均为正整数，则公差
____.
【点睛】本题主要考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16.农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个
- 9 -
与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___ 【答案】【解析】 【分析】 基本事件总数
，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数
，
由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．
【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡， 设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．
现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为故答案为
．
， ，
，
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17.已知不等式【答案】【解析】 【分析】
首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围． 【详解】由记则
或
当
时，
或.
或
；. . ；
或
或；
；
，得：
，
对任意正整数均成立，则实数的取值范围___
所求范围为
【点睛】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 三、解答题。
- 10 -
18.如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是坐标原点，
是扇形的内接矩形.
落在轴非负半轴上，点在第一象
限，是扇形弧上的一点，
（1）当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，求点的纵坐标； （2）当在扇形弧上运动时，求矩形【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）直接利用四等分点的条件求出
，进一步求出结果；（2）设
，将面积表示为关于的三
（2）
面积的最大值.
角函数，利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】（1）根据题意：当是扇形弧上的四等分点（靠近）时，所以的纵坐标为（2）设则
， .
，当且仅当
取得最大值. ；
，矩形的面积设为，
.
，
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 19.如图所示，四面体
中，
是正三角形，
是直角三角形，是
的中点，且
.
- 11 -
（1）求证：（2）过
平面；
把四面体
分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值.
的平面交于点，若平面
【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】
（1）首先利用三角形全等得到
；（2）以为坐标原点，向量法能求出二面角【详解】（1）如图所示，
，推导出
为轴正方向，
，利用勾股定理得到
为轴正方向，
，由此能证明平面
为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用
的余弦值．
因为由即
为等边三角形，所以
，得
为等腰直角三角形，从而
中点，所以
.
， ，所以为直角，
，
又为底边令所以又所以
，则
，从而为平面平面
.
，易得，
，
内两相交直线，
（2）由题意可知所以点为
- 12 -
，即到平面的距离相等，
的中点，
以为坐标原点，设易得设平面
，则
为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系. ，
.
的法向量为，取
；
，平面
，取
的法向量为
，
，则
设二面角则
的大小为，易知为锐角，
，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，考查二面角的余弦值的求法，两个半平面所成的角与平面的法向量所成的角之间相等或互补，主要根据图形来确定最后的结果，是中档题．
20.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数. 某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.
- 13 -
（1）请写出梯形数的通项公式（不要求证明），并求数列（2）若【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）由观察法可得
，数列
的前项和记为，求证：
，
.
的前项和;
(2)见证明
，应用等差数列的求和公式可得所求和；（2）求得
，由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．
【详解】（1）根据观察可归纳得：进一步：（2）易知
； ，
，
则
，
.
【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． 21.过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点，抛物线在
处的切线交于.
（1）求证：
- 14 -
；
（2）设，当时，求
的面积的最小值.
【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）设直线
的方程为
，代入抛物线方程中，根据韦达定理和直线的斜率公式，以及导数
，再
的几何意义，可求出点E的坐标，根据斜率的关系即可证明；（2）根据向量结合韦达定理可得根据弦长公式求三角形的面积公式表示出，根据函数的性质即可求出最小值． 【详解】（1）显然代入抛物线方程设
斜率存在，设直线中，得，由韦达定理得到
的方程，
， ，
∵易知
，∴切线方程
，∴直线的斜率为，
的方程
，
，切线
当时，联立求得：，故，
. ，∴
又当所以（2）由
时，显然有.
，得
，从而
又
，
由于因此当
.
，
，结合韦达定理，
，
，
，
在区间
有最小值
.
上为减函数，
【点睛】本题考查切线方程的求法，弦长公式，直线与直线的位置关系，三角形的面积计算，解题时要认真审题．属于难题．
- 15 -
22.已知函数（1）若函数（2）若【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）根据函数的对称性得到值和导数之间的关系得到【详解】（1）设则点关于点所以
对所有实数成立， 从而求得：（2）设因为
，从而
，由，则，所以
. ，所以为
的对称点为的图像关于点
，且
，其中为实数.
的解析式；
的极小值点，求
的取值范围.
对称，求
，为函数 (2)
，利用待定系数法进行求解即可；（2）求函数的导数，结合函数极，求出
图像上的任意一点，
，即
， ，
的范围进行求解即可．
. ， . 知，即
，
，
因为极小值存在，所以①若
，则
.
②若，则，所以，
令则又
在
，则上为减函数，在
，
上为增函数， ，故
，
- 16 -
综上所述，的取值范围为；
，得函数单调递增，
【点睛】本题主要考查函数对称性以及函数的极值的应用，考查函数的单调性，由
得函数单调递减，进而可得极值与最值，利用函数极值和导数之间的关系进行转化讨论是解决本题的
关键，综合性较强，难度较大．
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- 18 -
