自行车租赁策略

2008年 第一届“数学中国杯”

数学建模网络挑战赛

承 诺 书

我们仔细阅读了首届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们允许数学中国网站(www.madio.net)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ：

队员2：蔡星星

队员3：李士忠

参赛队教练员 (签名)：罗明贯

参赛队伍组别：中学组

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队员1：林上进

报名号＃2607

2008年 第一届“数学中国杯”

数学建模网络挑战赛

编 号 专 用 页

参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：

＃2607

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

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报名号＃2607

2008年 第一届“数学中国杯”

数学建模网络挑战赛

题 目 自行车租赁策略 关 键 词 自行车租赁，动态平衡，最小值，概率

摘 要：

本文以概率论及统计学为理论基础综合利用线性规划、数学建模等综合理论与方法建立了描述两个不同自行车租赁点自行车放置数量问题的模型，

AminA处借出去的车辆－A处归还的车辆＝y[ya1%ya2%]＝|y[ya1%(500)ya2%]|

BminB处借出去的车辆－B处归还的车辆＝y[yb1%yb2%]＝|(500)y[y(1a1%)y(1a2%)]|及四个自行车租赁点自行车放置数量问题的模型，

tmin|AminBminCminDmin|min

Amin|y[ya1%ya2%ya3%ya4%]| Bmin|y[yb1%yb2%yb3%yb4%]| Cmin|y[yc1%yc2%yc3%yc4%]|Dmin|y[yd1%yd2%yd3%yd4%]|

为旅游景点的自行车放置数量问题提供了一点的理论基础和参考依据.

参赛队号 2607

所选题目 F题 自行车租赁策略

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参赛密码 （由组委会填写） 报名号＃2607

自行车租赁策略

摘 要: 本文以概率论及统计学为理论基础综合利用线性规划、数学建模等综合理论与方法建立了描述两个不同自行车租赁点自行车放置数量问题的模型，

AminA处借出去的车辆－A处归还的车辆＝y[ya1%ya2%]＝|y[ya1%(500)ya2%]|

BminB处借出去的车辆－B处归还的车辆＝y[yb1%yb2%]＝|(500)y[y(1a1%)y(1a2%)]|及四个自行车租赁点自行车放置数量问题的模型，

tmin|AminBminCminDmin|min

Amin|y[ya1%ya2%ya3%ya4%]| Bmin|y[yb1%yb2%yb3%yb4%]| Cmin|y[yc1%yc2%yc3%yc4%]|Dmin|y[yd1%yd2%yd3%yd4%]|

为旅游景点的自行车放置数量问题提供了一点的理论基础和参考依据. 关键词：自行车租赁 动态平衡 最小值 概率

一、引 言

旅游业的发展是社会发展的重要催化剂，同时对新兴，贫困的或者是发展中

国家旅游业是他们的一项重要收入来源.同时旅游业的发展也带动了一些相关产业的发展，极大地促进当地经济发展，同时该行业的不成熟和游客的要求的不断提高对旅游业的一些细节提出了挑战，如景点内步行游玩易令人感到疲惫，旅游景点交通工具游览路线固定，且中途不能停车，不适合一些乐于拍照的游客.针对这些问题许多景点开始了既方便游客又环保节能的自行车租赁服务，自行车每天有人租借，如果各个租赁点的自行车数量悬殊，怎么保证第二天正常使用呢?对管理的相关部门为此出台具体方案，在每天深夜组织专用车辆对自行车进行点与点之间的余缺调剂，但是此举虽然能解决自行车在各个景点每天的放置的数量一致，但给管理带来了一定的难度，而且需要花大量的物理财力和物力，本文就处理上述的矛盾针对如何通过对不同租赁点的自行车放置的数量控制与干预调

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报名号＃2607

整，在合理的假设前提下而建立数学模型，使租赁点自行车的数量尽量保持动态平衡.

本文将以概率论为理论基础综合利用数学建模等综合理论与方法建立了描述不同两个景点自行车租赁放置数量问题的模型.

二、问题的提出

很多旅游景点的面积都比较大，游客采用步行游览通常会感觉到比较疲惫，常见的旅游景点交通工具如电瓶车等由于游览路线比较固定，且不能中途停车，通常不适合一些乐于拍照的游客.最近很多旅游景点推出了自行车租赁游览的方式，比较适合这些旅客的需要.旅客可以在任意一个租赁点租到自行车，并且可以在任意一个租赁点归还自行车.假设旅游景点如图2所示，该旅游景点每天的游客人数大约1万人，现有自行车500辆，图中蓝线所示的路线为游客必经的路线，游览苏堤时，从南向北游览的游客约占游客总数的60%.

问题一：考虑在图中的A，B两个位置建立租赁点，设计一套租赁方案，即每天早晨各个租赁点分别存放多少辆自行车.尽量使得每个租赁点的自行车数量保持动态平衡.

问题二：考虑在图中的C，D两个位置新建立两个租赁点，重新设计一套租赁方案，尽量使得每个租赁点的自行车数量保持动态平衡. 问题三：假设已有如图所示的4个租赁点，如果由你来选择地点新建一个租赁点，你该如何选择，是否需要调整租赁方案？

景点示意图1-1

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报名号＃2607

三、数学模型的建立

3.1模型假设

1)自行车租赁出去了后，游客们只会在景区内骑行，并且每个人都会在代替尽快归还，即归还率为百分百

2)在各个路口游客选择前往景点的概率相同； 3)从A、B处出发租车的人数是一样的

4)每个游客游玩过程尽量不走回头路，即不会重新游玩已经过的景点； 5)游客在游玩结束后会在就近归还点尽快归还自行车； 6)自行车租赁不会因为价格问题而游客放弃租赁； 7)到达每有不同自行车租赁点的游客人数是一样的； 3.2变量说明：

1):初始在A处放置的自行车数量； 2): 初始在B处放置的自行车数量； 3)：初始在C处放置的自行车数量； 4): 初始在D处放置的自行车数量；

5)ai%:自行车分别从A、B、C、D归还至A处的比例,i1,2,3,4; 6)bi%:自行车分别从A、B、C、D归还至B处的比例,i1,2,3,4; 7)ci%: 自行车分别从A、B、C、D归还至C处的比例,i1,2,3,4; 8)di%: 自行车分别从A、B、C、D归还至D处的比例,i1,2,3,4; 9)y:租车率，（y租赁的车辆数）与该景点处的游客数目相关，为常数；

该处放置的车辆数3.3模型建立与分析

3.3.1问题一模型建立与应用

尽量使得每个租赁的自行车数量保持动态平衡，即为A、B处租出的车辆与归还到A、B处的车辆数之差绝对值分别尽量的小.因为从A假设初始放置了辆，则在B处便为放置了了500－辆，从A处借出的车最后归还的地点有两个，分别为A和B处，同理从B处借出的车最后归还的地点有两个，分别为A和B处因此；若从A处借出最后在A处归还的比例为a1%，则从从A处借出最后在B处归还的比例为b1%＝1－a1%，；若从B处借出最后在A处归还的比例为a2%，则从B处借出最后在B处归还的比例为b2%1a2%；关于变量y，

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y租赁的车辆数，所以y是个常量.所以

该处放置的车辆数AminA处借出去的车辆－A处归还的车辆＝y[ya1%ya2%]＝|y[ya1%(500)ya2%]|(1)

BminB处借出去的车辆－B处归还的车辆＝y[yb1%yb2%]＝|(500)y[y(1a1%)y(1a2%)]|对于Amin最小成立就等价于Bmin最小值成立，因此问题等价于求解Amin尽量小的最优解.易知从A租赁到A处还车与从B处租赁到A处还车的概率相等，因此

a1%b1%0.5,将a1%b1%0.5代入（1）式，解得：250辆；因此在A、B两处放置的车辆均为250辆.

3.3.2问题二模型建立与应用：

对A处的动态平衡即要求A租赁出的车辆与归还到A处的车辆之差的绝对值的尽量的小，同理对B、C、D处的同样以来衡量.可得

Amin|y[ya1%ya2%ya3%ya4%]| Bmin|y[yb1%yb2%yb3%yb4%]|

Cmin|y[yc1%yc2%yc3%yc4%]| （2） Dmin|y[yd1%yd2%yd3%yd4%]|

若要使A、B、C、D自行车数量保持动态平衡，即要tmin|AminBminCminDmin|min尽量的小. ② ①

A

③ ② ④ B

景点示意图1－2

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C ⑤ D 报名号＃2607

各个景点处租赁自行车到某个景点归还路线： 名称 路线 名称 路线 ②③ ③① ①⑤④③ ④⑤ ③④⑤① ②① AA BC ③② ③②④⑤ ①⑤④② ②④⑤① ③ ④ ② ③①⑤ ①⑤④ ②①⑤ ③②①⑤④ ②③④ BD ③④⑤①② ③②④ AB ①⑤④②③ ②④⑤①③ ①⑤④③② ②③①⑤④ ① ①②④⑤ ③④⑤ ①③④⑤ ②④⑤ ⑤④③①  ACCC③②⑤ ⑤④②① ②③① ①⑤ ⑤ ③④ ①②④ ②④ ①③④  ADCD③②①⑤ ②③①⑤ ②③  BB③①⑤④ ②①⑤④ ③② ④⑤①③ ④⑤①② 表1——1

由表1——1可计算得每个景点到其他景点归还自行车的概率分别如下：

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报名号＃2607

6a1%;259b1%=;251c1%;51d1%;595a2%;a3%;251661b2%;b3%;25411c2%;c3%;5413d2%;d3%;5161a4%；45b4%;163

c4%;161d4%;4将上述数据代入（2）式,运用计算机代数系统,maple7.0，并且使0tmin20的合理取值范围，解得： 128.0;126.9;128.4;126.7

因此在A、B、C、D四处放置的自行车数量应该分别128辆，127辆，128辆，127辆；

3.3.4问题三的思考

基于本文给出的假设前提，参考问题一与问题二的结论，租赁点的地点似乎对于动态平衡的满足没有影响，即说只要租赁点设置在游客必经路线上均是在误差范围内不会对动态平衡造成影响.因此，如果要新建一个租赁点，可以将租赁点设置在“西山路”的中点位置E，以达到各个租赁点间有较为均匀的距离，可以均衡地满足各入口和出口游客.

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报名号＃2607

四、模型的评价与讨论

旅游业是社会经济发展的重要组成部分，是当地经济收入的重要来源，随着旅游业的不断发展，人们环保意识的加强，景点的自行车租赁日渐红火，绿色出行观念日入人心，为充分地为每位游客提供游玩方便，即要求每个租赁点有充分多的自行车，并且合理选择租赁点的地点，同时本着充分使用每一辆自行车，即要求在不同的租赁点放置相应的自行车数量，并且在相当长一段时间内能保持租赁点之间动态平衡，当然这个动态平衡只能是相对平衡，并且在有限的时间内可以得以实现.

本文综合利用概率论、统计学和数学建模的理论与方法探讨自行车放置数量问题只是一个小小的尝试，虽然是在一系列简化假设基础上得到的结果，但这将给景区自行车的放置提供科学的参考依据.由于大多数情况下自行车的租赁还是天气和价格的具体因素的影响，每个租赁点的到达的游客人数不同，租赁的比例对于不同的出租点有所不同，又如模型中对各个租赁点的人数相同的假设，对模型中人们租赁自行车的欲望不考虑受自行车价格的影响，因此，本文中的模型有待进一步的改进.因此本文采取了简化的分析还是存在一定的误差，需要更进一步的细化假设，改进模型，由于模型假设的理想化，这个模型只能预测实际生活的例子一个参考.

参考文献 [1] 姜启源，数学建模.北京：高等教育出版社，1993

[2] 王玮明，计算机代数系统与符号计算，兰州:甘肃科学技术出版社，2004. [3] 黄忠裕，初等数学建模.浙江师范大学,2003

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